高中数知识点归纳总结之三角函数篇

1、- 第三章 三角函数,解三角形 第 1 讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数 一,必记 3 个学问点 1 角的概念 按旋转方向不同分为正角,负角,零角 . 在内,可构成一个集合 S | 1 分类 按终边位置不同分为象限角和轴线角 . 2 终边相同的角：全部与角 终边相同的角,连同角 k 360 , k Z 2 弧度的定义和公式 1 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角,弧度记作 rad. 2 公式：弧度与角度的换算： 360 2 弧度； 180 弧度；弧长公式： l | |r ； 扇形面积公式： S 扇形 lr 和 1 1| |r . 2 2 23 任意角的三角函数 1 定义

2、：设 是一个任意角, 它的终边与单位圆交于点 Px,y,就 sin y,cos x, y tan xx 0 2 几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示正弦线的起点都在 x 轴上, 余弦线的起点都是原点,正切线的起点都是 1,0 如图中有向线段 MP ,OM , AT 分别叫做角 的正弦线, 余弦线和正切线 二,必明 3 个易误区 1易混概念： 第一象限角, 锐角, 小于 90 的角是概念不同的三类角 第 一类是象限角,其次,第三类是区间角 2 利用 180 rad 进行互化时,易显现度量单位的混用 3 三角函数的定义中,当 但如不是单位圆时,如圆的半径为 Px, y 是单位圆上的点时

3、有 y sin y, cos x, tan x, r,就 sin y, cos x, tan rr三,必会 2 个方法 1三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正,二正弦,三正切,四余弦； 2 对于利用三角函数定义解题的题目,假如含有参数,确定要考虑运用分类争辩,而 在求解简洁的三角不等式时,可利用单位圆及三角函数线,表达了数形结合的思想 考点一 角的集合表示及象限角的判定 1.给出以下四个命题： 第 1 页,共 13 页- - 3 是其次象限角； 4 是第三象限角； 400 是第四象限角； 315 是第一象 43B 2 个 C 3 个 D 4 限角其中正确的命题有 A 1 个 个 解析：选

4、 C 3 是第三象限角,故错误； 4 4 是第三象限角,故正 ,从而 4333确； 400 360 40,从而正确； 315 360 45,从而正确 2设集合 M x k k x 2180 45, k Z , N x x 4180 45, k Z ,那么 A M N B M. N C N. M D MN. 解析：选 B 法一 ：由于 M x x k 18045,k Z , , 45, 45, 135 , 2225 , , , k N x x 4 180 45, k Z , , 45 , 0, 45 , 90 , 135 , 180 , 225 , , , 明显有 M. N ,应选 B. 法二

5、：由于 M 中, x k180 45 k90 45452k 1,2k 1 是奇数；而 N 中, 2k x4180 45 k45 45 k 1 45, k 1 是整数,因此必有 M. N,应选 B. 3终边在直线 y 3x 上的角的集合为 解析： 终边在直线 y 3x 上的角的集合为 |k 3, k Z 答案： | k3, k Z 4在 720 0范畴内找出全部与 45终边相同的角为 解析：全部与 45 有相同终边的角可表示为： k 360 0 , 45 k 360k Z ,就令 720 45 得 765 k 360 45 ,解得 765 k0 时, r 10k , sin 3k 3, 1 10

6、 k 10 , 10sin 3 3 10 3 10 0； 10k 10 cos k cos 当 k0 时, r 10k , sin 3k 3 , 1 10k 10 , 10k 10 cos k 10sin 3 3 10 3 10 0. 综上, 10sin 3 0. cos cos 考点三 扇形的弧长及面积公式 典例 已知扇形周长为 10 ,面积是 4 ,求扇形的圆心角 第 3 页,共 13 页- - 解 ：设圆心角是 ,半径是 r ,就 12r r 10 .r 1, 舍 , r 4 , 故扇形 2 41, 1 8 2 2r 圆心角为 2. 类题通法 弧度制应用的关注点 1 1 弧度制下 l |

7、 r, S 2lr ,此时 为弧度在角度制下,弧长 n r2 ,此时 n 为角度,它们之间有着必定的联系 360 nr ,扇形面积 S l 180 2 在解决弧长,面积及弓形面积时要留意合理应用圆心角所在的三角形 针对训练 ：已知扇形的圆心角是 120 ,弦长 AB 12 cm ,求弧长 l . 解：设扇形的半径为 r cm ,如图由 sin 60 6,得 r4 3 cm , l | r r8 3 3 cm 2 4 3 3课后作业 试一试 1如 k180 45kZ ,就 在 A A 第一或第三象限 B 第一或其次象限 C其次或第四象限 D第三或第四象限 12已知角 的终边经过点 3, 1,就

8、sin . 答案： 2 由 tan 练一练 ：如 sin 0,就 是 B 其次象限角 A 第一象限角 C第三象限角 由 sin 0, 知 在第一或第三象限,因此 在第三象 限 做一做 1如以下图,在直角坐标系 xOy 中,射线 OP 交单位圆 O 于点 P,如 AOP ,就点 P 的坐标是 A cos , sin B cos , sin Csin , cos D sin , cos 解析：选 A 由三角函数的定义知 Pcos , sin ,选 A. 2已知扇形的周长是 6 cm ,面积是 2 cm 2,就扇形的圆心角的弧度数是 A 1 或 4 B 1 第 4 页,共 13 页- - C 4 D

9、 8解析：选 A 设扇形的半径和弧长分别为 r , l ,就易得 l 2r 6 , 解得 l 4 或 1 2lr 2 , r 1 l 2, r 2. 故扇形的圆心角的弧度数是 4 或 1. 3已知角 的终边经过点 3a 9, a 2,且 cos 0 , sin 0,就实数 a的取值范畴 是 A 2,3 B 2,3 C 2,3 D 2,3 解析： 选 A cos 0, sin 0,角 的终边落在其次象限或 y 轴的正半轴上 3a 9 0, 20 , 4在与 2 010 终边相同的角中,确定值最小的角的弧度数为 解析： 2 010 67 5 ,与 2 010 终边相同的角中确定值最小的角的弧度数为

10、 5 5 6 12 6 6 .答案： 6 52022 辽源模拟 如三角形的两个内角 , 中意 sin cos 0,就此三角形为 解析： sin cos 0,且 , 是三角形的两个内 sin 0, cos 0, 为 角 钝 角 故此三角形为钝角三角形 答案： 钝角三角形 , ,求 的三角函数值 6已知角 的终边过点 P 3cos , 4cos ,其中 2 , 2 2 4cos 解： 2 3, tan 4, 1cos 0, r . 9cos 16cos 5cos ,故 sin 5, 5 37已知 cos tan 0,那么角 是 A 第一或其次象限角 B其次或第三象限角 C第三或第四象限角 D第一

11、或第四象限角 解析： 选 C 8已知角 线 3A 2 易知 sin 0 ； cos 2 200 cos 40 cos 40 0； tan 10 tan3 100 ； 7 sin cos 10 7 sin 10 ,17 sin 7 A 17 0. 90到 B 点,就 B 17 100 , tan 9 O 是原点, tan 9 tan 9 3, 1,将点 A 绕 O 逆时针旋转 11 在直角坐标系中, 点坐标为 解析： 依题意知 OA OB 2, AOx 30 , BOx 120 , 设点 B 坐标为 x,y ,所以 x 2cos 120 1, y 2sin 120 3,即 B 1, 3 答 案：

12、 1 , 3 12. 如以下图,在平面直角坐标系 xOy 中,角 的终边与单位圆交于点 A,点 A 的纵坐 标为 4,就 cos . 5由于 A 点纵坐标 yA 4,且 A 点在其次象限,又由于圆 O 为单位圆,所以 A 点 解析： 5 横坐标 xA 3,由三角函数的定义可得 cos 3 .答案： 3 55513 一个扇形 OAB 的面积是 1 cm 2,它的周长是 4 cm ,求圆心角的弧度数和弦长 AB. 解： 设圆的半径为 r cm,弧长为 l cm ,就1 2 lr 1,解得 r , 1 圆心角 l l 2r 4, l 2. r第 6 页,共 13 页- - 2.如图,过 O 作 OH

13、 AB 于 H. 就 AOH 1 弧度 AH 1 sin 1 sin 1cm , AB 2sin 1cm 三角函数 1. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为 （ l R,S 扇 1 l R 1 ,半径为 R 的弧长公式和扇形面积公式吗？ R2） 2 2 R1 弧度 O R2. 熟记三角函数的定义,单位圆中三角函数线的定义 sin MP , cos OM , tan AT y B S T P 如：如 8 O MA x 0,就 sin , cos , tan 的大小次序是 第 7 页,共 13 页- - 又如：求函数 y 1 2 cos 2 x 的定义域和值域； （ 1 2 cos x ） 1 2

14、 sin x 0 2 sin x 2,如图： 2 2k 5 x 2k k Z , 0 y12 4 4 3. 你能快速画出正弦,余弦,正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间,对称点,对 称轴吗？ sin x 1 , cosx 1 y y tgx x O 2 2 第 8 页,共 13 页- - 对称点为 k , 0 , k Z 2 y sin x 的增区间为 2k , 2k 2 k Z 2 减区间为 2k , 2k 3 k Z 2 2 k Z 图象的对称点为 k , 0 ,对称轴为 x k 2 y cosx 的增区间为 2k , 2k k Z A c o s x 减区间为 2k , 2k 2 k

15、Z 图象的对称点为 k , 0 ,对称轴为 x k k Z 2 ytan x 的增区间为 k , k k Z 2 2 4.正弦型函数 y = A s i n x + 的图象和性质要熟记； 或 y （ 1）振幅 |A|,周期 T 2 ,求出 x 与 y,依 | | 如 f x 0A ,就 x x 0 为对称轴； 如 f x 00,就 x , 0 为对称点,反之也对； （ 2）五点作图：令 x 依次为 0, , , 3 , 2 点 （ x, y ）作图象； 2 2 （ 3）依据图象求解析式；（求 A , , 值） 第 9 页,共 13 页- - x 1 0如图列出 x 2 2 x ,T | | 解

16、条件组求 , 值 正切型函数 y A tan 5. 在三角函数中求一个角时要留意两个方面先求出某一个三角函数值,再判定角的 范畴； 如： cos x 6 , 2 , x 6 3 , ,求 x 值； 5 , x 13 ） （ x 2 , x 2 7 x 3 5 2 4 6 3 6 12 6. 在解含有正,余弦函数的问题时,你留意（到）运用函数的有界性了吗？ 如：函数 y sin x sin|x| 的值域是 0, y 2, 2 ） （x 0 时, y 2sin x 2, 2 , x 0 时, y 7. 娴熟把握三角函数图象变换了吗？ （平移变换,伸缩变换） 平移公式： （ 1）点 P（ x, y）

17、 a h , k P （ x , y ）,就 x x h k 0 （ 2）曲线 f x ,y k 平移至 y y 0 沿向量 a h,k 平移后的方程为 f x h,y 如：函数 y 2 sin 2x 1 的图象经过怎样的变换才能得到 y sin x 的 4 图象？ （ y 2 sin 2x 4 1 横坐标伸长到原先的 2倍 y 1 2 sin 2 x y 1 2 4 2sin x 1 左平移 个单位 4 y 2 sin x 1 上平移 个单位 1 2 sin x 4 纵坐标缩短到原先的 1 倍 y sin x ） 2 8. 娴熟把握同角三角函数关系和诱导公式了吗？ 第 10 页,共 13 页

18、- - 如： 1 sin 2cos2sec 2tan 2tan cotcos sectan 4 sincos0 , 称为 1 的代换； 2 “ k 2 “奇”,“偶”指 ”化为 的三角函数“奇变,偶不变,符号看象限”, k 取奇,偶数； 如： cos 9 tan 7 sin 21 4 又如：函数 y A. 正值或负值 6 sin tan ,就 y 的值为 cos cot B. 负值 C. 非负值 D. 正值 （ y sin sin sin 2 cos 1 0 , 0） cos cos cos2sin 1 cos sin 9 娴熟把握两角和,差,倍, 懂得公式之间的联系： 降幂公式 及其逆向应用

19、了吗？ sin sin cos cos sin 令 sin 2 2 sin cos cos cos cos sin sin 令 cos2 cos 2sin 2tan tan tan , tan 2 cos 21 1 2 sin21 tan tan cos 21 cos2 2 tan 2 2 tan 1 tan 22 1 cos2 sin 2 asin b cos a2 b2 sin b sin a cos 2 sin 4 sin 3 cos 2 sin 3 应用以上公式对三角函数式化简； 角函数,能求值,尽可能求值；） 具体方法： （化简要求：项数最少,函数种类最少,分母中不含三 （ 1）角的变换：如 , 2 2 2 , 第 11 页,共 13 页- - （ 2）名的变换：化弦或化切 （ 3）次数的变换：升,降幂公式 （ 4）形的变换：统一函数形式,留意运用代数运算； 如：已知 sin cos 1, tan 2 ,求 tan 2 的值； 1 1 ） 1 cos2 sin cos cos 3 1 （由已知得： 1, tan 2sin 22 sin 2 2 1 又 tan 2 3 tan2 tan 1 tan tan 13 2 2 t