高中数学好题速递题第题含答案解析

1、好 题 速 递 11已知 P 是 ABC 内任一点 , 且中意 AP uuur uuur xAB uuur yAC , x , y R, 就 y 2x 的取值范畴是 uuur 解法一：令 AQ x 1y uuur AP x x uuur AB y uuur AP uuur AQ x y uuur AC y , 由系数和 x x y x y y 1 , 知点 Q 在线段 BC 上从而 x y 1 由 x , y 中意条件 x 0, y y 1, 0, 易知 x y 2 x 0,2 解法二：由于题目没有特别说明 ABC 是什么三角形,所以不妨设为 等腰直角三角形,就立刻变为线性规划问题了 2在平面

2、直角坐标系中, x 轴正半轴上有 5 个 点 , y 轴正半轴有 3 个 点,将 x 轴上这 5 个点和 y 轴上这 3 个点连成 15 条线段,这 15 条线段在 第一象限内的交点最多有 个 答案： 30 个 好题速递 2 1 定 义 函 数 f x x x , 其 中 x 表 示 不 超 过 的 最 大 整 数 , *如: 1.5 1, 1.3 2 , 当 x 0, n n N 时, 设函数 f x 的值域为 A , 记集 合 A 中的元素个数为 an , 就式子 an 90 的最小值为 n【答案】 13 【解析】当 n 0,1 时, x x 0 , 其间有 1 个整当 n i ,i 1

3、, i 1,2, L , n 1 时, i 2 数； x x i i 1, 其间有 i 个正整数 , 故 an 1 1 2L n 1 nn 1 1, an 90 n 91 1 , 2 n 2 n 2由 n 91 得, 当 n 13 或 14 时, 取得最小 13 2 n 值 2 有七名同学站成一排照毕业纪念照,其中甲必需站在正中间, 并且乙,丙两倍同学要站在一起,就不同的站法有 种 答案： 192 种 第 1 页,共 43 页好题速递 3 1已知直线 l 平面 ,垂足为 O 在矩形 ABCD 中, AD 1 , AB 2, 如点 A 在 l 上移动,点 在平面 上移动,就 , D 两点间的最大

4、距离 为 ,就 点的轨迹是球面的一部分, OE 1 , 解：设 AB 的中点为 E DE 2 , 所以 OD OE ED 21当且仅当 O, E, D 三点共线时等号成立 2 将,四个球放入编号为 1,2,3 的三个盒子中, 每个盒子中至少放一个球且,两个球不能放在同一盒子中,就 不同的放法有 种 答案： 30 种 好题速递 41 在平面直角坐标系 xOy 中,设定点 A a, a , P 是函数 y 1x 0 图 x 象上一动点如点 P, A 之间的最短距离为 22 ,就中意条件的实数 a的全部值为 解： 函数解析式（含参数）求最值问题 由于 x 0 ,就 x 12 ,分两种情形： 10 x

5、 （ 1）当 a 2 时, AP min a222 2 ,就 a第 2 页,共 43 页（ 2）当 a 2 时, AP min 2 2a 4a 22 2 ,就 a 112 将 5 名实习老师支配到高一年级的 3 个班实习,每班至少 名,最多 2 名,就不同的支配方案有 种 答案： 90 种 好题速递 5 1已知 x, y R ,就 x y 2x 22的最小值为 y 解： 构造函数 y x, y 22 ,就 x, x 与 y, 2 两 y x 点分别在两个函数图象上,故所求看成两点 x, x 与 2 y , y 之间的距离平方, 0m2 2 , d2令 y x m2 x mx 202 m8y 2

6、x 2 的切线,故最小距离为 x 所以 y x 22 是与 y x 平行的 y 2所以 x y 2x 22的最小值为 4y 2 某单位要邀请 10 位老师中的 6 人参加一个研讨会,其中甲,乙 两位老师不能同时参加,就邀请的不同方法有 种 答案： 140 种 好题速递 61已知定圆 O1, O2 的半径分别为 r1, r2 ,圆心距 O1O2 2 , 动圆 C 与圆 O1,O2 都相切,圆心 C 的轨迹为如以下图的 两条双曲线,两条双曲线的离心率分别为 e1, e2 ,就 第 3 页,共 43 页e1 e2 的值为（ e1e2 ） B r1 和 r2 中 的 较 小 者 A r1 和 r2 中

7、的较大者 C r1 r2 D r1 r2 解：取 O1 , O2 为两个焦点,即 c 1如 e C 与 e O1 , e O2 同时相外切（内切）,就 CO1 CO2 R r1 R r2 r2 r1 如 e C 与 e O1 , e O2 同时一个外切一个内切,就 CO1 CO2 R r1 R r2 r2 r1 因此形成了两条双曲线 113种不同的树 r2 r1 r2 r1 此时 e1 e2 e1e2 2 12 1,不妨设 r 2r 1,就 e1 e2 e1e2 r2r2 r1 r2 r1 222某班同学参加植树节活动,苗圃中有甲,乙,丙 苗,从中取出 5 棵分别种植在排成一排的 5个树坑内,

8、同种树 苗不能相邻,且第一个树坑和第 法共有 种 答案： 6 种 5 个树坑只能种甲种树苗的种 好题速递 71 已知 F1 , F2 是双曲线 x 2 2ay 2 2 b1 a 0,b 0的左右焦点,以 F1 F2 为直径 的圆与双曲线的一条渐近线交于点 M,与双曲线交于点 N ,且 M, 第 4 页,共 43 页N均在第一象限,当直线 MF1 / / ON 时,双曲线的离心率为 e ,如函数 f x 2 x 2x 2 x ,就 f e 解： x2 y 2 bx ac 2 M a, b y k F M 1b,所以 kON ab,所以 ON c 的方程为 y abc x , a c x 所以 a

9、2 2y 2 2 b1Na a c , c 2 2ac cab abx c 2 2ac y 又 在圆 x 22 y c 2上,所以 a a c 22 c ab 22 c 2 c 2ac 2ac 所以 e 3 2e22e 20 ,所以 f ee 2 2e 22e2用 0, 1, 2, 3, 4 这五个数字组成无重复数字的五位数,其中 恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间,这样的五位数的个数有 个 答案： 28 个 好题速递 8 1 已 知 ABC 的 三 边 长 分 别 为 a,b,c , 其 中 边 为 最 长 边 , 且 1 9 1 ,就 c 的取值范畴是 a b解：由题意知, a c, b

10、 c ,故 1 1 9 1 9 10 ,所以 c 10 a b c c c 又由于 a b c ,而 ab ab 1 9 10 b 9a 16 a b a b所以 c 16 故综上可得 10 c 16 2 从 5 名抱负者中选出 3 名,分别从事翻译,导游,保洁三项不 第 5 页,共 43 页同的工作,每人承担一项,其中甲不能从事翻译工作,就不同的 选派方案共有 种 解： 48 种 好题速递 91在平面直角坐标系 xoy 中,已知点 A 是半圆 2 x 2 y 4 x 0 2 x 4上 的 的一个动点,点 C 在线段 OA 的延长线上当 uuur uuur OAgOC 20 时,就点 C纵坐标

11、的取值范畴是 解：设 A 22cos ,2sin , C 22 cos ,2 sin , 1 , , 2 2 uuur uuur 由 OAgOC 20 得： 252cos 所以 y C225sin 15sin 5 sin 05,5 cos 12cos cos 2 编号为 1, 2,3,4, 5 的五个人分别去坐编号为 1, 2,3,4, 5 的五个座位,其中有且只有两个的编号与座位号一样的坐法是 种 答案： 20 种 好题速递 10 1 点 是 直 角 ABC 斜 边 AB 上 一 动 点 , AC 3,BC 2 ,将直角 ABC 沿着 CD 翻折,使 B DC 与 ADC 构成直二面角,就翻

12、折后 AB 的最小值是 第 6 页,共 43 页解：过点 B 作 B E CD 于 E ,连结 BE, AE , 设 BCD B CD , 就有 B E 2sin , CE 2cos , ACE 2在 AEC 中由余弦定理得 2 AE9 4cos212cos cos 294cos212sin cos 在 RT AEB 中由勾股定 理得 AB2AE2B E292 4cos12sin cos 2 4sin 13 6sin 2 所 以 当 4时 , AB 取得最小值为 72从 1 到 10 这是个数中,任意选取 4 个数,其中其次大的数是 7的情形共有 种 答案： 45 种 好题速递 11 x x

13、1已知函数 f x 44 x k 2 2 x 1 1 ,如对于任意的实数 x , x , x 均存在以 1 2 3 f x1 , f x2 , f x3 为 三 边 长 的 三 角 形 , 就 实 数 k 的 取 值 范 围 是 x x 解： f x 44 x k 22 x 1 112 x k 1 2 1x 1令 g x 10, 12 x 1x 1 32当 k 1 时, 1 f x k 2 ,其中当且仅当 x 0 时取得等号 3第 7 页,共 43 页所以如对于任意的实数 x1, x2 , x3 均存在以 f x1 , f x2 , f x3 为三边长的三 角形,只需 2k 2 ,所以 1 3

14、k 40 时取得等号 当 k 1 时, k 23f x 1 ,其中当且仅当 x 所以如对于任意的实数 x1, x2 , x3 均存在以 f x1 , f x2 , f x3 为三边长的三 角形,只需 2k 321 ,所以 1k 1块广告牌,牌的底色可选用 2综上可得, 1k 422在一条南北方向的步行街同侧有 8红,蓝两种颜色,如只要求相邻两块牌的底色不都为红色,就不同 的配色方案共有 种 答案： 55 种 好题速递 12 1已知函数 f x x2 2ax a2 1 ,如关于 x 的不等式 f f x 0 的解集为 空集,就实数 a 的取值范畴是 解： f x x 2 2ax a2 1 x a

15、 1 x a1所以 f x 0 的解集为 a 1, a 1所以如使 f f x 0 的解集为空集就是 a1 f x a 1 的解集为空,即 fmin x a1所以 1 a 1 ,即 a 22某校举办奥运学问竞赛,有 6 支代表队参赛,每队 2 名同学, 12 名参赛同学中有 4 人获奖,且这 4 人来自 3 人不同的代表队,就不 第 8 页,共 43 页同获奖情形种数共有 种 答案： C6 C3C 2C2 3 1 1 1 种 好题速递 13 1 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 f x 满 足 f x f 2 x 0； 2f x f 2 x 0 ；在 1,1 上的表达式为 f x 1 x

16、 , x 1,0 ,就函数 1 x, x 0,1 x 2 , x 0f x 与 函 数 g x log 1 x, x 0 的 图 象 在 区 间 3,3 上 的 交 点 个 数 2为 如 5 ax 1 3 x 的 系 数 是 80 , 就 实 数 a的 值 2 的 展 开 式 中 是 答案： 2 好题速递 14 1 f x 是 定 义 在 正 整 数 集 上 的 函 数 , 且 满 足 f 12022 , f 1 f 2Lf nn 2 f n,就 f 2022 解： f 1f 2Lf nn 2 f n, f 1f 2Lf n 1n12f n1两式相减得 f nn2 f nn1 2f n1所以

17、f nf n 1n1n11所以 f 2022 f 2022 f 2022 f 2 f 12022 2022 2022 L12022 2022 2022 32022 2f 2022 f 2022 f 1 2022 1008 2 某次文艺汇演,要将 A, B,C,D, E,F 这六个不同节目编排成 节目单,如下表： 序号 123456节目 假如 A,B 两个节目要相邻,且都不排在第 3 号位置,那么节目单上 第 9 页,共 43 页不同的排序方式 有 种 答案： 144 种 好题速递 15 1 如 r r a,b 是两个非零向量,且 a rb ra rb r, 3 ,1 ,就 b 与 r ra b

18、 的 r3夹角的取值范畴是 解：令 a rb r1 ,就 a r rb 12 2 1设 a,b r r,就由余弦定理得 cos 1 1 21 12 cos 2 2又 3 3 ,1 ,所以 cos 1 , 1 2 2 所 以 3 , 2 3 , 所 以 由 菱 形 性 质 得 b, a r rb r 23, 5 2 如 x 1 n的 展 开 式 中 第 三 项 系 数 等 于 6, 就 11 n= 答案： 12 好题速递 16 1 函数 f x x 2x ,集合 A x, y | f x f y 2, 2B x, y | f x f y ,就由 AI B 的元素构成的图形 的面积是 解： A x

19、, y | f x f y 2 x, y | x 1 2y 1 24画出可行域,正好拼成一个半圆, S 2第 10 页,共 43 页2 甲,乙,丙,丁四个公司承包 8 项工程,甲公司承包 3 项,乙 公 司 承 包 1 项 , 丙 , 丁 两 公 司 各 承 包 2 项 , 共 有 承 包 方 式 种 答案： 1680种 好题速递 17 1 在 棱 长 为 1 的 正 方 体 ABCD A1B1C1D1 中 , uuur AE 1uuuur2 AB1 ,在面 ABCD 中取一个点 F ,使 uuur EF uuuur FC1 最 小,就这个最小值为 解：将正方体 ABCD A1B1C1D1 补

20、全成长方体,点 C1 关 于面 ABCD 的对称点为 C2 ,连接 EC2 交平面 ABCD 于一 点,即为所求点 F uuur ,使 EF uuuur FC1 最小其最小值就 是 EC 2 连接 AC2 , B1C2 ,运算可得 AC2 3, B1C2 5, AB1 L2,所以 AB1C2 为直角 三角形,所以 EC2 14 2La 6x6 且 a 1a 2a 3a 663,就实数 m 的 2 如 1 mx 6a0a x 1a2x2 值为 答案： 1 或-3 好题速递 18 1 已知双曲线 2 x 2 y 1a0, b 0 的左,右焦点分别为 F , F ,过 F 的 1 2 12 ab2直

21、线分别交双曲线的两条渐近线于点 P,Q 如点 是线段 FQ 的中点, 1且 QF1 QF2 ,就此双曲线的离心率等于 ab , c , 解法一：由题意 F1P b ,从而有 P a 2c 第 11 页,共 43 页2又点 为 FQ 的中点, 1 F1 c,0 ,所以 Q 2a c, 2ab c c 2所以 2ab b 2a c ,整理得 4a 2c 2,所以 c a c e2解法二：由图可知, OP 是线段 F P 的垂直平 分线,又 OQ 是 Rt F1 QF2 斜边中线, 所以 F1OP POQ QOF 2 60 o,所以 e 2解 法 三 ： 设 Q am,bm , m 0, 就 uuu

22、r uuuurQF1 c am, bm , QF2 c am, bm uuur uuuur 由 QF1 QF 2 c am, bm c am, bm 0, 解 得 m 1所以 Q a, b , P a c , b 2 2 所以 b b a c ,即 c 2a ,所以 e22 a 22 现有甲,已,丙三个盒子,其中每个盒子中都装有标号分别为 1, 2, 3,4, 5, 6 的六张卡片,现从甲,已,丙三个盒子中依次各 取一张卡片使得卡片上的标号恰好成等差数列的取法数 为 答案： 18 好题速递 19 uuur uuur uuur uuur uuur1 已知 O 为坐标原点,平面对量 OA, OB,

23、OC 中意： OA 2 OB 4 , uuur uuur uuur uuur uuur uuurOAgOB 0 , 2OC OA g OC OB 0 ,就对任意 0, 2 和任意中意条件的 uuur uuur uuur uuur向量 OC , OC cos OA 2sin OB 的最大值为 解：建立直角坐标系,设 C x, y , A 4,0 , B 0,2 就由 2OC uuurOA g OC uuur uuur OB uuur0 ,得 x 2y 22x 2 y 0等价于圆 x 1 2y 1 22 上一点与圆 x 2 y 2 16 上一点连线段的最大值 即为 22 42 已 知 数 列 an

24、 的 通 项 公 式 为 an 2 n 1 1, 就 a1Cn + a 2 C n 1 +a C 3L +a n 1Cn n = 第 12 页,共 43 页答案： 2n 3 n 好题速递 20 1 已知实数 a, b, c 成等差数列,点 P 3,0 在动直线 ax by c 0 （ a, b 不 的取值范 0 变形为 同时为零）上的射影点为 M,如点 N 的坐标为 2,3 ,就 MN 围是 解：由于实数 a, b, c 成等差数列,所以 2b ac ,方程 ax by c 2ax a cy 2c 0 ,整理为 a 2x y c y 2 0所以 2x 2y 00 ,即 x y 12,因此直线

25、ax by c 0 过定点 Q 1, 2 y 画出图象可得 PMQ 90o , PQ 2 5 点 在以 PQ 为直径的圆上运动,线段 MN 的长度中意 FN 5MN FN 5即 5 5MN 552 假如一条直线与一个平面平行, 那么称此直线与平面构成一个“平行线面组” ,在一个长方体中,由 两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组” 的个数是 个 答案： 48 好题速递 21 1 已 知 函 数 是 定 义 在 R上 的 偶 函 数 , 当 x 0 时 , 第 13 页,共 43 页f x 16 5xx 2 0 x 2如关于 的方程 f x 2af x b 0, a, b R

26、,有且仅 11 x 22有 6 个 不 同 实 数 根 , 就 实 数 a 的 取 值 范 围 是 解 ： 设 t f x , 问 题 等 价 于 g t t 2 at b 0 有 两 个 实 根 t , t 2 , 5 5 50 t1 1,1 t2 4 或 t1 4 ,1 t2 4a 5所以 gg 1 00 h 09a 1 1g1 20 4h 5a 95 4 或 5 2 4g 0 g 04 4综上, 52 a 9 或 4 94 a 12 在 x 1 24 的 展 开 式 中 , x 的 幂 的 指 数 是 整 数 的 项 共 有 3x 项 答案： 5 好题速递 22 2 21 已知椭圆 C1

27、 : x y 1 的左,右焦点为 F1 , F2 ,直线 l1 过点 F1 且垂直 3 2于椭圆的长轴,动直线 l2 垂直于 1 于点 P ,线段 l PF 的垂直平分线与 l2 的交点的轨迹为曲线 C2 ,如 A 1,2 , B x1, y1 ,C x2 , y2 是 C2 上不同的点,且 AB BC ,就 y2 的取值范畴是 解：由题意 C2 : y 24x 设 l AB : x m y 2 1 代入 C 2 : y 2 4 x ,得 y 24my 8m 4 02所以 y1 4m 2 , x1 m 4m 4 1 2m 1第 14 页,共 43 页设 lBC : x 1 y m4m 2 2m

28、 1 2代 入 C : 2 y 4 x , 得 2 y 4y 16 84 2m 120mm所以 y1 y2 4m 2y2 4m所以 y2 44m 2, 6 U 10, m2 5 人排成一排照相,要求甲不排在两端,不同的排法共有 种 用数字作答 答案： 72 好题速递 23 1 数列 an 是公比为 23 的等比数列, bn 是首项为 12 的等差数 列 现 已 知 a 9 b 且 9 a 10 b , 就 以 下 结 论 中 一 定 成 立 的 10 是 （请填上全部正确选项的序号） a 9 10 a 0 ； b 10 0 ； b 9 b ； a 10 9 a 10 解：由于数列 a 是公比为

29、 n 2 的等比数列,所以该数列的奇数项与 3偶数项异号,即： 当 a1 0时, a 2k 10, a 2k 0 ；当 a 10 时, a 2 k 1 0, a 2 k 0 ；所以 a a 9 10 0 是正确 的； 当 a1 0时, a10 0 ,又 a10 b10,所以 b10 0d0 ,数列 结合数列 bn 是首项为 12 的等差数列,此时数列的公差 bn 是递减的 第 15 页,共 43 页故知： b9 b10d 0 ,数列 当 a1 0时, a9 0 ,又 a9 b9 ,所以 b9 0结合数列 bn 是首项为 12 的等差数列,此时数列的公差 bn 是递减的 故知： b9 b10综上

30、可知,确定是成立的 2 设（5x x）n的开放式的各项系数之和为 M, 二项式系数之和为 N,如 M- N240, 就开放式中 x 的系数为 答案： 150 好题速递 24 1 已 知 集 合 A x, y | y x2 2bx 1 , B x, y | y 2a x b , 其 中 a0, b 0 ,且 A I B 是单元素集合,就集合 x, y | x a2y b21对应的 图形的面积为 解： y x 22bx 1 2 x 2b 2a x 1 2ab 0y 2a x bM.PN（红 所以由 a2b21 得知,圆心 a,b 对应的是四分之一单位圆弧 a0, b 0色） 此时 x, y | x

31、 a2y b 21 所对应的图形是以这四分之一圆弧 .MPN 上的点为圆心,以 1 为半径的圆面从上到下运动的结果如以下图： 是两个半圆（ .ABO 与 O.DE）加上一个四分之一圆（ AOEF ）,即图中被 第 16 页,共 43 页绿实线包裹的部分； 所以 S 222 2 422（2022年浙江高考 17）有 4 位同学在同一天的上,下午参加“身 高与体重”,“立定跳远”,“肺活量”,“握力”,“台阶”五 个项目的测试,每位同学上,下午各测试一个项目,且不重复如 上午不测“握力”项目,下午不测“台阶”项目,其余项目上,下 午都各测试一人,就不同的支配方式共有 （用数字作答） 解： 设有 a

32、, b,c,d 四个同学参加测试 种 上午：身高 立定跳远 肺活量 台阶 下午：身高 立定跳远 肺活量 握力 上午测试的种类有 A 种 4下午分两类：一类为早上测台阶的同学下午测了握力,那么另三个 同学就相当于三个人不坐自己位置的问题,有 2 类选择 另一类为早上测台阶的同学下午不测握力,那么四个同学相当于四 个人不坐自己位置的问题,有 9 类选择 所以共有 4 A4 2 9264 种 好题速递 25 1如在给定直线 y 2 x t 上任取一点 ,从点 P 向圆 x y 228 引一条 第 17 页,共 43 页切线,切点为 Q 如存在定点 M,恒有 PM PQ ,就 的取值范畴 是 解 ：

33、直 线 y x t 上 任 意 一 点 P x0 , x0 t , 过 点 P 作 圆 的 切 线 长 2 2PQ x0 x0 t 2 82 2设 M m, n ,就 PM x0 m x0 t n由题知： x 0 2x 0 t 2 28 x 0 m 2x 0 t n 22 2整理得： 2n 4 t 4 2m 2n x 0 m n 4又 M m, n 为定点, P x0 , x0 t 的任意性,所以 mn2 0所以 2n 4 t m 2n 242所以 t n 2n 4n2 42n 2 n2所以 t , 2 U 6, 10 2 在 x 1 展 开 式 中 , 含 的 负 整 数 指 数 幂 的 项

34、 共 有 2x 项 答案： 4 好题速递 26 1 设 a b2,b 0 ,就当 ab1aa2时, 21a取得最小值 ba解： 12 a aabaabaa1bbbb4 a 4 a 4 a 4 a 4 a 4 a 当 a 0 时, 12 a a5bba3,当且仅当 b2a 时取等号 4当 a 0 时, 12 a aababb4a44a b4第 18 页,共 43 页所以 a2,b 4 时取得最小值 2（2022年浙江高考 16）用 1,2,3, 4,5,6 组成六位数（没有 重复数字）,要求任何相邻两个数字的奇偶性不同,且 1 和 2 相邻, 这样的六位数的个数是 （用数字作答） 解： 依题先排

35、除 1 和 2 的剩余 4 个元素有 2A 2A 2 8 种方案,再向这 排好的 4 个元素中插入 1 和 2 捆绑的整体,有 A 5 1 种插法, 不同的支配方案共有 2A 2A 2A 1 40 种 . 好题速递 27 1 设 x R, f x max x 2 , x 22 x 2 min x 1,3 3x ,就函数 f x 在 R 上的 最小值为 2x x 1, x 1解： f x max x , x 2 2 2 x 2 min x 1,3 3x x 23x 3, 1 x 122 1x x 5, x 2画出图象可得当且仅当 x 1 时函数 f x 取到最小值 1 2 如 x 1 n 开放式

36、的二项式系数之和为 64,就开放式的常数项 x 为 答案： 20 好题速递 28 1 已知函数 f x 中意 f 1 1, f x f y 4 f x y f x 2y x, y R ,就 42 f 2022 第 19 页,共 43 页解：令 x y 1 ,就 f 01,且 a, b, c 互不 2令 y x ,就 f x f x 令 y x 2 ,就 f x f x 24 f x 1 f 1f x 1进而有 f x f x 6所以 f x 的周期为 6,所以 f 2022 f 2022 f 1142（四川高考）方程 ay b2 x 2 c 中的 a, b, c 3, 2,0,1,2,3 相

37、同 , 在 所 有 这 些 方 程 所 表 示 的 曲 线 中 , 不 同 的 抛 物 线 共 有 条 解法一：将方程变形为 y b2x2 c ,如表示抛物线,就 a0, b 0 ,所 aa以分 b3, 2,1,2,3 五种情形,利用列举法解决 2,0,1,3 或 （ 1）当 b 3 时, a2, c 0,1,2,3 或 a 1, c 2,0,2,3 或 a 2, c a3,c 2,0,1,2 2,0,1, 3（ 2）当 b 3 时, a2, c 0,1,2, 3 或 a 1, c 2,0,2, 3 或 a 2, c 或 3, 2,0,3 或 a3,c 2,0,1,2 以上两种情形有 9 条重

38、复,故共有 16 723 条 （ 3）同理,当 b 2 或 b 2 时,也有 23 条 （ 4）当 b 1 时, a 3,c 2,0,2,3 或 a 2, c 3,0,2,3 或 a 2,c a3,c 3, 2,0,2 ,共有 16 条 综上共有 23 23 16 62 种 解法二： a, b, c 3, 2,0,1,2,3 , 6 选 3 全排列为 A 3120 种 第 20 页,共 43 页这些方程表示抛物线,就 a 0, b 0 ,要减去 2 A 40 种 又 b 2 和 b 3 时,方程显现重复,用分步运算原理可运算重复次数 为 3 32 18 所以不同的抛物线共有 120 40 18

39、 62 种 好题速递 29 1 已 知 当 x 1,3 , 不 等 式 2a x a 1 恒 成 立 , 就 的 取 值 范 围 是 解法一：结合 f x 2a x 的图象分类争辩： 当 2a 1 ,即 a 1 时, a11 2a ,解得 a 12 2当 2a 3 ,即 a 3 时, a1 2a 3 ,解得 a 22当 1 2a 3 ,即 1a 3时, a1 0 ,解得 1a 12 2 2综上可知： a 1 或 a 2解法二：当 a 1 时明显成立 当 a 1 时,有 2a x a 1 x 2a a 1 或 x 2a 1a进而有： a x 1 或 a x 1max 3 min 所以 a 2 或

40、 a 23综上： a 1 或 a 22 如 x 1 nx nL px 2qx 1n N *, 且 p q 6, 那 么 n= 答案： 3 第 21 页,共 43 页好题速递 30 1已知 f x 是定义在 R 上的奇函数,当 x 0 时, f x x 2 2 a x , 其中 a 0 如对任意的 x R 恒有 f x 2a f x ,就实数 a 的取值范 围是 解：当 2a 0 ,即 0 a 2 时, f x 是增函数,所以 f x 2a f x 2恒成立 当 2a0 ,即 a 2 时,就由图象可知,两个自变量的差距 2a 至少 2要不小于左右两个零点间的差距 2a2,即 祝 你 新 年 快

41、乐 2a 2 a 2,所以 2 a4 阖 家 幸 福 综上可知, 0 a 4 你 新 年 快 乐 阖 2“祝你新年欢快阖家幸福”这句话,如图 家 幸 福 所示形式排列,从“祝”字读起,只答应逐 新 年 快 乐 阖 家 字沿水平向右或竖直向下方向读,就读完整 句话的不同读法共有 种 答案： 2 9 512 种 好题速递 31 1 设函数 f x 2 x 2x a ,如函数 f f x f x 有且只有 3个实根, 就实数 a 的取值范畴是 第 22 页,共 43 页1 4a 0解：令 f x t ,就 t 2t a 0 有两个不等实根 t , t ,就 t 1 t 2 1t1t2 a令 g x

42、x 2 2x ,如使函数 f f x f x 有且只有 3 个实根,只需使 g x x 2 2 x 的图象与直线 y t1 a, y t2 a 恰有三个公共点,所以必有一 条直线经过 g x x 22x 的顶点不妨设 t a 1 而 a 1t 故有 t1 a1, t 2aa,所以 a0所以 t1t2 a1a2某市春节晚会原定 10 个节目,导演最终准备添加 3 个新节目, 但是新节目不排在第一个也不排在最终一个,并且已经排好的 10 个 节 目 的 相 对 顺 序 不 变 , 就 该 晚 会 的 节 目 单 的 编 排 总 数 为 种 答案： 990 好题速递 32 1 如函数 f x 2 x

43、 1a在区间 2, 1上单调递增,那么实数 a 的取 ax 2值范畴是 解：这是 y 1, u 2 x ax a 函数复合, uu2 x ax a 在 2, 1 2上递减且恒正（或恒负） a11a1a01a1 2或 a221a2a02222222第 23 页,共 43 页2 如二项式 3x232n* N 开放式中含有常数项,就 n 的最小取值 n x 是 答案： 7 好题速递 33 1 已知函数 y 6 x x 2 的定义域为 ,函数 y 2 lg kx4 x k 3的定义 域为 ,当 B A 时,实数 k 的取值范畴是 的 解 集 为 B , 又 B A , 所 以 必 有 解： A 2,3

44、 2 kx4x k 304 2 5k 4k k 304k 350210k 15 0这里要留意函数的定义域不能为空 2（2022年浙江高考 9）有 5 本不同的书,其中语文书 2 本,数学 书 2 本,物理书 1 本,将其随机地并排摆放到书架的同一层上,就 同一科目的书都不相邻的情形有 种（用数字作答） 解法一：设书为 A A B B C ,位置为 12345 位 如 C 在最左 1 号位或最右 5 号位,就剩下四本书有 ABAB or BABA 形 式,共有 2 2 2 A 2 A 16 ABAB or BABA 形式,共有 如 C 在 2 号位或 4 号位,就剩下四本书有 2 22 A2 2

45、 A2 16 如 C 在 3 号位,就有 4 2 A 2 A 16 所以共有 48 种 第 24 页,共 43 页解法二：分步完成, 第一步先 A1B1C三本书全排列,共 A 种 其次步,将 A2 , B2 插入,分两类 一类为无 ABA 型,就236 种插 法 2 种插法 48 有 一类为有 ABA 型,就21有 所以共有 3 A 2 6 48 种 解法三： 5 A5 2 2 2 A2 A2 A3 22 2 3A2 A2 A3 好题速递 34 1 已知 e O 以 AB 为直径,半径为 2,点 O, M 都在线 , 其 中 段 AB 上, AO 2, BM 1 ,过 M作相互垂直的弦 GE

46、和 FD , 就 GE FD 的 取 值 范 围 是 解法一：如以下图,设 EMA 0, 2,就 DMA 2ON sin , OP cos 所以 GE FD 2 2 4 sin 242 cos42 12 sin 4 sin 令 sin 2t 0,1 ,就 解 法 二 ： GE FD 2 4 2 ON 2 2 4 OP 4 12 2 ON 2 OP 2 ON 2 OP 2 OM 1所以 GE FD 4 12 2 2 ON 1 ON 4 12 2 ON 4 ON 又 ON 0,1 ,所以 GE FD 8 3,14 第 25 页,共 43 页2 已 知 展 开 式 2 x x 6332 x x 63

47、a0 2 a1 x a2x L12 a12 x , 就 2 13x 36 0a1 a5 a9 解： 2 x x 632 x x 634 x 打开后没有奇次项,所以 a1 a5 a9 好题速递 35 1 已 知 函 数 f x 2 x 2 4x, x 0 , 且 ab0,b c 0, c a0 , 就 4x, x 0 xC恒为 0f af b f c 的值（ ） A 恒为正 B 恒为负 D无法确定 解：易判定 f x 是奇函数,且在 R 上单调递增的函数 由 a b 0,b c 0,c a 0 可 a b, b c, c a得 所以 f a f b, f b f c, f c f a 所以 f

48、a f b 0, f b f c 0, f c f a 0所以 f a f b f c 02如以下图是 2022 年北京奥运会的会徽,其中的 “中国印”主体由四个互不连通的色块构成,可以 用线段在不穿越其他色块的条件下将其中任意两个 色块连接起来（如同架桥） ,假如用三条线段将这四个色块连接起 来,不同的连接方法共有 种 第 26 页,共 43 页解法一：考虑 A,B,C,D 四块区域,三条线连结共有两类 第一类,一块区域和三块区域连结,共有 C 144 种 其次类,四块区域依次连结,即 ABCD 全排列, 但留意 ABCDDCBA 是同一种情形,所以共与 有 4 A4 212 种 综上,共有

49、 16 种 解法二：把问题抽象为正方形四个顶点之间连线共有 6 条 任取其中的三条将四个点连结,只需除去构成三角形的三条连线即 可故有 C 364 16 好题速递 36 1 已 知 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 f x 在 0, 上 的 增 函 数 , 且 f ax 1 f x 2 对 任 意 的 x 1,1 恒 成 立 , 就 a 的 取 值 范 围 2是 解：由题意, f ax 1 f x 2 对任意的 x 1,1 恒成立等价于 ax 1 2 x 2对任意的 x 1,1 恒成立 21 3a12 2,解得 2a 0a 1 12 在 1 x 62 x 的开放式中, x 的系数是 答案：

50、55 好题速递 37 第 27 页,共 43 页1如函数 f x x 2a x a 2ax 1 有且仅有 3 个零点,就实数 a 的取值 2范畴是 解法一：令 t x a,就 y t 22at 1 a 2t 02 2就 y t 2at 1 a t 0 有两个零点,其中一个为 0,一个大于 0 所以 1 a 20 ,解得 a1体会证,可知 a12 解法二： x 2a x a2ax 102 x 2ax 12a x a等价于 g x 2 x 2ax 1 , h x 2a x a恰有三个公共点,结合图象可得 1a20 ,且 a0 ,所以 a12用红,黄,蓝三种颜色去涂图中标号为 1,2, 3, , 9

51、 的 9 个 小正方形（如图）,使得任意两个相邻（有公共 123边 4567” 的）小正方形所涂颜色都不相同,且“ 3, 5, 789种 号数字涂相同的颜色,就符合条件的全部涂色方法有 解：“ 3, 5,7”号数字涂相同的颜色,共有 3 种选择 2 涂色有 2 种, 24 同色有 1 种, 1 有 2 种； 24 异色有 1 种, 1 有 1 种 故涂完 1, 2, 4 有 22+1 =6 种 第 28 页,共 43 页同理涂完 6,7,8 也有 6 种 综上,共有 366=108 种 好题速递 38 1 方 程 ax 1 x 的 解 集 为 , 如 A 0,2 , 就 实 数 的 取 值 范

52、 围 是 解法一： ax 1 x a 2 1 x 2 2ax 1 0 x 0当 a 1 时 , A 1 0,2 2当 a 1, A 0, 2 时 当 a 1 时 , a 2 1 x 2 2ax 10 的 解 为 1 1x1 , x2 a1 a1要使 A 0,2 ,就需 1 1 1 10 0 0 0 2a 1 或 a1 或 a1 或 a11 0 0 1 2 0 1 2 0 1 2a1 a1 a 1 a1解之得 a 1 or 1a 1 or a 32 2综上得 a 1 or 1a 1 or a 32 2解法二： ax 1 x 等价于 ax 1 x 或 ax 1 x x 0分别作出 y ax 1 ,

53、 y x , y x 的图象如以下图 由图可知： a 1 or 1a 1 or a 32 2解法三： ax 1 x 等价于 a1 1 或 a 1 1x 0 x x 第 29 页,共 43 页分别作出 y a 1, y a 1, y 1 图象如以下图, x a1 1 1所以由图知： a1 2 或 1 a1a1 0 2 或 a 102解得 a 1 or 1a 1 or a 32 2解法四： 当 a 0 时明显成立 当 a 0 时,分别作出函数 y ax 1 , y x 的图象如以下图 由图可知： y ax 1 的图象最低点 1 ,0 只能落在横轴的实线部分 a故可得 a 1 or 1a 1 or

54、a 32 22 4 x 2 x 5 x 1 的 展 开 式 中 , 含 x 项 的 系 数 2 2 5是 答案： 30 好题速递 39 1 已知三个实数 a,b, c ,当 c 0 时中意 b2a 3c 且 bc a ,就 2 a 2c 的取 b1 or x 1值范畴是 解法一：（齐次化思想） 由 bc a 知 b 20由于 b 0 时,所以 b 0 ； 令 abx, c by ,就 12x 3y 12x 2 3x x y 0 x 03y 2 x 令 z x 2 y 2 x 2 x , 1 9, 第 30 页,共 43 页2解法二： 由 b a2a 3c a c 24c 21 a3c c 2

55、2令 t a 1,3 ,就 a 2c t 2 22 1 12 1 1 1 1c b t t t t 4 8 9同类题： 1. 已知正数 a, b, c 中意： 5c 3a b 4c a , cln b a cln c ,就 ba的取值范畴是 2. 已 知 正 数 a, b,c 满 足 ： 3a c 2b 4 ac , 就 ab c 的 取 值 范 围 a b 是 3. 已知正数 a,b, c 中意： a b c 3a , 3b 2aa c 5b ,就 2 b2c 的取值范 a围是 2（安徽高考 10） 6 位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换, 任意两位同学之间最多交换一次,进行交换的两位同

56、学互赠一份纪 念品,已知 6 位同学之间共进行了 13 次交换,就收到 4 份纪念品的 同学人数为（ ） A 1 或 3 B 1 或 4 C 2 或 3 D 2 或 4 解：任意两个同学之间交换纪念品共要交换 C 6 2 15 次,假如都完全交 换,每个人都要交换 5 次,也就是得到 5 份纪念品,现在 6 个同学 总共交换了 13 次,少交换了 2 次,这 2 次假如不涉及同一个人,就 收到 4 份纪念品的同学人数有 4 人；假如涉及同一个人,就收到 4份纪念品的同学人数有 2 人所以答案为 2 或 4 好题速递 40 第 31 页,共 43 页1 在边长为 1 的正三角形纸片 ABC 的边

57、 AB, AC 上分别取 D, E 两点, 使沿线段 DE 折叠三角形纸片后,顶点 A 正好落 在边 BC （设为 ）,在这种情形下, AD 的最小 值为 解 ： 设 AD x , ADE , 就 由 对 称 性 可 知 DP x , PDE , oBD 1 x, BDP 180 2 , 所以 DPB 2 60 o所以在 BDP 中由正弦定理得 1 x o x osin 2 60 sin 60 又 0 ,90 o o ,所以当 2 60 o90 o ,即 75 o 时 x min 2 3 32（陕西高考）两人进行乒乓球竞赛,先赢 3 局者获胜,决出胜败 为止,就全部可能显现的情形（各人输赢局次

58、不同视为不同情形） 共有 种 解法一：竞赛场数至少 3 场,至多 5 场 当为 3 场时,情形为甲或乙连赢 3 场,共 2 种 当为 4 场时,如甲赢,就前三场中甲赢 2 场,最终一场甲赢,共有 C3 2 3 种情形 同理如乙赢,也有 3 种情形,共有 6 种情形 当为 5 场时,前 4 场,甲乙各赢 2 场,最终一场胜出的人赢,共有 第 32 页,共 43 页2C4 2 12 种 综上,共有 20 种情形 解法二：将 5 场竞赛都比完,赢的人定为三胜两负（没打的竞赛就 算输） 就问题转化为最终的胜利者从 5 场竞赛里选 2 场输即可,有 C210 种 5结果 所以甲,乙两人共有 2 2C 5

59、20 种 解法三：设甲赢 =1,甲输 =0, 依据第一轮甲赢或甲输两种情形分 类,列树状图排列（以甲赢为例, 显现三个 1 或三个 0 终止） 树梢末端共有 10 个,所以共有 20 种 好题速递 41 1已知 m R ,函数 f x 2 x 1 , x 1, g x x 22x 2m 1 ,如函数 log 2 x 1 , x 1y f g x m 有 6 个零点,就实数 m 的取值范畴是 解：令 g x t ,就函数 y f g x m 有 6 个零点等价于 f t m 恰有三 个实根且对应 g x t 有 6 个实根 函数 f x 2x 1 , x 1 与 y m 图象有三个交点,其横坐标

60、分别为 log 2 x 1 , x 1t1 ,t 2 , t3 第 33 页,共 43 页如以下图,其中最小的根 t1 m1 2g x t 有 6个 实 根 需 使 结 合 图 象 可 知 , 要 满 足 t1 m1g x min 2m 2 ,且 m 02解得 0m3 52 集 合 NA x | x a 13 10 a22 10 a310 a4, 其 中 ai 1,2,3,4 ,1 i4, i ,就集合 A 中中意条件： “ 中 最小,且 a2 , a2 a3 , a3 a4 , a4 a1 a1 ”的元素有 个 解：此题可懂得为涂色问题,四个格子,相邻两 格不同数字,头尾两个数字也不同,且第