微积分数学基础市公开课获奖课件

1、 导数和微分1 导数概念1第1页第1页1.变速运动速度第一节 导数概念一、改变率问题举例2第2页第2页3第3页第3页4第4页第4页2.切线问题5第5页第5页6第6页第6页 上面两个例子分别属于不同领域,一为运动问题，一为几何问题,但都要求计算函数值改变量与自变量改变量之比, 在当后者无限趋于零时极限.另外,很多理论或实际问题,也要求计算这种类型极限,这些量详细意义，抓住它们在数量关系上共性,便得出函数导数概念.7第7页第7页二、导数定义8第8页第8页9第9页第9页10第10页第10页11第11页第11页关于导数阐明：12第12页第12页三、由定义求导数:环节:例1解:13第13页第13页解14

2、第14页第14页15第15页第15页解16第16页第16页解17第17页第17页解18第18页第18页四 导数意义1 几何意义切线方程为法线方程为19第19页第19页2 简朴物理意义1）变速直线运动中：路程对时间导数为物体瞬时速度.20第20页第20页2）交流电路中电量对时间导数为电流强度.21第21页第21页2、熟记下列导数公式： （1） （C)=0（2）( 3)（4） （5） 22第22页第22页2 求导法则导数和微分23第23页第23页 解24第24页第24页推论例1解25第25页第25页例2解定理426第26页第26页例3解同理可得27第27页第27页例1解:先求运动方向28第28页第

3、28页再求速度大小29第29页第29页定 积 分30第30页第30页一、问题提出1. 曲边梯形面积设 y = f (x)为区间a, b 上连续函数，且f (x) 0，由曲线 y = f (x)，直线 x = a， x = by = 0 所围成图形称为曲边梯形。下面讨论曲边梯形面积31第31页第31页对于多边形面积，我们在中学就已经会计算了，比如矩形面积 = 底高显然，曲边梯形面积不能用这个公式来计算。直与曲不变与变32第32页第32页砖是直边长方体烟囱截面是弯曲圆“直砖”砌成了“弯圆”局部以直代曲33第33页第33页abxyoabxyo 即使曲边梯形准确面积我们不会计算，但是我们能够用一些小矩

4、形来近似算出它面积。 （四个小矩形）（九个小矩形）从中能够得到一个什么样启示？34第34页第34页小曲边梯形底：小曲边梯形高：小曲边梯形面积：35第35页第35页 分割用任意一组分点：把 a, b 分成 n 个小区间 xi-1, xi i=1, 2, , n相应地把曲边梯形分为 n 个小曲边梯形，其面积分别记为Si i=1, 2, , n（化整为零）36第36页第36页 近似代替在每个小区间 xi-1, xi 上任取一点i ，其中（曲转化为直）于是小曲边梯形面积37第37页第37页 求和（积零为整）大曲边梯形面积38第38页第38页 取极限令若极限存在，则定义此极限值为曲边梯形面积（直转化为曲

5、）让每个小区间长度趋于零再演示一下这个过程39第39页第39页定积分的演示1、分割 将a，b分割为n个小区间02、取介点 在每个小区间上任取一点xi3、局部以直代曲 每个小区间上曲线y=f(x)用直线段y=f(xi)代替4、作和：S=yx40第40页第40页定积分的演示1、分割 将a，b分割为n个小区间2、取介点 在每个小区间上任取一点xi3、局部以直代曲 每个小区间上曲线y=f(x)用直线段y=f(xi)代替4、作和：S=5、取极限 a byx41第41页第41页 求曲边梯形面积表达了曲转化为直、直转化为曲辩证思想。这个计算过程，就是一个先微分后积分过程。也就是说，把曲边梯形分割成许多小曲边

6、梯形，在每个小曲边梯形中，把曲边当作直边，用这些小“矩形”面积和近似地表示本来大曲边梯形面积，从而实现了局部曲转化为局部直，即“以直代曲”。42第42页第42页 然后，再把分割无限加细，通过取极限，就使小矩形面积和，转化为本来大曲边梯形面积。这样局部直又反过来转化为整体曲。这种曲转化为直，直转化为曲，以及由此所反应出来化整为零、积零为整思想办法，是微积分乃至整个高等数学一个主要办法。43第43页第43页F 即使是变力，但在很短一段间隔内，F改变不大，可近似看作是常力作功问题。按照求曲边梯形面积思想，F(x)AB 再看一个变力做功问题。 设 质点 m 受力 作用，在变力F作用下，沿直线由 A 点

7、运动到 B 点，求变力作功上一页下一页44第44页第44页 分割用任意一组分点：把 a, b 分成 n 个小区间 ti-1, ti i=1, 2, , n 近似代替在 ti-1, ti 上任取一点i ，于是在该小区间上力 作功 45第45页第45页 求和总功 取极限令若极限存在，则定义此极限值为力所做功46第46页第46页从上面例子看出，无论是求曲边梯形面积或是计算变力作功，它们都归结为对问题一些量进行“分割、近似求和、取极限”，或者说都归结为形如 和式极限问题。我们把这些问题从详细问题中抽象出来，作为一个数学概念提出来就是今天要讲定积分。由此我们能够给定积分下一个定义 47第47页第47页二

8、、定积分定义定义: 在 a, b 内任取一组分点将 a, b 分成 n个子区间i= xi-1, xi i=1, 2, , n 这些分点构成a, b 一个分割，记为T = x0, x1, , xn = 1, 2, , n 记 xi = xi xi-1 ， 并称为分割 T 模48第48页第48页称此和式为 f 在 a, b 上一个积分和，也称为黎曼（Riemann）和定义: 设函数 f (x) 在 a, b 上有定义, 对a, b一个分割T = 1, 2, , n ，任取点i i , i=1, 2, , n ，作和49第49页第49页定义: 设函数 f (x) 在 a, b 上有定义, 若任给 0

9、 ，总存在 0 ，使得 对a, b任何分割T = 1, 2, , n ，任意i i , i=1, 2, , n ，只要 |T| b 时, 52第52页第52页曲线 y = f (x) 0，直线 x = a， x = b， y = 0 所围成曲边梯形面积可用定积分表示为变力作功问题可表示为53第53页第53页例 1 求在区间 0, 1 上，以抛物线 y = x2为曲边曲边三角形面积解由定积分几何意义，有由于定积分存在，对区间 0, 1 取特殊分割54第54页第54页将区间 0, 1 等分成 n 等份, 分点为每个小区间长度取则有55第55页第55页56第56页第56页与区间及被积函数相关；B.与

10、区间无关与被积函数相关 C.与积分变量用何字母表示相关；D.与被积函数形式无关 在 上连续，则定积分 值4.(B)中，积分上限是 积分下限是 积分区间是 2.(A) 及x轴所围成曲边梯形 面积，用定积分表示为 与直线 由曲线(B)举例 2-2-2,20A3.定积分(A)57第57页第57页 三 定积分几何意义.当 f (x) 0，定积分几何意义就是曲线 y = f (x)直线 x = a， x = b， y = 0 所围成曲边梯形面积bAoxyay=f (x)S58第58页第58页当函数 f (x) 0 ， xa, b 时 定积分就是位于 x 轴下方曲边梯形面积相反数. 即oxyaby=f (

11、x)S59第59页第59页四、小结定积分实质：特殊和式极限定积分思想和办法：分割化整为零求和积零为整取极限准确值定积分求近似以直（不变）代曲（变）取极限3.定积分几何意义及简朴应用60第60页第60页我们已经利用定积分处理一些应用问题计算, 如：变力沿直线所做功已知质点运动速度，求质点运动路程曲边梯形面积 面积元素abxyo61第61页第61页1.1 矢量基本运算1.1.1标量和矢量 电磁场中碰到绝大多数物理量， 能够容易地域分为标量（Scalar）和矢量(Vector)。 一个仅用大小就能够完整描述物理量称为标量， 比如， 电压、温度、时间、质量、电荷等。 事实上， 所有实数都是标量。 一个

12、有大小和方向物理量称为矢量， 电场、磁场、力、速度、力矩等都是矢量。比如， 矢量A能够表示成 A=aA 其中， A是矢量A大小; a代表矢量A方向， a=A/A其大小等于1。 返回62第62页第62页 一个大小为零矢量称为空矢（Null Vector）或零矢（Zero Vector），一个大小为1矢量称为单位矢量（Unit Vector）。在直角坐标系中，用单位矢量ax、ay、az表征矢量分别沿x、y、 z轴分量方向。 空间一点P(X,Y,Z)能够由它在三个互相垂直轴线上投影唯一地被拟定，如图1-1所表示。从原点指向点P矢量r称为位置矢量(Position Vector)，它在直角坐标系中表示

13、为 r=axX+ayY+azZ 63第63页第63页图1-1 直角坐标系中一点投影 64第64页第64页 X、Y、Z是位置矢量r在x、y、z轴上投影。 任一矢量A在三维正交坐标系中都能够给出其三个分量。比如，在直角坐标系中，矢量A三个分量分别是Ax、Ay、Az，利用三个单位矢量ax、ay、 az 能够将矢量A表示成： A=axAx+ayAy+azAz 矢量A大小为A： A=(A2x+A2y+A2z)1/2 65第65页第65页1.1.2矢量加法和减法 矢量相加平行四边形法则 ，矢量加法坐标分量是两矢量相应坐标分量之和，矢量加法结果仍是矢量 66第66页第66页1.1.3矢量乘积矢量乘积包括标量

14、积和矢量积。 1） 标量积任意两个矢量A与B标量积(Scalar Product)是一个标量，它等于两个矢量大小与它们夹角余弦之乘积，如图1-2所表示， 记为 AB=AB cos 图1-2 标量积67第67页第67页比如，直角坐标系中单位矢量有下列关系式： axay=ayaz= axaz=0 axax=ayay=azaz=1 任意两矢量标量积，用矢量三个分量表示为 AB=AxBx+AyBy+AzBz 标量积服从互换律和分派律，即 AB=BA A(B+C)=AB+AC68第68页第68页 2） 矢量积 任意两个矢量A与B矢量积（Vector Product）是一个矢量，矢量积大小等于两个矢量大小与它们夹角正弦之乘积，其方向垂直于矢量A与B构成平面， 如图1-3所表示，记为 C=AB=anAB sin an=aAaB （右手螺旋）69第69页第69页 图 1 - 3 矢量积图示及右手螺旋 (a) 矢量积 (b) 右手螺旋70第70页第70页 矢量积又称为叉积(Cross Product)，假如两个