定积分的应用讲义市公开课获奖课件

1、1 平面图形面积 2 由平行截面面积求体积3 平面曲线长4 定积分在物理学中应用第十章 定积分的应用第1页第1页第十章 定积分的应用1 平面图形面积第2页第2页 本章中我们将用前面学过定积分知识来分析和处理一些几何、物理中问题，其目的不但是建立计算这些几何、物理公式，并且更主要还在于简介利用元素法处理问题定积分分析办法。第3页第3页考虑曲边梯形面积计算问题一 问题提出abxyo第4页第4页面积表示为定积分要通过下列环节：（3） 求和，得A近似值（4） 求极限，得A准确值第5页第5页两式，我们发觉一个事实，左边极限式子与右边定积分表示式有较好相应。我们让 要想得到一个定积分表示式，只要求出被积表

2、示式这就是定积分元素法第6页第6页二 定积分元素法（Element Method ）第7页第7页元素法普通环节第8页第8页这个办法通常叫做元素法应用方向：平面图形面积；体积；平面曲线弧长；功；水压力；引力和平均值等第9页第9页复习: 定积分几何意义三、平面图形面积:由连续曲线y=f(x),直线x=a,x=b及x轴所围成图形y=f(x)ab0 xy如何求面积呢？第10页第10页A-AA表示以y=f(X)为曲边曲边梯形面积ababy=f(x)0y=f(x)0 xxyy00AA第11页第11页2.假如f(x)在a,b上时正，时负，以下图结论：几何意义abxyy=f(x)0第12页第12页问题:试用定

3、积分表示下列各图中影阴部分面积。0 xy=x22yy0 xy=f(x)y=g(x)ab讲授新课:直角坐标系第13页第13页xyo曲边梯形面积曲边梯形面积1 直角坐标系情形穿针法或微元素法被积函数上-下、右-左第14页第14页结论:普通地,由上,下两条曲线y=f(x)与y=g(x)以及两条直线x=a与x=b(ab)所围平面图形面积计算公式为第15页第15页例1.用定积分表示图中四个阴影部分面积解：0000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1第16页第16页解：0000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1a

4、b-12f(x)=(x-1)2-1第17页第17页解：0000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1第18页第18页解：0000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1第19页第19页解两曲线交点，面积元素选 为积分变量解方程组注 被积函数为上-下，上为 下为第20页第20页解两曲线交点选 为积分变量注 被积函数为“右-左”右为直线，左为抛物线第21页第21页假如曲边梯形曲边为参数方程曲边梯形面积第22页第22页解椭圆参数方程由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积第23页

5、第23页面积元素曲边扇形面积2 极坐标系情形第24页第24页解于是第25页第25页解利用对称性知第26页第26页解由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积第27页第27页第28页第28页元素法提出、思想、环节.（注意微元法本质）四 小结 思考题微元法与定积分关系是什么？平面图形面积计算办法（注直角坐标、参数方程、极坐标）第29页第29页第十章 定积分的应用2 由平行截面面积求体积第30页第30页 旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成立体这直线叫做旋转轴圆柱圆锥圆台1 旋转体体积一、 空间立体体积第31页第31页xyo旋转体体积为第32页第32页解直线方程为过原点 及点第33页第

6、33页第34页第34页第35页第35页解第36页第36页第37页第37页第38页第38页利用公式，可知上例中第39页第39页2、平行截面面积为已知立体体积从计算旋转体体积过程能够看出：假如一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴各个截面面积，那么，这个立体体积也可用定积分来计算.立体体积第40页第40页解建立坐标系，底圆方程为截面面积立体体积第41页第41页解建立坐标系，底圆方程为截面面积立体体积第42页第42页第十章 定积分的应用3 平面曲线弧长第43页第43页1、平面曲线弧长概念 平面曲线弧长第44页第44页定理 光滑曲线弧是可求长。简介 光滑曲线 当曲线上每一点处都含有切线，且切

7、线随切点移动而连续转动，这样曲线称为光滑曲线。第45页第45页就是弧长元素弧长2 直角坐标情形由第三章弧微分公式知第46页第46页解因此弧长为第47页第47页设曲线弧为弧长3 参数方程情形第48页第48页解全长因此第49页第49页曲线弧为弧长4 极坐标情形第50页第50页解第51页第51页1光滑曲线概念.四 小结2平面曲线弧长概念直角坐标系下参数方程情形下极坐标系下3 弧长公式第52页第52页第十章 定积分的应用4 定积分在物理学中应用第53页第53页一 变力沿直线所作功第54页第54页第55页第55页解即功元素为所求功为第56页第56页解建立坐标系如图5m3m第57页第57页这一薄层水重力为功元素为(千焦)3m5m第58页第58页二 水压力第59页第59页解在端面建立坐标系如图第60页第60页第61页第61页解 建立坐标系如图L则斜边所在直线方程第62页第62页由定义域内驻点唯一知当时所受压力最大。第63页第63页三、引力第64页第64页解 建立坐标系如图将典型小段近似当作质点小段质量为第65页第65页小段与质点距离为引力水平方向分力元素由对称性知，引力在铅直方向分力为第66