控制系统的数学模型市公开课获奖课件

1、控制工程基础主讲教师：韩锟Tel：82655345（O）Email:QQ：1297548665第1页第1页控制系统数学模型第三章第2页第2页控制系统分析和设计普通环节：第三章第四章第六章拟定模型结构拟定模型参数目的提出定性因果分析系统运动分析与预测目的实现决议与最优策略设计模型建立系统分析结识世界系统综合改造世界第3页第3页一、概述二、控制系统时域模型三、控制系统复域模型控制系统数学模型第4页第4页一、概述 描述系统动态特性数学方程，用来表示一个系统内部各部分之间、或系统与外部环境之间关系。控制系统数学模型基本概念 事实上，它是由系统输入、输出变量及系统参数构成数学关系式，是描述系统、分析系统

2、、控制系统工具。第5页第5页建立控制系统数学模型办法机理分析法：依据对客观事物特性结识，找出反应内部机理数量规律 建模办法测试分析法：将对象看作“黑箱”，通过对量测数据统计分析，找出与数据拟合最好模型基本办法第6页第6页建模注意事项建立系统数学模型，要从系统本身特点出发，不同性质系统，其建模过程有所不同；建模必须从系统所属学科理论和基本规律出发，在理论指导下建立；建立模型时，应明确模型工作条件，在工作条件允许情况下进行必要简化和假设，在满足使用要求前提下使模型尽也许简朴。第7页第7页控制系统数学模型形式几种基本概念 连续时间函数连续时间函数： 若函数x(t)自变量 t 在时间轴上连续取值，称x

3、(t)为连续时间函数。第8页第8页 离散时间函数t=0t=1t=2时间1月2月3月产量Y(t)1.521.8例：某电视机厂生产电视机月统计数据下列表：01.5Y(t)21.8t12离散时间函数：若函数x(t)自变量 t 仅在时间轴离散点上取值，则称x(t)为离散时间函数。第9页第9页 连续时间系统和离散时间系统连续时间系统：若系统输入输出都是连续时间函数，且在其内部也未转换成离散时间函数，则称此系统为连续时间系统。离散时间系统：若系统输入输出都是离散时间函数，则称此系统为离散时间系统。第10页第10页 时域、复域、频域自变量是时间时域（时间域）自变量是复变量复域（复数域）自变量是频率频域（频率

4、域）连续时间系统拉氏变换离散时间系统Z变换第11页第11页控制系统数学模型形式 概述在自然科学以及工程、经济、医学、体育、生物、社会等学科中许多系统，有时很难找到该系统相关变量之间直接关系函数表示式，但却容易找到这些变量和它们微小增量或改变率之间关系式，这时往往采用微分或差分关系式来描述该系统即建立微分或差分方程模型；连续时间系统动态模型可用微分方程来描述；离散时间系统动态模型可用差分方程来描述。第12页第12页数学模型形式复数域频率域时间域频率特性状态方程差分方程微分方程传递函数脉冲传递函数拉氏变换 拉氏反变换Z变换 Z反变换 控制系统数学模型详细形式第13页第13页二、控制系统时域数学模型

5、连续时间系统微分方程模型自然科学和工程技术领域 建模依据机械系统电气系统 建模基础：牛顿运动定律、胡克定律、能量守恒定理 建模基础：欧姆定理、基尔霍夫定律第14页第14页 建模环节 依据元件工作原理和在系统中作用，拟定各环节输入量和输出量，并依据需要引进一些中间变量。 右端输入，左端输出，导数降幂排。划分环节写出每一环节输入输出关系式消去中间变量写成原则形式拟定系统输入输出量第15页第15页 举例（第一组） 机械系统 阐明：机械系统中以各种形式出现物理现象，都可简化为质量、弹簧、阻尼三个要素！质量 M弹簧 K阻尼 B第16页第16页例1：机械平移系统：列写质量 m在外力F 作用下产生位移 y

6、运动方程。Fkyy！以外力作用前静止（平衡）点作为位移零点，以消除重力影响。证实：在外力作用前平衡状态，设弹簧和阻尼拉伸量为y1，为常数，此时有 外力作用后，设弹簧和阻尼拉伸量为y2，（2）-（1），有0第17页第17页证实（续）：如以外力作用前平衡点作为位移零点，则y1y2y位移零点弹力零点外力作用后位移点依据微分性质，有又由于y1，为常数，故将（4）、（5）、（6）式代入（3），整理后，得以外力作用前静止（平衡）点作为位移零点，能够消除重力影响。第18页第18页Fkyy依据牛顿运动定律，有：微分算子第19页第19页 电气系统阐明：电气系统三元件：电阻、电容、电感电阻 R电容 C电感 L第2

7、0页第20页例2：RLC电路：列写以ur(t)为输入量，uc(t)为输出量网络微分方程。RLCi(t)ur(t)uc(t)拟定系统输入输出量：输入ur(t)，输出uc(t)引入中间变量：中间变量：i(t)依据基尔霍夫电路定律，列写微分方程：第21页第21页消去中间变量：写成原则形式：相似！思考：该电路微分方程与上例机械平移系统异同。第22页第22页 从动态性能看，在相同形式输入作用下，数学模型相同而物理性质不同系统其输出相同（相同系统）。相同系统是控制理论中进行试验模拟基础。 通常，系统微分方程阶次等于系统中包括独立储能元件，如惯性质量、弹性要素、电感、电容、液感、液容等个数，由于每增长一个独

8、立储能元件，系统内部就多一层能量（信息）互换。 物理本质不同系统，能够有相同数学模型，从而能够抛开系统物理属性，用同一方法进行含有普遍意义分析研究（信息方法）； 小结：第23页第23页 举例（第二组） 自然科学领域物理学中单摆例3：建立单摆自由运动方程mglmv拟定系统输入输出量：输入：无输出：角度划分环节，引入中间变量：环节1：单摆第24页第24页单摆运动数学模型列写各环节运动方程：依据牛顿第二定律：写成原则形式：单摆运动数学模型单摆运动数学模型第25页第25页 工程技术领域倒立摆倒立摆系统 该系统由小车和安装在小车上倒立摆构成。倒立摆是不稳定，假如没有适当控制力作用到它上面，它将随时也许向

9、任何方向倾倒。这里我们只考虑二维问题，即认为倒立摆只在图所在平面内运动。 若有适当控制力u作用于小车上可使摆杆维持直立不倒。这实际是一个空间起飞助推器姿态控制模型(姿态控制问题目的是要把空间助推器保持在垂直位置)。第26页第26页例4：直线一级倒立摆系统 控制器依据偏差决议抱负摆角电机小车摆杆系统实际摆角角位移传感器偏差决议F结论： 需建立小车摆杆系统数学模型，找到摆角和外力F之间关系！第27页第27页 在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将该系统抽象为小车和匀质杆组成系统，以下图：M 小车质量m 摆杆质量b 小车与导轨摩擦系数l 摆杆质心到转轴长度I 摆杆转动惯量F 加在小车上力x 小车位置

10、摆杆与垂直向上方向夹角第28页第28页划分环节，引入中间变量：环节1：小车环节2：摆杆拟定系统输入输出量：输入：控制力F输出：角度中间变量：小车位置x列写各环节运动方程：拟定系统输入输出量：输入：控制力F输出：角度第29页第29页1）分析小车水平方向所受合力，有：第30页第30页2）分析摆杆水平方向所受合力，有：第31页第31页3）代(3)入(1)，得到系统第一个运动方程：4）分析摆杆垂直方向合力，有：第32页第32页4）摆杆对质心力矩平衡方程：5）从(3)、(6)、(7)中消去P和N，得到第二个运动方程：第33页第33页6）综上，系统两个运动方程为：第34页第34页 非线性模型线性化非线性模

11、型线性化基本办法基本思想基本假设数学工具 连续改变非线性特性函数线性化，可用切线法（或小偏差法），其实质是在一个很小范围内，将非线性特性用一段直线来代替。 在控制系统整个调整过程中，所有变量与稳态值之间只会产生足够微小偏差。泰勒级数第35页第35页单变量非线性函数在平衡点附近线性化办法 设函数 在 点连续可微，则将它在该点附近用泰勒级数展开，得 当增量 很小时，略去级数中含有其高次幂项，并将上式各边均减去 ，即 ，得第36页第36页 将参考坐标原点移到系统或元件平衡工作点上，对于实际系统就是以正常工作状态为研究系统运动起始点，这时，系统所有初始条件均为零。增量方程数学含义：线性化模型，又称增量

12、方程第37页第37页非线性函数线性化关键拟定系统平衡工作点！单摆自由运动方程线性化系统平衡工作点为（0,0）单摆运动线性化方程第38页第38页倒立摆系统运动方程线性化：系统平衡工作点（F0, 0）为（0,0）在平衡工作点处非线性项 线性化为：第39页第39页在平衡工作点处非线性项 线性化为：在平衡工作点处非线性项 线性化为：倒立摆系统线性化模型为：第40页第40页社会、经济等大系统领域模拟近似法：在生物、经济等学科实际问题中，许多现象规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂，惯用模拟近似方法来建立微分方程模型。建模时在不同假设下去模拟实际现象，这个过程是近似，用模拟近似法所建立微分方程从数学上

13、去求解或分析解性质，再去同实际情况对比，看这个微分方程模型能否刻划、模拟、近似一些实际现象。 建模办法用模拟近似法时必须检查所求得解是否与实际情况相符或基本相符。相符性越好则模拟得越好，不然就得找出不相符主要原因，对模型进行修改。 第41页第41页 举例 经济领域马尔萨斯（Malthus）人口预测模型背景资料：英国人口统计学家马尔萨斯（17661834）在担任牧师期间，查看了教堂100多年人口出生统计资料,发觉人口出生率是一个常数，于1789年在人口原理一书中提出了闻名于世马尔萨斯人口模型。基本假设：在人口自然增长过程中，净增长率（出生率与死亡率之差）是常数，即单位时间内人口增长量与人口成正比

14、，百分比系数设为r。第42页第42页问题描述：在上述假设下，推导并求解人口随时间改变数学模型。 分析与建模： 设t时刻人口数为N(t)，t = t0时，N(t0)= N0 ，则依据马尔萨斯假设，在 t 到 t 时间段内，人口增长量为：单位时间内人口增长量 t时间内人口增长量第43页第43页普通情况下， t 很小，人口总数N(t)很大，故可将N(t)当作连续、可微函数处理（离散变量连续化）。Malthus人口模型第44页第44页 模型求解：采用可分离变量法求解：两边积分，得：第45页第45页 模型检查：统计数据：据预计1961年地球上人口总数为3.06109，而在以后7年中，人口总数以每年2%速度增长，人口数大约每35年增长一倍。模型检查：令人口数量翻一番所需时间为T，则有： t0 = 1961，N0 = 3.06109，r = 0.02计算参数：第46页第46页 马尔萨斯模型一个明显特点：种群数量翻一番所需时间是固定。统计数据：据预计1961年地球上人口总数为3.06109，而在以后7年中，人口总数以每年2%速度增长，人口数大约每35年增长一倍。基本吻合第47页