2021年中考数学专题训练最值问题

1、最值问题一单题1正方形 ABCD 中AB=4P 为角线 BD 上动点F 为射线 AD 一点 ， 的积最大值为 )A B6 C D 2 2如图，在 中， ， ， EF是 BC 的直平分线P 是线 上一点 PA 的最小值是（ AC10BD3图为边长为 2 的形ABCD的对角线ABC ，点 ， 分从点 B， 同出发，以相同的速度沿 BC , 向点C 和 A 运，连接AM和，求 面的最大是（ ）A C 1 B 4 3D 34如图，正方形 ABCD 中，AB， 是 AD 上点且 AE，G 是 CD 上动点，且 ，接 EF 、FG、 ， + 的最小时CG 的为（ ）A BCD125二填题5如图，P 是 的

2、平分线上一点， ON 于 A， 射线上一个动点，若 则 的小为_第 1 页6如图， AB 是的直径是上半圆的中点， P 是半圆上一与 A B 重合AD 分 PAB 交 PC 于 D 则 的大值为 _7图边长为 的形 中 60，ABD 射线 BD 方平移 、 GC求 EC 的最小值_83图 y x 与 轴交于点 y 交于点 ，4抛物线y x x 经过 C 点点 是线 BC上方抛物线上的一动点 E 作 y 轴的平行线交直线 BC 于 M 的大值为9如图，在 Rt ABC 中 ， ， 绕点 C 旋，得到 的应点为 A，P 为 的中点连接 在旋转的过程中线段 BP 长度的最大值10图，在矩形 ABCD

3、 中， 是 eq oac(,O) eq oac(, )直， 是 BC 的点， P 是线 AE 上意一点，、PN 相切于点 、，当MPN 最时PM 的为_第 2 页三解题如抛线 yx+c 与 轴于点 （0 轴于点 且 ，在 上有一动点 m0点 D 作 轴垂线交直线 AB 于 ，抛物 线于点 ，（）抛物线的函数表达式（）点 C 是 DE 中点时，求出 m 的.（条件下线 OD 绕点 O 逆时针旋转得到 OD转角为 0a90连接 DA、B，直接写出 ADB 的最小值第 3 页12图，已知二次函数 bxc 的象经过 A（，（，3 与 交于点 C（）该二次函数表达式；（） ABC 的状，并说明理由；（）

4、 为第一象限内该二次函数图象上一动点，过 P 作 AC 交直线 BC 于 ， PM 轴交 BC 于 eq oac(, )证 eq oac(, )线 PQ 的度的最大值第 4 页2 2 参答1【分析】根据 AP=PF 到点 P 在 AF 的垂直平分线上 作 PG G 为足AG=GF ，设 AG= 三形面积公式计算得到 S APF ，根据函数性质即可得到答案【详解】 eq oac(, )P 在 的直平分线上，过 作 PG G 垂足，则 AG=GF，设 ，则 AG= ，GD=PG= ，1= ) 4 1 ， 2 4所 面最大值为 4 故选：【点睛】此题考查正方形的性质线垂平分线的判定及性质二次函数的最

5、值问题正引出辅 助线并设定未知数解决问题是解题的关键2【分析】根据题意，设 与 的点为点 P，连接 BP，由垂直平分线的性质，则 BP=CP，到PA PB AC 【详解】，即可得到 PA PB 的小第 5 页解：根据题意，设 EF 与 AC 交点为点 P，连接 BP如图： EF 是的垂直平分线， PA PB PA PC AC ， PB 的小值为 8；故选：【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，解题的关键是正确找出点 P 的置，使得 PA PB 有小 值3【分析】由题意易得BM ，易 BCN 则 BAM，进而可得 可知点 的动轨迹是一个圆 为腰三角形时 eq oac(,，)ABP的面积最大，进而问

6、题可求解 【详解】解：由 M， 点的速度相同可知BM ， eq oac(, )边 是形 ABC=60 AB=BC ABC=ACB=60 eq oac(, ) BAM（SAS， eq oac(, )NBC ABN 60， ABN APN 60， ， eq oac(, )AB 定长， ， eq oac(, ) 的运动轨迹为一个圆弧，在APB上运动，圆心 Q 位置为 AB 的直平分线的交点，点 在 Q 为心 QB 半径的圆上，由优弧 的周角为 可得劣 所第 6 页对的圆心角度数为 120，点 作 交 AB 于 ， 所示：AB于点 H，接 BQ，如图 eq oac(, )点 P 与 H 重时，此 AB

7、P 的积为最大，AB 2 ，APB=120 BE 3 BQE=60 60 tan ，EH=1 AB 边的高为 1， 的面积大值为 ；故选 D【点睛】本题主要考查圆的基本性质及三角函数，熟练掌握圆的基本性质及三角函数是解题的关键 4【分析】由 ，得到 =FG而 是值，要使 BG 的最，只需 + 最即可设 =可得 EFBG ( x 设 04，1 MQ+MP( x .通过构造新图形（图 2问题转化将军饮马问题，求解即可 【详解】第 7 页过 G 作 于 GH、BE 交于 IBE、 交于 O，图 1 eq oac(, ) eq oac(, )， eq oac(,) eq oac(, ) eq oac(

8、,=)=90， eq oac(,) eq oac(, ) eq oac(,+) eq oac(, ) eq oac(, )IOG， eq oac(,) eq oac(, )OGI eq oac(,+) eq oac(,) eq oac(, )HIB eq oac(,=) eq oac(,) eq oac(, ) eq oac(,=) 是方形， eq oac(, )=BC eq oac(,A) eq oac(, )= eq oac(,=)=90 eq oac(,) eq oac(, )BHI， 是形， eq oac(, )，CG， eq oac(, )= eq oac(,A) =90，FHG=9

9、0， eq oac(,) eq oac(, ) eq oac(,=) eq oac(,) eq oac(, ) eq oac(,=)，= eq oac(,=)， eq oac(,) eq oac(, ) eq oac(,) eq oac(, )， eq oac(, )=，= eq oac(, )= 4 是定值， eq oac(, )使 +FG+BG 的值最小，只需 EF+BG 最即可第 8 页设 CGx， BH eq oac(, )=， eq oac(, )=41-x=3x， eq oac(, )=AF (3 )，HBHG ， eq oac(, )+= ( 2 x 2 设 （，0（，（， =

10、( 如图 ，作 （0，）关于 的对称点 ， （，4连结 Q 交 x 轴于点 ，连结 ，则 +MP=MQ+MPQ 最小 过 Q 作 于 N则 QN=1，=4.x， eq oac(, )ON-=3- eq oac(,) eq oac(, )QNM eq oac(,=)OM=90，QMN eq oac(,=)MO， eq oac(,) eq oac(, )QNM eq oac(,) eq oac(, )OM， MN ， OM 3 x， eq oac(,x) eq oac(, )=125故选：【点睛】本题考查了正方形的性质相似角形的判定与性质原题转化为将军饮马问”是解答第 9 页本题的关键5【分析】根

11、据角平分线的性质定理解答【详解】解：当 PQOM 时PQ 最， 角分线上的一点 PQPQ=PA=8故答案为：【点睛】本题考查的是角平分线的性质角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键 6 2 【分析】由同弧所得的圆周角相等得到APC ，直径所得的圆周角是 90到ACB ，继而证明 APC ABC 45，再根据角平分线的性质解得BAD ，结合三角形外角的性质可证 ADC，接着由线段的和差解得PD CP CP ，由此可知当 CP 为径时 PD 值最大，然后证明 ACB 为腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形的性质及勾股定理解题 【详解】解：点 C 是半圆的中点， BCAPC ABC BC

12、AB是O的直径， 90 CBA 45 ABC 45 AD 分 PAB第 10 页 DAP BAPADC APC 45, CAD CAB BAD 45 ADC AD PD CP CD CP 要使 PD 最，即使得 最，当 CP 为径时值最大，在 Rt 中， AC ACB为等腰直角三角形， 2 AC 最大值为 PD 最大值为 2 ，故答案为： 【点睛】本题考查同弧所得的圆周角相等、直径所得的圆周角是 90、平分线的性质、三角外角的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度一般，掌握相 关知识是解题关键7 【分析】根据菱形的性质得到 根据平移的性质得到 EG， eq oac(

13、, )，出四边形 EGCD 是行四边形，得到 ED，是得到 ECGC 的小值+GD 的小值，根据平移的性质得到点 E 在点 且行于 的直线上，作点 D 关定直线的 对称点 M，接 CM 定直线于 AE，直角三角形即可得到结论【详解】解 在边长为 的形 ABCD 中ABC， eq oac(, )，第 11 eq oac(, ) 沿线 BD 的向移得 EGF， eq oac(, )， eq oac(, )， eq oac(, )边 ABCD 是菱形， eq oac(, )， ， eq oac(,) eq oac(, )BAD120， eq oac(, )， eq oac(, )边 EGCD 是平行

14、四边形， eq oac(, )GC eq oac(, )GC 的最小值ECED 的小值， eq oac(, ) 在过点 A 且行于 BD 定直线上， eq oac(, )图作点 D 于定直线的对称点 M连接 CM 交直线于 E 则 的度即为 EC+DE 的最小值， eq oac(,) eq oac(, )EADAD， eq oac(,) eq oac(, )60， AD 2， eq oac(, )， eq oac(, )， eq oac(,) eq oac(, ) eq oac(,+) eq oac(,) eq oac(, )M， eq oac(, ) CD= 3 故答案为： 3 【点睛】第

15、12 页 m m m m 2 本题考查菱形的性质图形的对性线最短和平行四边形的性质与判定及直角三 角形，解题的关键是将两条线段的和转化为同一条线段求解8【分析】设出 的坐标，表示出 M 坐标，进而表示出 EM，成顶点式即可求得 EM 的最大值 【详解】解 点 E 是直线 方抛物线上的一动点， eq oac(, ) 的坐标是， m2 3 M 的坐标是（， m 4 eq oac(, ) 3 3 3（ ） （2） （） 82+， eq oac(, )m 时EM 最大值为，故答案为【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征次函数图象上点的坐标特征练握二次函 数的性质是解题的关键911【分析】连接 ，

16、点 B、 三点共线时， 最长，根据已知条件求出此时的 BP 的. 【详解】 90 ， BC ，AB= 6 ，由旋转得 A A中点为 P ，PC PA =5，第 13 页连接 ，旋转到点 B、P 三共线时BP 最，BP=CB+PC=6+5=11故答案为 11【点睛】此题考查直角三角形的性质，旋转的性质，解题中首先确定解题思路，根据旋转得 的 最大值即是 进行求值，确定思路是解题的关.10【分析】连接 ，根据切线长定理可知MPO ，为 OM DC 2，故当OP 最（即 OP 垂 时sin OMOP最大，此时 最大，由此得到 P点，再求出 OP 长在 PMO 中出 PM 即可解答 【详解】解：连接

17、OPOM， eq oac(, )、 相于点 MNMPO ， 90，sin OMOP，在矩形 ABCD 中CD=4， 直，第 14 页 ， CD eq oac(, )当 OP 最小（即 OP 垂 AC 时sin OMOP最大，延长 DC 交线 于 ， eq oac(,E) eq oac(, )是 的点BC， eq oac(, )=3, eq oac(, )矩 ABCD 中，ABC 90， AB ， eq oac(, )矩 ABCD 中，AB CD， ， sin eq oac(, )，=3 eq oac(, )OCCG=2+4=6，OP 垂 AC 时， MPN最大， OP OG sin G ，在

18、PMO 中 故答案为-OM 4 14 = 2 = ， 【点睛】本题主要考查了几何的最值问题，综合性强，涉及了圆的切线性质，矩形性质、解三角形、点到直线的距离垂线段最小等知识，解题关键是切线长定理可知MPO ，然最大后关键在 PMO 中 MPNsin OMOP最大，此时 最大，得出 OP 直 时）y x ）A+ BD的最小值为 17 2【分析】（）用待定系数法求出抛物线解析式即可；（）得 ，m 2 )，（-m+4示 的，根据 EC=CD 可得出第 15 页关于 m 的程，解方程求出 m 的即；（） y 轴上取一点 M使得 OM，接 AM，在 上取一点 D使 OD=OD明 M eq oac(,)O

19、B，可求解【详解】解） ， eq oac(, )B 的标为，4将点 、 的标入抛物线 ， y x 2 ， 解得： c ， eq oac(, )物的函数表达式为y x ；（）直线 的解析式为y ，k ，解得： ， eq oac(, )线 AB 的析为y ； eq oac(, )点 D（，4）作 x 轴垂线交直线 AB 于点 C交抛物线于点 E，E(mm 2 )，（，-EC= 1m = m 2， eq oac(, )C 是 DE 中点， m ，解得：，m=4（去m=2（）图，由2）可知 D（ y 轴上 取点 M使 OM=1，接 ，在 AM 上取一点 D使 OD=OD第 16 页OD，OM， OD， OM OB ， eq oac(,) MOD， eq oac(, )OD eq oac(,)，M OD 1 BD 2，M= BDA+ BD=DD，此时 D BD最小（两点间线段最短，、D 共线时A+BD的最小值AM=2 【点睛】本题是二次函数综合题考了定系数法求出函数解析式矩形的判定相三角形的判定和性质，最小值问题等