红宝书2005-12考研辅导班教务电话数学三十六技15

1、150力微积分上（三十六技之八8用积分表达与计算应用问题的技* 定积分应用综合问题（注意极坐标与参数方程的表达8-1y cxn，其中cn0 a b（1）y cxnx ab，y canS y cxnx150力微积分上（三十六技之八8用积分表达与计算应用问题的技* 定积分应用综合问题（注意极坐标与参数方程的表达8-1y cxn，其中cn0 a b（1）y cxnx ab，y canS y cxnx ny cbnS2 ，证明存在唯一一点n a,b S2 n1 a 解（1）S1 c(x a )dx nnnc annnabbS c(bn xn)dx bnnn 2nnbn1 nS1 nnan，bntn1

2、tn1 a b S(t) S1(t)S2(t) nt a nbnnS(t) c(bn an) 0S(t是严格单调增函数，因此nS(tbn1 n（2）limn bn nb 例8-2 设k y kx2与y cosx (0 x )在x t 处相交，记 为 y kx212y cost, y cos与 x y cost x 0 S 22S(t) S 在)内必有唯一最大值2cos证 首先，曲线交点为(t , cost，且cost kt k ，t2t2om - 1 cos2tS (t) (costx )dx tcos32，1t0S (t) (cost cosx)dx t)cost 1sint222tS(t)

3、 1t)cost sint，t，2且S(0) 2 0，S )0 ，因此存在t )使20323S(t00cos2tS (t) (costx )dx tcos32，1t0S (t) (cost cosx)dx t)cost 1sint222tS(t) 1t)cost sint，t，2且S(0) 2 0，S )0 ，因此存在t )使20323S(t00S(t) 1sint ( 1t)cost 3当t0 S (t) 0S(t 为(0 022S(tS(t 为(0 02ttu8-3y fxx(t) etu sin duy(t etu cos32221确定.则该曲线当t 时 的法线方程为y x2ttduu3

4、t3eteusin du eteu解 x(t) dudt 322ttdet eu cos2udu eteu cos2uducosy(t) dt 22 f ( ) 2dx t22*x轴旋转生成的旋转体的体积（小圆台法D(xya xb,0 y f(x)xbV f 2xabVy *y 轴旋转生成的旋转体的体积（薄壁筒法f (x)dxa* 曲线 y f a x b x轴旋转生成的旋转体的侧面积为f(x) 1f (x) dxA y(t) x(t)2 y(t)2 dtb2A a例 8-4 设有曲线y x 1, 过原点作其切线, 求此曲线,切线及x轴为xom - 2 1解 y，设切点为(x x 1)，则切线

5、为x12xy ，切点应满足 x 1 ，0 x 12 x 200 2xA1 x2 5A2 20 2dx 52AA A 11 511解 y，设切点为(x x 1)，则切线为x12xy ，切点应满足 x 1 ，0 x 12 x 200 2xA1 x2 5A2 20 2dx 52AA A 11 516* 设 f (xg(x在区间abD(xya xb, f(x y g(x)g (x) f 212bxg(x) fb2ax ， y 。g(x) fg(x) fbbaax x(t), y t M (t) x(t)2 y(t)2 dt其质量线密度为(t) xy M (t)y(t) x(t)2 y(t)2 ，xM

6、(t)x(t) x(t)2 y(t)2 y其质心坐标x, y(t)x(t) x(t)2 y(t)2 (t)y(t) x(t)2 y(t)2 x ，y (t) x(t)2 y(t)2 (t) x(t)2 y(t)2 若平面光滑曲线的方程为y f a x b,om - 3 (t)x 1f(t)2(t)f(x) 1f(t)2 x y (t) 1f (t)2 (t) 1f (t)2 (0)f (x) 8-5f (x在0,1X,Y围成区域之形心, 试证 X 3y f (x), y 0, x 41xf330证 要证明X ，即X ，144f(t)x 1f(t)2(t)f(x) 1f(t)2 x y (t)

7、1f (t)2 (t) 1f (t)2 (0)f (x) 8-5f (x在0,1X,Y围成区域之形心, 试证 X 3y f (x), y 0, x 41xf330证 要证明X ，即X ，144f01同乘f (x)dx，移项造辅助函数031即证xf (x)dx 0，x0,1，0433xxxF(x)tx f (t)dt tf (t)dt f (t)dt0 4400F(0) 0F(1) 0134f (t)dt ，且F00 xF (x)xf (x)40Fx 1 fx 1xfx 3 fx) 1xfx 1 fxF0044442F x 1 xf x 1 fx) 1 xf x 1 xf () 1xf x f

8、()，其中(0 x44444f x0f xf x f (0F x0Fx单调增，因此 F x) F (0) 0Fx) 单调增，且可推知 Fx F(0) 0Fx单调增，F(1) F(0) 0。例8-6（1）密度均匀的上半圆周x2 y2 R2y0的质心解: 由对称性, x 0 x Rcost, y Rsin0 t . X 0 。Rsint 222y R8-6（2）a0求曲线ax y2与ay x2x23aax 3a0X =1x2aax (309a 由对称性Y ，故形心为)20 om - 4 例8-6（3） 半径为R的匀质（ 1）半球的质量中心 。xoy平面上，质量中心的坐标为X,YZX Y 0RRzz

9、2)2dzR 33423R 故形心为(0,0, R0Z 28830 x例8-7D (xy0 y2 2pxx为 ax2a解 设形心坐标X,Y，由对称性Y 0X 0a3202故形心为( a,0例8-6（3） 半径为R的匀质（ 1）半球的质量中心 。xoy平面上，质量中心的坐标为X,YZX Y 0RRzz2)2dzR 33423R 故形心为(0,0, R0Z 28830 x例8-7D (xy0 y2 2pxx为 ax2a解 设形心坐标X,Y，由对称性Y 0X 0a3202故形心为( a,038-8Dy px3y 0P 0及其过点(1, px轴围成，设此区域的形心为X,YX pDy6 173：Ap，M

10、y p，X ，Vyp, p 7解（1）33py p3p(x1x轴交点为(23,0y 轴交点为(0,2p 1 p1面积A303p(x1)xdx 1 p51px3 1(3px2 2y2033 1 p1 4)p8759X 2dy （2）V 1113p( )2 2p32ypp y33350p363 p ，得到p 7om - 5 3或：由古耳金定理得到Vy 2XA p p p 7压力问题：同一深度的各方向的压强相等, 小微元的压力微元为dp ghdA其中h为该小微元离液面的高度, g dA解 以垂直向下直角边顶点为坐标原点，垂直向上方向为Y X Y aka l y 3或：由古耳金定理得到Vy 2XA p

11、 p p 7压力问题：同一深度的各方向的压强相等, 小微元的压力微元为dp ghdA其中h为该小微元离液面的高度, g dA解 以垂直向下直角边顶点为坐标原点，垂直向上方向为Y X Y aka l y kxP(kxdy表示ka y 为水深，则有微分关系）dP(k) x(ka y)dy k2ax x2dxk2a3k2la于是 P(k) (ax x )dx 6(k 22，0(2kk2)lP (k) ，6(k k 2P(k) 在驻点两则变号(先正后负)，因此最大压力为P(2) 8-10 8m，480kg/m3y 2xy y体积微元为dv y2dy，质量微元为dm 480dy22导致作功的有效行程为

12、(10 y) 米， 因此功的微元（元功 ）ydw480(10 dy ，所作功4y88w 480(10 dy120(10y2 y3dy 8192(kgm400（1）（2）om - 6 应掌握：直接比较法与极限比较法（比阶法 arctan xdxdx8-111 xln dx8-121x5 ln 0X 0 x X 0lnx 3 x 3xxlnx7, p 16x5 x5 A8-13 设广义积分 A应掌握：直接比较法与极限比较法（比阶法 arctan xdxdx8-111 xln dx8-121x5 ln 0X 0 x X 0lnx 3 x 3xxlnx7, p 16x5 x5 A8-13 设广义积分

13、A 2 0 (sinx)ln(1sin01dx p q8-14(1xp)lnq(10p 和 q 1（混合型 11例8-15（1）证明广义积x lnxdx收敛（2）证明x lnxdx 02200 x131lnx 0，所x lnxdx收敛dx收敛，又因为lim2200在(0,1（2）yx 0,则有2ln x 1 0，解得唯一驻x 202 y0y x2 lnxom - 7 a 为奇点时，f(x)dx a f(x)dx f(为混合型广义积2a xap dxp1收敛p 0为普通定积尺度1： 1 dx 或x(x a)p1收敛p 0为普通定积y 当xe 2 y x2 lnx1所以x0 e 2 是极小值点，且ymin 1另有 lim x2 lnx 0，limx2lnx 0，所以max y 1并且当x(0,1时，y(x) 0，于是得到 x lnxdx 02018-160dx(15x 21 2x tany 当xe 2 y x2 lnx1所以x0 e 2 是极小值点，且ymin 1另有 lim x2 lnx 0，limx2lnx 0，所以max y 1并且当x(0,1时，y(x) 0，于是得到 x lnxdx 02018-160dx(15x 21 2x tantdx ，1t2020secdsin11I dt arctan(2si