高考数学易错点14 立体几何中的角（解析版）

1、易错点14 立体几何中的角易错点1：异面直线所成的角1.求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，进而利用平面几何知识求解，整个求解过程可概括为：一找二证三求。2.求异面直线所成角的步骤：选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位置斩点。求相交直线所成的角，通常是在相应的三角形中进行计算。因为异面直线所成的角的范围是090，所以在三角形中求的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角。3.“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之

2、一。4.利用向量，设而不找，对于规则几何体中求异面直线所成的角也是常用的方法之一。易错点2：直线与平面所成的角1.传统几何方法：转化为求斜线与它在平面内的射影所成的角，通过直角三角形求解。利用三面角定理（即最小角定理）求。2.向量方法：设为平面的法向量，直线与平面所成的角为，则易错点3：二面角用向量求二面角大小的基本步骤1.建立坐标系，写出点与所需向量的坐标；2.求出平面的法向量，平面的法向量3.进行向量运算求出法向量的夹角；4.通过图形特征或已知要求，确定二面角是锐角或钝角，得出问题的结果：题组一：异面直线所成的角1（2021年全国高考乙卷数学（文理）试题）在正方体中，P为的中点，则直线与所

3、成的角为（ ）ABCD【答案】D【解析】如图，连接，因为，所以或其补角为直线与所成的角，因为平面，所以，又，所以平面，所以，设正方体棱长为2，则，所以.故选：D2.(2018全国卷)在长方体中，则异面直线与所成角的余弦值为ABC D【答案】C【解析】解法一 如图，补上一相同的长方体，连接，易知，则为异面直线与所成角因为在长方体中，所以，在中，由余弦定理，得，即异面直线与所成角的余弦值为，故选C解法二 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示由条件可知，所以，则由向量夹角公式，得，即异面直线与所成角的余弦值为，故选C3(2017新课标)已知直三棱柱 QUOTE 中，则异

4、面直线与所成角的余弦值为( )A B C D【答案】C【解析】如图所示，把三棱柱补成四棱柱，异面直线与所成角为,，选C4.（2015浙江）如图，三棱锥中，点分别是的中点，则异面直线所成的角的余弦值是 【答案】【解析】如图连接，取的中点，连接，则则异面直线，所成的角为，由题意可知，又，则题组二：直线与平面所成的角5. 【2021年浙江卷】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，M，N分别为的中点，.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【解析】（1）在中，由余弦定理可得，所以，由题意且，平面，而平面，所以，又，所以（2）由，而与相交，所以平面，因为，所以，取中点，连接，则两两垂直，以点为坐

5、标原点，如图所示，建立空间直角坐标系, 则,又为中点，所以.由（1）得平面，所以平面的一个法向量从而直线与平面所成角的正弦值为6.（2020北京卷）如图，在正方体中，E为的中点（）求直线与平面所成角的正弦值【解析】（）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则、，设平面的法向量为，由，得，令，则，则.因此，直线与平面所成角的正弦值为.7.（2020年全国2卷）如图，已知三棱柱ABCA1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.（1）证明：AA1MN

6、，且平面A1AMNEB1C1F；（2）设O为A1B1C1的中心，若AO平面EB1C1F，且AOAB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值.【解析】（1）分别为，的中点，,又,在中，为中点，则,又侧面为矩形，,由，平面,平面,又，且平面，平面，平面,又平面，且平面平面, ,又平面,平面,平面,平面平面,（2）连接,平面，平面平面,根据三棱柱上下底面平行，其面平面，面平面,故：四边形是平行四边形,设边长是(),可得：，,为的中心，且边长为,故：,解得：,在截取，故,且,四边形是平行四边形，,由（1）平面,故为与平面所成角,在，根据勾股定理可得：,直线与平面所成角的正弦值：.8.（2020年新

7、全国1山东）如图，四棱锥PABCD的底面为正方形，PD底面ABCD设平面PAD与平面PBC的交线为l（1）证明：l平面PDC；（2）已知PDAD1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值【解析】（1）证明： 在正方形中，因为平面，平面，所以平面，又因为平面，平面平面，所以，因为在四棱锥中，底面是正方形，所以且平面，所以因为所以平面；（2）如图建立空间直角坐标系，因为，则有，设，则有，设平面的法向量为，则，即，令，则，所以平面的一个法向量为，则根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线与平面所成角的正弦值等于，当且仅当时取等号，所以

8、直线与平面所成角的正弦值的最大值为.题组三：二面角9. 【2021年乙卷】如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点，且（1）求；（2）求二面角的正弦值【解析】（1）平面，四边形为矩形，不妨以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设，则、，则，则，解得，故；（2）设平面法向量为，则，由，取，可得，设平面的法向量为，由，取，可得，所以，因此，二面角的正弦值为.10. 【2021年甲卷】已知直三棱柱中，侧面为正方形，E，F分别为和的中点，D为棱上的点 （1）证明：；（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?【解析】因为三棱柱是直三棱柱，所以底面，所以因为，所以，又

9、，所以平面所以两两垂直以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所以，由题设（）（1）因为，所以，所以（2）设平面的法向量为，因为，所以，即令，则因为平面的法向量为，设平面与平面的二面角的平面角为，则当时，取最小值为，此时取最大值为所以，此时11.（2020全国1卷）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，是底面的内接正三角形，为上一点，（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值【解析】（1）略；（2）过O作BC交AB于点N，因为平面，以O为坐标原点，OA为x轴，ON为y轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的一个法向量为，由，得，令，得，所以，设平面的一个法向量为由

10、，得，令，得，所以故，设二面角的大小为，则.12.（2020全国3卷）如图，在长方体中，点分别在棱上，且，（1）证明：点在平面内；（2）若，求二面角的正弦值【解析】（1）在棱上取点，使得，连接、，在长方体中，且，且，且，所以，四边形为平行四边形，则且，同理可证四边形为平行四边形，且，且，则四边形为平行四边形，因此，点在平面内；（2）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、，设平面的法向量为，由，得取，得，则，设平面的法向量为，由，得，取，得，则，设二面角的平面角为，则，.因此，二面角的正弦值为1如图在直三棱柱中，为等腰直角三角形，且，则异面直线与所成角的余弦值为

11、（ ）ABCD【答案】B【解析】将直三棱柱补成如图示的长方体，则底面 为正方形，边长为1，连接 ,则,故 为所求角或其补角，连接,在中， ,故 ,故选：B.2如图，圆锥的底面直径，其侧面展开图为半圆，底面圆的弦， 则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A B C D【答案】C【解析】圆锥底面周长为，又其侧面展开图为半圆，则圆锥母线长直角三角形中，,，则分别取、的中点M、N、P，连接、又由O为中点，则，则为异面直线与所成角或其补角.由，可知平面，则在中，,，则在中，则则异面直线与所成角的余弦值为故选：C3在长方体中，和与底面所成的角分别为30和45，异面直线和所成角的余弦值为（ ）ABCD【答案】B

12、【解析】连接，则，所以为异面直线和所成角，因为在长方体中，和与底面所成的角分别为30和45，所以，设，则，所以，在中，由余弦定理得，所以异面直线和所成角的余弦值为，故选：B4（多选题）已知正方体，P是棱的中点，以下说法正确的是（ ）A过点P有且只有一条直线与直线AB，都相交B过点P有且只有一条直线与直线AB，都平行C过点P有且只有一条直线与直线AB，都垂直D过点P有且只有一条直线与直线AB，所成角均为45【答案】AC【解析】选项A.过点P与直线AB相交的直线必在平面PAB内，过点P与直线相交的直线必在平面内，故满足条件的直线必为两平面的交线，显然两平面有唯一交线，A正确；选项B.若存在一条直线

13、与，都平行，则，矛盾，B不正确；C选项.因为，若则，若，则平面，显然满足条件的直线唯一，即，C正确；D选项.取，的中点E，F，连PE，PF，则，若l与直线，所成角为45，则l与PE，PF所成角为45，显然的角平分线及其外角平分线均符合，D不正确.故选：AC5九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.在如图所示的“阳马”中，侧棱底面，点是的中点，作交于点.(1)求证：平面；(2)若平面与平面所成的二面角为，求.【解析】(1)设，如图，以为坐标原点，所在方向分别为，轴的正半轴，建立空间直角坐标系.则，因为点是的中点，所以，于是，即，又已知，而，所以平面.(2)由平面，

14、所以是平面的一个法向量；由（1）知，平面，所以是平面的一个法向量.若面与面所成二面角的大小为，则，解得.所以，故当面与面所成二面角的大小为时，.6在矩形ABCD中，AB=2，AD=，E是DC中点，连接AE，将ADE沿AE折起，使得点D移动至点P，满足平面PAE平面ABCE.(1)求证：AEBP；(2)求二面角E-CP-B的余弦值.【解析】(1)证明：在矩形中，连接，记BD=AF=2AEFD,AEFB,AF=2FE 在四棱锥中，线段取点满足AEOP,AEOB,OPOB=O,AE平面BOP.(2)如图所示BC设平面的法向量为 设平面的法向量设二面角的大小为的余弦值为227如图所示，在四棱锥中，底面

15、，是的中点(1)求证：平面；(2)若，求二面角的余弦值【解析】(1)证明：取中点，连接，如图，则由中位线可知，又，故，而，四边形是平行四边形，又平面，平面，平面.(2)平面，故.在直角梯形中，.，.平面，平面，则，又底面，平面，则，由二面角的定义可知，即为二面角的平面角，又，由余弦定理，8已知三棱锥（如图一）及其展开图（如图二），四边形ABCD为边长等于的正方形，和均为正三角形.(1)证明：平面平面ABC；(2)若点M在棱PA上运动，当直线BM与平面PAC所成的角最大时，求点M到平面PBC的距离.【解析】(1)证明：设AC的中点为O，连接BO，PO.由题意，得，.在中，O为AC的中点，在中，.又，AC，平面ABC，平面ABC，平面PAC，平面平面ABC.(2)连接，如图，由（1）知，平面PAC，是直线BM与平面PAC所成的角，且，当OM最短时，最大，即当M是PA的中点时，直线BM与平面PAC所成的角最大，设点M到平面PBC的距离为h，由可得,因为M是PA的中点，所以，即，即点M到平面PBC的距离为.9如图，四棱锥的底面是平行四边形，平面，是的中点(1)证明：平面；(2)若，求直线