高中数学北师大版选修2-2学案：14数学归纳法Word版含解析

1、4 数学归纳法1.明白数学归纳法的思想实质,把握数学归纳法的两个步骤 .重点 2.体会归纳法原理,并能应用数学归纳法证明简洁的命题 .重点、难点 基础 初探 教材整理 数学归纳法阅读教材 P16P18,完成以下问题 . 1.数学归纳法的基本步骤数学归纳法是用来证明某些与正整数n 有关的数学命题的一种方法.它的基本步骤是：1验证：当 n 取第一个值 n0如 n01 或 2 等时,命题成立；2在假设当 nknN,kn0时命题成立的前提下,推出当 nk1 时,命题成立 . 依据 12可以肯定命题对一切从 2.应用数学归纳法留意的问题n0开头的正整数 n 都成立 . 1用数学归纳法证明的对象是与正整数

2、 n 有关的命题 . 2在用数学归纳法证明中,两个基本步骤缺一不行 . 3步骤 2的证明必需以“ 假设当nkkn0,kN时命题成立” 为条件 . 判定 正确的打“ ” ,错误的打“ ” . 1与正整数 n 有关的数学命题的证明只能用数学归纳法2数学归纳法的第一步n0 的初始值肯定为 1. 3数学归纳法的两个步骤缺一不行. 【答案】123质疑 手记 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“ 小伙伴们” 探讨沟通：疑问 1：解惑：疑问 2：解惑：疑问 3：解惑：小组合作型 用数学归纳法证明等式1 用 数 学 归 纳 法 证 明 等 式1 2 3 n 3 （n3）（ n4）2nN时,第一步验证 n1 时

3、,左边应取的项是 2n A.1 B.12 C.123 D.1234 2 用 数 学 归纳 法 证明 n 1 n 2 n n 2 n 1 3 1nN,“ 从 k 到 k1” 左端增乘的代数式为 _. 【导学号： 94210022】【自主解答】1当 n1 时,左边应为 1234,应选 D.2令 fnn1n2 nn,就 fkk1 k2 kk,fk 1 k 2k 3 k k2k 12k 2 , 所 以f（k1）f（k）（2k1）（2k2）k122k1.【答案】1D222k1 数学归纳法证题的三个关键点1.验证是基础 找准起点 ,奠基要稳 ,有些问题中验证的初始值不肯定是 1.2. 递推是关键数学归纳法

4、的实质在于递推,所以从 “k”到“ k1” 的过程中 ,要正确分析式子项数的变化 .关键是弄清等式两边的构成规律,弄清由 nk 到 nk1 时,等式的两边会增加多少项、增加怎样的项 .3. 利用假设是核心 在其次步证明 nk1 成立时 ,肯定要利用归纳假设 ,即必需把归纳假设 “ nk 时命题成立 ” 作为条件来导出 “ nk1” ,在书写 fk1时,肯定要把包 含 fk的式子写出来 ,特别是 fk中的最终一项 ,这是数学归纳法的核心 ,不用 归纳假设的证明就不是数学归纳法 . 再练一题 1.下面四个判定中,正确选项 A.式子 1kk 2 k nnN中,当 n1 时,式子的值为 1 B.式子

5、1kk 2 k n1nN中,当 n1 时,式子的值为 1kC.式子 11 21 3 2n1nN中,当 n1 时,式子的值为 11 211 1 1D.设 fnn1n2 3n1nN,1 1 1就 fk1fk3k23k33k4【解析】A 中,n1 时,式子 1k；B 中,n1 时,式子 1；C 中,n1 时,式子 11 21 3；1 3k41 k1.D 中,fk1fk1 3k21 3k3故正确选项 C. 【答案】C 用数学归纳法证明不等式1用数学归纳法证明不等式 n11n2 1 nn13 24n2,nN的过程中,由 nk 推导 nk1 时,不等式的左边增加的式子是 _. 2证明：不等式 11 2 1

6、 3 1 n2 nnN. 【出色点拨】1写出当 nk 时左边的式子 ,和当 nk1 时左边的式子 ,比较即可 .2在由 nk 到 nk1 推导过程中利用放缩法 ,在利用放缩时 ,留意放缩的度 .1 1 1【自主解答】1当 nk1 时左边的代数式是 k2k3 2k11 1 1 12k2,增加了两项 2k1与 2k2,但是少了一项 k1,故不等式的左边增加的式子是 2k112k21k11（2k1）（2k2）. 1【答案】1（2k1）（ 2k2）2证明： 当 n1 时 ,左边 1,右边 2,左边右边 ,不等式成立 .假设当 nkk1 且 kN时,不等式成立 ,即 11 2 1 3 1 k2 k.就当

7、 nk1 时,111 12 3 k12 k1.k12 k12 k k11k1 k113 24.假设当 nkk2 且 kN时不等式成立 ,即1 k1k2 1 2k13 24,那么当 nk1 时,1 1 1k2k3 2（k1）1 k2k3 1 2k2k112k21k11k1 1k11k21 k3 1 2k2k112k21k1 113 242k112k21 k113 242k112k2113 242（2k1）（ k1）13 24.这就是说 ,当 nk1 时,不等式也成立 .由 可知 ,原不等式对任意大于1 的正整数都成立 . 归纳 猜想证明已知数列 an 的前 n 项和为 Sn,其中 ann（2n1

8、）且 a11 3. 1求 a2,a3；2猜想数列 an 的通项公式,并证明 . 【出色点拨】1令 n2,3 可分别求 a2,a3.2依据 a1,a2,a3 的值,找出规律 ,猜想 an,再用数学归纳法证明 .【自主解答】1a22（2 21）a1a2,a11 3,就 a21 15,类似地求得 a3 1 35.2由 a11 1 3,a21 3 5,a31 5 7, , 猜得：an（2n1）（ 2n1）. 1证明： 当 n1 时,由1可知等式成立；假设当 nk 时猜想成立 ,即 ak时,由题设 ann（2n1）,Sn1（2k1）（ 2k1） ,那么,当 nk1得 akSk k（2k1）,ak1Sk1

9、（k1）（ 2k1）,所以 Skk2k1akk2k1（2k1）（ 2k1）1 2k1,kSk1k12k1ak1,ak1Sk1Skk12k1ak1k 2k1.因此 ,k2k3ak1k 2k1,所以 ak1（2k1）（2k3）11 2（k1） 12（k1）1.这就证明白当 nk1 时命题成立 .由 可知命题对任何 nN都成立 . 1.“ 归纳 猜想 证明 ” 的一般环节2.“ 归纳 猜想 证明 ” 的主要题型1已知数列的递推公式 ,求通项或前 n 项和 .2由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题 是否存在 .,求使命题成立的参数值3给出一些简洁的命题 n1,2,3, ,猜想并证明对任意正整数 n

10、 都成立的一般性命题 . 再练一题 3.数列 an 满意 Sn2nanSn 为数列 an 的前 n 项和,先运算数列的前 4 项,再猜想 an,并证明 . 【解】由 a12a1,得 a11；由 a1a22 2a2,得 a23 2；由 a1a2a32 3a3,得 a37 4；由 a1a2a3a42 4a4,得 a415 8 .猜想 an2 2 n1n1 .下面证明猜想正确：1当 n1 时,由上面的运算可知猜想成立 .2假设当 nk 时猜想成立 ,就有 ak2 2 k1k1 ,当 nk1 时,Skak12k1ak1,ak11 22k1Skk11 2 2k2 2 k1 k1 2 2（k1） 1,k1

11、1所以 ,当 nk1 时,等式也成立 .由1和2可知,an2 2 n1n1 对任意正整数 n 都成立 . 探究共研型 用数学归纳法证明整除性问题探究 1 数学归纳法的第一步 n 的初始值是否肯定为 1. 【提示】不肯定 ,如证明 n 边形的内角和为 n2 180 时 ,第一个值为n03. 探究 2 数学归纳法两个步骤之间有怎样的联系？【提示】第一步是验证命题递推的基础,其次步是论证命题递推的依据,这两个步骤缺一不行 ,只完成步骤 1而缺少步骤 2就作出判定 ,可能得出不正确的结论 .由于单靠步骤 1,无法递推下去 ,即 n 取 n0 以后的数列命题是否正确 ,我们无法判定 ,同样只有步骤 2而

12、缺少步骤 1时,也可能得出不正确的结论,缺少步骤 1这个基础 , 假设就失去了成立的前提 ,步骤 2也就没有意义了 . 用数学归纳法证明： n 3n1 3n2 3 能被 9 整除nN. 【出色点拨】在其次步时留意依据归纳假设进行拼凑 . 【自主解答】1当 n1 时,1 32 33 336 能被 9 整除 ,所以结论成立；2假设当 nkkN,k1时结论成立 ,即 k 3k1 3k2 3 能被 9 整除 .就当 nk1 时,k1 3k2 3k3 3k 3k1 3k2 3 k3 3k 3k 3k1 3k2 39k 227k27k 3k1 3k2 39k 23k3.由于 k 3k1 3k2 3能被 9

13、 整除 ,9k 23k3也能被 9 整除,所以 k1 3k2 3k3 3 也能被 9 整除 ,即 nk1 时结论也成立 .由12知命题对一切 nN成立 . 与正整数有关的整除性问题常用数学归纳法证明,证明的关键在于其次步中,依据归纳假设 ,将 nk1 时的式子进行增减项、倍数调整等变形,使之能与归纳假设联系起来 . 再练一题 4.用数学归纳法证明“n 35n 能被 6 整除” 的过程中,当nk1 时,对式子k1 35k1应变形为 _. 【导学号： 94210023】【解析】由 nk 成立推证 nk1 成立时必需用上归纳假设,k1 35k1k 35k3kk16. 【答案】k 35k3kk16 构

14、建 体系 定义数学归纳法 应用 证明等式 证明不等式 证明整除性问题1. 用数学归纳法证明“ 凸n 边形的内角和等于 n2 ” 时,归纳奠基中n0的取值应为 A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】边数最少的凸 n 边形为三角形 ,故 n03.【答案】C 2.用数学归纳法证明n2 1aa 2 a n11a 1a nN,a 1,在验证 n1 成立时,左边所得的项为 2A.1 B.1aaC.1a D.1aa 2a 3【解析】当 n1 时,n12,故左边所得的项为 1aa 2.【答案】B 3.用数学归纳法证明关于 n 的恒等式时,当 nk 时,表达式为 1 42 7 k3k1kk1 2,就当 nk1

15、 时,表达式为 _. 【导学号： 94210024】【解析】当 nk1 时,应将表达式 1 42 7 k3k1kk1 2中的 k 更换为 k1.【答案】1 42 7 k3k1k13k4k1k224.以下是用数学归纳法证明“时, 2 11 2,不等式明显成立 . nN时, 2 nn 2” 的过程,证明： 1当 n12假设当 nkkN时不等式成立,即 2 kk 2. 那么,当 nk1 时, 2 k12 2 k2 k2 kk 2k 2k 22k1k1 2. 即当 nk1 时不等式也成立 . 根 据 1 和 2 , 可 知 对 任 何 nN 不 等 式 都 成 立 . 其 中 错 误 的 步 骤 为_

16、填序号 . 【解析】在 2 k12 2 k2 k2 kk 2k 2k 22k1 中用了 k 22k1,这是一个不确定的结论 .如 k2 时,k 22k1.【答案】2 5.用数学归纳法证明： 对于任意正整数n 2（n1）（n1）4 . n,n 212n 22 2 nn 2n 2【证明】1当 n1 时,左边 1 210,右边1 2 （11） （11）40,所以等式成立 .2假设当 nkkN时等式成立 ,即k 212k 22 2 kk 2k 2k 2（k1）（ k1）4 .那么当 nk1 时,有k1 212k1 22 2 kk1 2k 2k1k1 2k1 2k 212k 22 2 kk 2k 22k

17、112 kk 2（k1）（ k1）42k1k（k1）21 4kk1kk122k11 4kk1k 23k2（k1）2（k1） 1（k1） 1 4 .所以当 nk1 时等式成立 .由12知,对任意 nN等式成立 . 我仍有这些不足：1 2 我的课下提升方案：1 2学业分层测评 六 建议用时： 45 分钟 学业达标 一、挑选题1.2022 广州高二检测 用数学归纳法证明 3 nn 3n3,nN,第一步验证 A.n1 B.n2 C.n3 D.n4 【解析】由题知 ,n 的最小值为 3,所以第一步验证 n3 是否成立 .【答案】C 2.已知 fn1 nn11 n2 1 2,就 A.fn共有 n 项,当

18、n2 时, f21 21B.fn共有 n1 项,当 n2 时, f21 21 31C.fn共有 n 2n 项,当 n2 时,f21 21D.fn共有 n 2n1 项,当 n2 时,f21 21 31【解析】结合 fn中各项的特点可知 ,分子均为 1,分母为 n,n1, ,n 2 的连续自然数共有 n 2n1 个,且 f21 21 31 4.【答案】D 3.用数学归纳法证明123 n 2n 4n2 2,就当 nk1nN时,等式左边应在 nk 的基础上加上 【导学号： 94210025】A.k 21 B.k124（k1）2（k1）C.2D.k 21k 22k 23 k1 2【解析】当 nk 时 ,

19、等式左边 12 k 2,当 nk1 时,等式左边 12 k 2k 21 k1 2,应选 D. 【答案】D 4.设 fx是定义在正整数集上的函数,且fx满意：“ 当 fkk 2 成立时,总可推出 fk1k1 2 成立” ,那么,以下命题总成立的是 A.如 f39 成立,就当 k1 时,均有 fk k 2 成立B.如 f525 成立,就当 k4 时,均有 fkk 2 成立C.如 f749 成立,就当 k8 时,均有 fk1 21 n2.假设 nk 时,不等7.用数学归纳法证明：2 1 21 3 2 1（n1）式成立,就当 nk1 时,应推证的目标不等式是_. 【解析】当 nk1 时, 目标不等式为

20、：2 1 21 3 2 （k1）1 2（k2）1 21 2k3. 1【答案】2 1 21 3 2 （k1）12（k2）1 21 2k3 18.用数学归纳法证明 1 2 2 2 n1 2 n 2 n 1 2 2 21 2n（2n 21）3 时,由 nk 的假设到证明_. nk1 时,等式左边应添加的式子是【解析】当 nk 时,左边 1 22 2 k1 2k 2k1 2 2 21 2.当 nk1 时,左边 1 22 2 k 2k1 2k 2k1 2 2 21 2,所以左边添加的式子为 k1 2k 2. 【答案】k1 2k 2三、解答题9.用数学归纳法证明： 13 2n1n 2nN. 【证明】1当

21、n1 时,左边 1,右边 1,等式成立 .2假设当 nkk1时,等式成立 ,即 13 2k1k 2,那么 ,当 nk1 时,13 2k 12 k11k 22k11k 22k1k1 2.这就是说 ,当 nk1 时等式成立 .依据 1和2可知等式对任意正整数 n 都成立 . 10.用数学归纳法证明： 11 21 3 1 2 n11. 【证明】1当 n2 时,左边 11 21 3,右边 2,左边 右边,不等式成立 .2假设当 nk 时,不等式成立 ,即 11 21 3 2 k1k,就当 nk1 1时 ,有 11 2 1 3 2 k11 k2 k1 12 k11k1 k2 k1 1k2 k11k1 2 k k1,所以当 nk1 时不等式成立 .由1和2知,对于任意大于 1 的正整数 n,不等式均成立 .才能提升 1.用数学归纳法证明“ 当 纳假设应写成 n 为正奇数时, x ny n 能被 xy 整除” , 其次步归A.假设 n2k1kN时正确,再推 n2k3 时正确 B.假设 n2k1kN时正确,再推 n2k1 时正确 C.假设 nkkN时正确,再推 nk1 时正确 D.假设 nkkN时正确,再推 nk2 时正确【解析】n 为正奇数 ,在证明时 ,归纳假设应写成：假设 n2k1kN时正确 ,再推出 n2k1 时正确 .应选 B. 【答案】B 2.对于不等式 n 2nn