初三数学圆-圆的认识及垂径定理

1、AM BM AM BM AM BM圆的认识及垂定理【识图弦定义弧（优弧、劣弧、等弧）圆的认识垂径定理垂径定理垂径定理运用知梳知识点 圆的认识弦，弧1、什么叫弦？直径与弦的关系弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，直径是过圆心的弦，但弦不一定是直.2、什么叫弧？什么叫优弧？什叫劣弧？什么是等弧？弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，大于半圆的叫优弧，小于半圆的叫劣弧，能够完全 重合的两条弧叫等弧3、圆的对称性质？作为轴对称形，其对称轴是？圆即是轴对称图形也是中心对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称.知识点 垂径定理1、垂径定理：垂直于弦的直径分弦，并且平分弦所对的两条弧已知：直径 CD、弦 且 C

2、DAB 垂为 求证： ，=，BD.分析要 只证 AM 构的两个三角形全等因只连结 、1OAM OAM OBM OB 或 AC、BC 即证明：如图，连结 、OB，则 OA=OB在 和 中 OBOM OMRt OBM AM BM点 A 和 B 关 CD 对O 关于直径 对当圆沿着直线 CD 对时，点 A 与 合，ACB重合，AD与BD重合AC=BC，=进一步，我们还可以得到结论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对 的两条弧垂定推：1、推论：平分弦（不是直径）直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧推论扩展推论 1：（1）分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。（2）弦的垂

3、直平分线经过圆心并且平分弦所对的两条弧。（3）平分弦所对的一条弧的直垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。推论 2：圆的两条平行弦所夹的相等。2、垂径定理及其推论可概括为2考解类型一 圆认识（、弧）【题 】列五个命题：（1）平分弦的直径必垂直于弦（2）圆是轴对称图形，对称轴直径（3）圆中两点之间的部分叫做（4）长度相等的两条弧叫等弧（5）直径是过圆心的弦，但弦一定是直径其中真命题有（ ）A1 个 B2 C3 D 个 【解】（1）平弦（不是直径）的直径必垂直于弦，故原命题是假命题，（2）圆的对称轴是直径所在的线，故原命题是假命题，（3）圆上两点之间的部分叫做，故原命题是假命题，（4）能够完全重合

4、的两条弧叫弧，故原命题是假命题，（5）直径是过圆心的弦，但弦一定是直径，原命题是真命题，其中真命题有 1 个故选；【结反】题考查圆的相关概念及垂径定理解概念及定理即可解决求学生掌 握圆的相关概念及垂径定理内容。【题 】列说法：半圆是弧；弧是半圆；圆中的弧分为优弧和劣弧其中正确的个数有（ ）A0 B C2 3【解】解半圆是弧，正确；弧是半圆，错误；圆中的弧分为优弧和劣弧还有半圆，故错误所以正确的有一个，故选 B【结反】查对圆中弧的认识。3类型二 垂定理【题 1如图以点 O 为心的两同心圆中，大圆的弦 AB 是小圆的切线，点 P 为 点，AB=12 ，OP=6，则劣弧 AB 的为 【解】解连接 O

5、A、OB AB 为 的线， OP，AP=BP=，AOP=60，AOB=120，OAP=30，OA=2OP=12，劣弧 AB 的长： = =8【结反】 本题主要考查了切线的性质，垂径定理和弧长公式，利用三函数求得 AOP=60是答此题的关键【题 】已知： 的径为 10cm，弦 ABCD，CD=16cm，求 AB 间的距. 【解】解：(1)图，当 圆心 O 位 AB、CD 之时，作 OM 于点 M，延长 MO交 CD于 N 点分连结 AO又ABCDON，即 ON 为弦 CD 的心.，CD=16cmAO=OC=10cm444=8+6=14(cm)如图所示，当O 的圆心 O 不两平行弦 ABCD 之(

6、即弦 AB、 在圆心 O 的 侧时同理可证MN=OM-ON=8-6=2(cm)O 中平行线 、CD 间距离是 14cm 或 2cm.【结反】这类问题时要依平行线与圆心间位置关系及垂径定理的知识类讨 论，千万别丢解.解圆的有关问题时经常会出现多解的情，要特别注意。达训1.下说法中，错误的是（ ）弦是直径；半圆是弧；长度相等的两条弧是等弧；能够互相重合的弧是等弧；大于半圆的弧是劣弧，小于半圆的弧是优弧A1 个 B 个 3 个 4 2.如O 的直径为 弦 AB=8 是弦 AB 上一动点么 OP 长取值范围是 3.“材埋壁”是我国古九算术的一个问题今有圆材在壁中知小，以锯锯之深寸锯道长一尺径几何？”用

7、现代的数学语言表示是如图CD 为O 的径，弦 ABCD，垂足为 E，CE=1 寸，AB=10 寸求直径 CD 的”依题意CD 长为 （ ）A寸 B13 寸 C25 寸 D26 寸如图，等腰三角形 中，半径 圆心 到 的离为 ， 求 到 的离5答与析1.【案C【解析】根据弦、直径、弧的概念进行判断解：过圆心的弦是直径故错误；半圆半圆就是一条弧故正确；长度相等的两条弧是等弧故正确；在同圆或等圆中能够完全重合的弧叫等弧故错误； 大于半圆的弧是优弧，小于半圆的弧是劣弧故错误； 综上所述，错误的结论有 3 个2. 【案】解：如图：连接 OA作 OMAB ， 的径为 10，半径为 5，OP 的大值为 5，

8、OMAB 与 M，AM=BM，AB=8，AM=4，在 RtAOM 中，OM=OM 的长即为 的最值， 35，【解析】因为 的直径为 10，以半径为 ，则 OP 的最大值为 5，OP 的最小值就是弦 AB的弦心距的长，所以，过点 O 作 弦心距 OM利用勾股定理，求出 ， OP 的6小值为 ，所以 3OP53. 【案】解：连接 OA设圆半径是 ，在直角 中，OA=x1 OA+AE，则 x=1）+25，解得：x=13则 ）故选：【解析】连接 OA设圆的半径 尺在直角OAE 中OA=x，OE=x，直 eq oac(,角)OAE 中 利用勾股定理即可列方程求得半径，进而求得直径 CD 的4.【答案】解

9、：作 ADBC， BC 于 D，则 AC 过圆心 ，Rt，OB=5cm，OD=3cm， 股定理可得 BD=4，等腰三角形三线合一的性质AD 为 到 BC 的距离，AD=AO+OD5+3 8cm【解析】由垂径定理的推理得，垂直弦且平分弦的弦必过圆心，是直径。5. 如，一圆弧过方格的格点 A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点 A 的坐标为 （3，2），则该圆弧所在圆心标是（ ）7A（0，0） B2） C（21 （01）6.如， 为 的直径，直线 与 切于点 C，AD，足为 D 交O 于 E， 连接 OC、BE若 AE=6，线段 DC 的长 7. 有石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下

10、水面宽 AB=60m，面到拱顶距离 CD=18m，洪水泛滥时，水面宽 MN=32m 时是否需要采取紧急措施？请说明理由8.如，在ABC 中ACB=90A=40，以 C 为心，CB 为径的圆交 AB 于 D， 连接 CD，则ACD=（ ）A10 B15 C20 D25答与析5.【案】解：如图：分别作 AC 与 AB 的直平分线，相交于点 O， 则点 O 即该圆弧所在圆的圆心点 A 的标为（3，2），点 O 的标为（2，）故选：8【解析】根据垂径定理可得：分别作 AC 与 AB 的直平分线，相交于点 O，则点 O 即该圆 弧所在圆的圆心然后由点 A 的标为（3，2，即可得到点 O 的标6.【案4【

11、解析】解OC 交 BE 于 F，如，AB 为O 的直，BE，CD 为线，OCCD，OCBE，四边形 CDEF 为形，CD=EF，在 eq oac(,Rt)ABE 中，OFBE，BF=EF=4，CD=4故答案为 4= =8，7.【案】解：设 OA=R， eq oac(,Rt) 中，AC=30 R=30+（R-18） R=900+R-36R+3249解得 R=34（m连接 OM，设 DE=x，在 eq oac(,Rt) 中ME=1634=16+（34-x）16+34-68x+x=34 x-68x+256=0解得 x =4 =64（不合题意舍 DE=4不需采取紧急措施【解析】要求当洪水到来时，水面宽

12、 MN=32m是否需要采取紧急措施只要求出 DE 的， 因此只要求半径 R，然后运用几代数解求 R8. 【案】解：ACB=90A=40，B=50，CD=CB，BCD=180250=80ACD=9080=10；故选：【解析】先求得B，再由等腰三角形的性质求出BCD则 与BCD 互余9. 如O 中点 A 以点 B 分别在一条直线上图中弦的条数（ ）A2 条 B3 条 C4 条 D5 条10.如图， 是 O 的径，弧 ， D 弦 AB 上的一个动点，那么 OD+ BD 的最小值为（ ）10A B C D11. 如是武汉某座天桥的设计图，设计数据如图所示，桥拱是圆弧形，则桥拱的半径为 （ ）A B C

13、20m D答与析9.【案】解：图中的弦有 ，BC，CE 三条， 故选：【解析】根据弦的定义进行分析，从而得到答案10.【答案】解：的度数为 120C=60，AC 是径，ABC=90，A=30，作 BKCA，DE 于 E，OMBK ，连接 OBBK，DBE=BAC=30，在 eq oac(,Rt)DBE 中， BD，OD+ BD=OD+DE，根据垂线段最短可知，当点 E 与 M 合时OD+ BD 值最小，最小值为 OM， ABO=30，OBM=60，在 eq oac(,Rt)OBM 中，OB=2，OBM=60，OM=OBsin60=，11 DB+OD 的最值为 故选：，【解析】作 CA，DEBK

14、 于 ，OMBK M，连接 OB在 eq oac(,Rt)DBE 中DE= BD，则 OD+，据垂线段最短可知，点 与 合时OD+ BD 的值最小，最小值为 OM11.【答案】解：如图，桥拱所在圆心为 ，作 EFAB垂足为 F，并延长交圆于点 H由垂径定理知，点 F 是 AB 的中点由题意知FH=102=8则 AE=EH，EF=EHHF 由勾股定理知，AE=AF+（AEHF），解得 AE=13m故选：【解析】如图，桥拱所在圆心为 E， EFAB垂足为 F并延长交圆于点 H 根据垂径定理和勾股定理求解课练1.下语句中正确的个数为（ ）等弧的度数相等；等弧的弧长相等；长度相等的弧是等弧；度数相等的

15、弧是等 弧A1 个 B2 个 C3 4 2.如，一枚半径为 r 的币沿着直线滚动一圈，圆心经过的距离是（ ）12Ar 2r Cr D2r3.如， 是 的径ABCD 于 E，CD=8则 BE 为（ ）A2 B C4 D3.54.如， 是 的径CD 是 的弦AB 的延长线交于点 E，已知 AB=2DE， eq oac(,若) eq oac(, )COD 为直角三角形，则E 的数为 5. 某民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径图这输水管有水部分的水面宽 AB=16cm最的地方的高度为 4cm， 求这个圆形截面的半径答与析【案】解：等弧的度数、长都相等 都对

16、；而度数相等或长度相等的弧不一定相 等，3 错，故选 B【解析】根据等弧的概念，在同圆或等圆中，度数相等或长度相等的弧叫等弧2.【案】解：圆心经过的距离是圆的周长，所以是 r13故选：【解析】一枚半径为 r 的币沿着直线滚动一圈，圆心经过的距离就是圆的周长 3.【案】解：连接 OCAB 是O 的直，AB=10，OC=OB= AB=5；又ABCD 于 E，CD=8，CE= CD=4（垂径定理）；在 eq oac(,Rt)COE 中，OE=3（勾股定理，BE=OBOE=53=2，即 BE=2；故选：【解析 OC 构建 圆直径与半径的数量关系定理求得 OC=5；然后根据勾股定理求得 最利用线段间的和

17、差关系求得 BE=OBOE 求 BE 的度即 可4.【案】解：AB 是O 的径，AB=2DO，而 AB=2DE，DO=DE，E，COD 为角三角形，而 OC=OD，COD 为腰直角三角形，CDO=45，DOE+E，14E= CDO=22.5故答案为 22.5【解析】由于 AB 是O 的直，则 AB=2DO，而 AB=2DE可得 DO=DE，据等腰三角形的性质得到DOE=，由于 直角三角形，而 ，所以 为腰直角三角形，于是可得CDO=45，用三角外角性质有CDO=DOE+E， CDO=22.5 5.【案】解：过点 O 作 OCAB ，交 于 ，连接 OB，OCABBD= AB= 16=8cm由题

18、意可知CD=4cm设半径为 xcm，则 OD=（x4）cm在 eq oac(,Rt)BOD 中，由勾股定理得：OD（x4）+8=x解得：x=10答：这个圆形截面的半径为 【解析】先过点 O 作 OCAB 于 D交 ，连接 OB，得出 BD= AB，再设半径为 xcm， 则 OD=4，根据 OD+BD=OB，出4+8=x，求出 x 的即可6. 如小量角器的 0刻度线大量角器的 0度线上小量角器的中心在大量角器的外缘边上如果它们外缘边上的公共点 P 在量角器上对应的度数为 40那么在小量 角器上对应的度数为 （只考虑小于 90角度）157.如所示，MN 为O 的，N=50则MON 的度数为（ ）A

19、40 B50 C80 D1008.如， 是O 的径，弦 AO 于 ，连接 BC过点 O 作 OFBC 于 F， BD=8cm， AE=2cm， OF 的长度是（ ）A B cmC2.5cm D cml9.如，在同一平面内，有一组行线 1 、l、l3，相邻两条平行线之间的距离均为 ，点lO 在线 1 上O 与直线l3的交点为 A、B， 的半径答案与解析6. 【答大角器的左端点是 A角器的圆心是 B接 APAPB=90，PAB=20因而PBA=9020=70在小量角器中弧 PB 所对圆心角是 70，因 而 P 在量角器上对应的度数为 70故答案为：；16【解析】设大量角器的左端点为 A，小量角器的

20、圆心为 利用三角形的内角和定理求出 PBA 的度数然后根据圆的知识求出小量角器上对应的度数7.【案】解：，M=N=50，MON=180250=80故选：【解析据径相等得到 M=N=50后根据三角形内角和定理计算MON 的度数8.【案】解：连接 OB，AC 是O 的直，弦 AO 于 E，BD=8cm，AE=2cm 在 eq oac(,Rt)OEB 中，OE=OB，即 +4=（OE+2）解得：OE=3，OB=3+2=5，EC=5+3=8，在 eq oac(,Rt)EBC 中， OF，CEB=90，C=C， eq oac(,) eq oac(,，)BEC，17即解得：，故选：【解析根据垂径定理得出 OE 的长进利用勾股定理得出 BC 的再利用相似三角形的 判定和性质解答即可9.【案】解：连接 OA，过点 O 作 ODABAB=12，AD= AB= 12=6，相邻两条平行线之间的距离均为 ，OD=8，在 eq oac(,Rt)AOD 中，AD=6，OD=