文科-经管类-微积分-第三章

1、高等院校非数学类本科数学课程 微积分 大 学 数 学（一）第十三讲 导数概念脚本编写：教案制作：一、引例 二、导数的定义 三、求导数举例 四、导数的几何意义 五、函数的可导性与连续性的关系 2. 1 导数概念上页下页结束返回首页= f (x0 + x) f (x0 )y = f (x) f (x0 )x = x0 + x , 相应地, 函数有改变量 y x = x x0 称为自变量 x 在基点x0 点处的改变量. y=f(x)f(x0)x0+Dxx0 f(x0+Dx)DxDyy=f(x)f(x0) xx0 f(x)DxDy一、问题的提出1.变速运动物体的即时速度问题:取极限得N两个问题的共性:

2、瞬时速度切线斜率 以上引例一个是物理学中的瞬时速度,一个是几何学中的切线斜率.仅从数量关系来看,二者的数学结构完全相同:都是一种讨论函数改变量与自变量改变量之比的 型的极限,简称差商的极限.二、导数的定义定义1. 函数在一点处的导数 否则称 f 在x0处不可导.其它形式导数定义形式一导数定义形式二例1 求函数y(x)=x2在点x=2处的导数 解 方法一 下页 方法二 例2设对任意的均有求解：由题设令 则且定义！函数抽象的题目或无从着手的时候！若 则设函数f(x)在x0的某邻域内有定义，那么左右导数首页函数的导数 定理导数与左右导数的关系:好像见过面啊！分段函数求导,在分段点处必须按函数表达式求

3、左右导数例设问 在 处是否可导.解: 函数 f(x)在开区间(a b)内可导是指函数在区间内每一点可导 函数 f(x)在闭区间a b上可导是指函数 f(x)在开区间(a b)内可导 且在a点有右导数、在b点有左导数 函数在区间上的可导性函数的导数 若 x(a, b), 函数 f (x) 皆可导, 则说 f (x) 在(a, b) 内可导. 这时 f (x) 是关于 x 的一个新函数,称之为 f (x) 在 (a, b) 内的导函数. 通常我们仍称之为 f (x) 在 (a, b) 内的导数：定义函数的导数 4. 导函数概念函数在点 x0处的导数与导函数的关系: 先求导、后代值.函数的导数 2.

4、 用定义求函数的导数:步骤:函数的导数 例1设函数求 .解:函数的导数 四、导数的几何意义 导数 f (x0)在几何上表示曲线 y=f(x) 在点 M(x0 f(x0)处的切线的斜率 即f (x0)=tan a 其中a是切线的倾角 切线方程为 y-y0=f (x0)(x-x0) 切线下页在任意一点 x 处, 有在点(1, 1) 处 故所求切线方程为：求曲线 y = x2上任意一点处切线的斜率, 并求在点 (1, 1) 处,(2,4)的切线方程.即 y = 2x 1.y 1= 2(x 1) , 例3解在任意一点 x 处, 有在点(2, 4) 处 故所求切线方程为：求曲线 y = x2上任意一点处

5、切线的斜率, 并求在点 (1, 1) 处,(2,4)的切线方程.即 y = 4x4.y 4=4(x2) , 例3解在点(2, 4) 处 在点(1, 1) 处 故所求切线方程为：即 y = 4x4.y 4= 4(x2) , 故所求切线方程为：即 y = 2x 1.y 1= 2(x 1) , y = 2x 1函数的导数 导函数给出了函数在任意点处切线的斜率 . 切点：过切点的切线方程：切线5.函数可导与函数连续的关系 例12 函数f(x)=|x|在区间(- +)内连续 但在点x=0处不可导 y=-x y=x连续但不可导的函数函数的导数 处,尖点！无切线该图像不“光滑 ”，这是函数不可导的一种几何形

6、象. 这是因为函数在点x=0处导数为无穷大 连续但不可导的函数 x=0处不可导 例11函数的导数 该图像有一条与 x 轴相垂直的切线，该切线的 斜率不存在 ；这是函数不可导的另一种几何形象. 只是必要条件！定理不连续一定不可导如果函数 y=f(x) 在点 x0 处可导 则它在点 x0 处连续.连续但不可导的函数 x=0处不可导 例11yxO在间断点处曲线无切线(不可导) 作业 P1161.5. 8. 10. 高等院校非数学类本科数学课程 微积分 大 学 数 学（一） 第十四讲 基本初等函数的导数及导数的四则运算法则脚本编写：教案制作：二、 导数的四则运算法则一、 基本初等函数的导数上页下页结束

7、返回首页三、求导数举例 例2 求函数f(x)C（C为常数）的导数 解 即 (C ) =0 几个基本初等函数的导数 函数的导数 解几个基本初等函数的导数三、求导数举例 例4 函数的导数 更一般地证明：更一般地例如,( 为实常数) 例7 求函数f(x)=sin x的导数 解 (sin x)=cos x 同理, (cos x)=-sin x 例解即特别地, 求函数 f(x)=ax 的导数,(常数 a0 a 1) 例5解即特别地,二、求导举例 三、求导公式小结 一、求导法则 2. 2 函数的和、差、积、商的求导法则上页下页结束返回首页一、函数的和、差、积、商的求导法则函数之和差的求导法则 设函数u(x

8、)与v(x)可导 则函数u(x)v(x)也可导 并且 u(x)v(x)=u(x)v(x) 函数之积的求导法则 设函数u(x)与v(x)可导 则函数u(x)v(x)也可导 并且 u(x)v(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x) 设函数u(x)与v(x)可导 则函数 也可导 并且函数之商的求导法则此法则可推广到任意有限项的情形.证: 设 则例如,1. 证明二、求导举例 例1 y=2x 3-5x 2+3x-7 求y=6x 2-10 x+3 =23x 2-52x+3=2(x 3)- 5(x 2)+ 3(x)= (2x 3)-(5x 2)+(3x)-(7) 解 y=(2x 3-5x 2+3x-7)函

9、数之和差的求导法则 设函数u(x)与v(x)可导 则函数u(x)v(x)也可导 并且 u(x)v(x)=u(x)v(x) 设则有2. 证明证设 u C ( C为常数 ) , v = v(x) 可导, 则 通常说成: 常数因子可以提到导数符号外面例7 例3 y=e x (sin x+cos x) 求y =2e x cos x 解 y=(e x )(sin x+cos x) + e x (sin x+cos x)= e x(sin x+cos x)+ e x(cos x -sin x)下页二、求导举例求导法则 (uv)=uv (uv)=uv+uv 3. 证明故 用乘法公式证明除法公式求导法则的推广

10、 (uvw)= (uv)w=uvw (uvw) = (uv)w+ (uv)w=uvw+uvw+uvw 特殊情况 (Cu)=Cu 函数的和、差、积、商的求导法则首页 解 例2 下页二、求导举例求导法则函数在点 x0处的导数与导函数的关系: 先求导、后代值.求导法则例求解： 分析:本题可以直接使用商的求导法则,但注意到函数的特点，将函数恒等变形为幂函数，则更简单.解由和的求导公式 由此可知, 多项式的导数仍是多项式, 其最高次数降低一次, 系数相应改变.例6设例6.求下列函数的导数例6.求下列函数的导数方法二求导法则的推广 (uvw) = (uv)w+ (uv)w=uvw+uvw+uvw 求导法则

11、例6.求下列函数的导数 例4 y=tan x ，求y 即 (tan x)=sec2x 解 下页二、求导举例求导法则(cot x)=-csc2x 同理可得 例5 y=sec x 求y 即 (sec x)=sec x tan x 用类似方法还可求得 (csc x)=-csc x cot x 解 首页二、求导举例求导法则三、求导公式小结1 (C ) =0 2 (x m)=mx m-1 其中m为常数 3 (sin x)=cos x (cos x )=-sin x 4 (a x)= a x ln a 特殊地(e x ) =e x (tan x)=sec2x (cot x)=-csc2x (sec x)=

12、sec x tan x (csc x)=-csc x cot x 5求导法则xy = sinx例5求解:当 时,当 时,当 时,故 不存在.方法:分段函数在分段点处必须求出左和右导数，在各分段区间内部可直接求导.y =sinxy函数的导数 f (x) 在 x = 0 处可导,从而 f (x) =1 + bx, x0e x, x 0 f (x) 在 x = 0 处连续, 例6解设a + bx, x0求 a, b 之值.e x, x 0y =在 x = 0 可导,两个未知数，两个方程由可导性：故 b = 1, 此时函数为f (x) =1+ x , x 0e x, x 0f (x) =1 + bx,

13、 x0e x, x 0 分段函数求导时,当左右函数在分段点处分别皆可导时，可按函数求导四则运算法则分别直接求左右导数。8.解注意：以下解法错误：例 设求解：逢山开路遇河搭桥作业 P12113 P1167 57 高等院校非数学类本科数学课程 微积分 大 学 数 学（一） 第十五讲 复合函数的求导法则脚本编写：教案制作：一、反函数的导数二、复合函数的求导法则三、求导法则小结2. 3 反函数、复合函数的求导法则上页下页返回首页结束一、反函数的导数 如果函数y=f(x)在某区间Ix内单调、可导那么它的反函数x=j(y)在对应区间Iy内也可导 且若j (y)0则 简要说明： 因为y=f(x)连续 所以当

14、Dx0时 Dy0 从而 设x = j (y) 在点 y 的改变量是 y 0.则 x = j ( y +y ) j(y) , y = ( x + x ) (x) 例1 求(arcsin x)及(arccos x) 解 因为y=arcsin x是x=sin y的反函数 所以一、反函数的导数 如果函数y=f(x)在某区间Ix内单调、可导那么它的反函数x=j(y)在对应区间Iy内也可导 且若j (y)0则 例2 求(arctan x)及(arccot x) 解 因为y=arctan x是x=tan y的反函数 所以一、反函数的导数 如果函数y=f(x)在某区间Ix内单调、可导那么它的反函数x=j(y)

15、在对应区间Iy内也可导 且若j (y)0则基本初等函数的导数公式小结首页(1) (C)0(2) (xm)m xm1(3) (sin x)cos x(4) (cos x)sin x(5) (tan x)sec2x(6) (cot x)csc2x(7) (sec x)sec xtan x(8) (csc x)csc xcot x(9) (a x)a x ln a(10) (e x)ex二、复合函数的求导法则下页 假定Du0此时有 简要说明 = f (u)g(x) 例1求解：设复合函数的求导法则 复合函数的求导法则 解 函数y=lntan x是由y=ln u u=tan x复合而成 例3下页复合函数

16、的求导法则 例2求解： （1）设（2）设 例4 解复合函数的求导法则 下页 对复合函数求导法则比较熟练以后，就不必再写出中间变量。复合函数的求导法则 解 例6下页例2解例3解在初等函数求导中，复合求导法则经常要与四则运算求导法则共用，例如：证综上所述,例20复合函数的求导法则 复合函数求导法则可以推广到多个函数的复合。复合函数的求导法则 解 例8下页复合函数的求导法则 解 复合函数求导法则可以推广到多个函数的复合。 例9下页 复合函数求导数可推广到任意有限次复合的情形.解其中a 为常数，例21 例5 求yx sin x (x0)的导数 解 将幂指函数改写成指数函数,再利用求导的乘法法则： yx

17、 sin xe sin xln x有时需将给定函数改写成明确的初等函数表示形式，然后再用复合 求导法则进行计算，例如：对一般幂函数( 为常数) , 对数恒等式a为常数. 有时需将给定函数改写成明确的初等函数表示形式，然后再用复合 求导法则进行计算，例如：例1 考察解:写出的分段表达式：它在处不可导 的可导性时的导数为而当时,由于因此在解例4或解：直接利用复合函数的求导法则，C书P126例3-22设 为可导函数,求(1) 解(1)设则注意表示复合函数 对自变量 求导;表示复合函数 对中间变量 求导.有一类函数表示式中含有抽象函数记号的求导问题，计算这类问题时，仍应注意复合求导的法则应用，例如：书

18、P126例3-22设 为可导函数,求（2）解：作业 P1261. (2)(4)(6)(8)(10)(12) 2. (2)(5)(7)(10) 36 高等院校非数学类本科数学课程 微积分 大 学 数 学（一） 第十六讲 隐函数求导法脚本编写：教案制作：一、隐函数的导数2. 6 隐函数的导数上页下页结束返回首页例如,隐函数可确定显函数可确定 y 是 x 的函数 ,但不能显化 .一、隐函数的导数显函数与隐函数 形如yf(x)的函数称为显函数 例如 ysin x yln xe x 都是显函数 由方程F(x y)0所确的函数称为隐函数 隐函数隐函数 求导问题 ： 求由方程 x3 + y 3 = 1 所确

19、定的隐函数 y = y ( x ) 的导数 y . 隐函数求导例1解解得5y y2y121x 60 因为当x0时 从原方程得y0 所以 例2 求由方程y52yx3x70所确定的隐函数yf(x)在x0处的导数y|x0 下页隐函数的求导法 把方程两边分别对x求导数 然后从所得的新的方程中把隐函数的导数解出 求导时要注意 是x的函数 解法一 把方程两边分别对x求导数得 5y y2y121x 60 根据原方程 当x0时 y0 上述方程限制在x0得 从而 y|x005 例2 求由方程y52yx3x70所确定的隐函数yf(x)在x0处的导数y|x0 下页解法二 把方程两边分别对x求导数得例4 证明下页证：

20、令则两边对求导：由于同理可证： 解 把椭圆方程的两边分别对x求导 得所求的切线方程为 例3 下页 y f(x)ln f(x) 此方法是先在yf(x)的两边取对数 然后用隐函数求导法求出 y 的导数 设yf(x) 两边取对数 得 ln y ln f(x) 两边对x 求导 得对数求导法：下页 对数求导法适用于求幂指函数yu(x)v(x)的导数及多因子之积和商的导数 例5 求yx sin x (x0)的导数 解法二 两边取对数 得 下页对一般幂函数( 为常数) , ln y sin xln x 上式两边对x 求导 得 例5 求yx sin x (x0)的导数 解法一 将函数写成指数函数，然后利用求导

21、的乘法法则： yx sin xe sin xln x下页因此幂指函数求导利用乘法的求导法则 解 先在两边取对数 得上式两边对x求导 得 例6首页运用取对数求导法两边关于 x 求导：解例34复杂的乘积、根式求导对数函数和的求导 整理得例34 取对数求导法常用来求一些复杂的乘除式、根式、幂指函数等的导数. 例5 求yx sin x (x0)的导数 例6例8 方程确定 是 的函数,求解: 两边取对数两边关于 求导得当 时,代入原方程得另一方面(*)将代入(*)式得基本初等函数的导数导数的四则运算法则分段函数的导数复合函数求导法隐函数的求导法取对数求导法 求导方法小结按定义求导求导法作业 P1301.

22、 (4)(5)2. (3)(4)3. (1)(3)(5)4.5.高等院校非数学类本科数学课程 微积分 大 学 数 学（一） 第十七讲 高阶导数脚本编写：教案制作：一、高阶导数的定义 二、几个初等函数的 n 阶导数三、函数积的 n 阶导数 2. 5 高阶导数上页下页结束返回首页一. 高阶导数的概念例函数的导数 一、高阶导数的定义 我们把函数yf(x)的导数yf (x)的导数(如果可导)叫做函数yf(x)的二阶导数 记作 2. 二阶导数计算示例例2解例3. y=3x5 求yy3 解 y0 例3解一、高阶导数的定义 我们把函数yf(x)的导数yf (x)的导数(如果可导)叫做函数yf(x)的二阶导数

23、 记作 类似地，二阶导数y=f (x)的导数叫做函数y=f(x)的三阶导数，记作 下页 一般地 函数y=f(x)的(n1)阶导数的导数叫做函数y=f(x)的n阶导数 记作 我们把yf(x)的导数f (x)叫做函数yf(x)的一阶导数把二阶及二阶以上的导数统称高阶导数 对于 n 阶导数 ， 以下两则运算是成立的 ：这一公式称为莱布尼茨公式 函数积的 n 阶导数 用数学归纳法可以证明(uv)uvuv(uv) (uv) = uvuv =uv2uvuv (uv)uv3uv3uvuv 下页莱布尼茨公式 例3-35设解: 设则由莱布尼茨公式 例4(98二3 )（A）3 （B）2 （C）1 （D）0分析解例

24、5(92二3) 分析二、几个初等函数的 n 阶导数 例3 求函数ye x 的n 阶导数 即(e x )(n) e x一般地 可得y (n) e x y e x 解 y (4) e x y e x y e x 下页 例4 求正弦函数和余弦函数的n阶导数 解 ysin x一般地 可得 二、几个初等函数的 n 阶导数 例5 求函数ln(1x)的n 阶导数 一般地 可得 y=(-1)(-2)(1+x)-3 y(4)=(-1)(-2)(-3)(1+x)-4 解下页 观察归纳的技巧 例6 求幂函数yx m(m是任意常数)的n阶导数公式 解 ymx m1 而 (xn)(n1) 0 (xn)(n) n (n

25、1) (n 2) 3 2 1 n! 当mn时 得到即 (x m )(n) m(m1)(m2) (m(n1)x mn y (n) m(m1)(m2) (m(n1)x mn 一般地 可得 y (4) m(m1)(m2)(m3)x m4 ym(m1)(m2)x m3 ym(m1)x m2 首页练习思考： 拆分技巧 例 设 则 解：例 方程确定为 的函数，求解：方程两边对 求导：（*）另一方面,将 代入原方程得将代入(*)式得即有(*)式两边再关于 求导:即将代入上式得将上式限制在x0,作业 P1331. (1)(4)(6)2. 3. (1)(2)(4)4.7.高等院校非数学类本科数学课程 微积分 大

26、 学 数 学（一） 第十八讲 微分的概念及其应用脚本编写：教案制作：一、微分的定义二、微分的几何意义三、微分公式与微分运算法则2. 7 函数的微分上页下页结束返回首页一、微分的概念实例: 正方形金属薄片受热后面积的改变量.设边长由 x0 变到 x0 + Dx, (2): Dx 的高阶无穷小, 当 |Dx| 很小时可忽略(1): Dx 的线性函数, 且为 DA 的主要部分(2)(1) 正方形面积 A = x02A = x02 再如,设函数 在点 处自变量 的改变量为 时，求函数的改变量既容易计算又是较好的近似值问题:所有函数的改变量是否都有这个线性主部? 如何求?当 |Dx| 很小时, (2)

27、是 Dx 的高阶无穷小, o(Dx)(1)(2)微 分 的 定 义函数 y = f (x) 在 x0 某一邻域内有定义, 定义x0 和 x0 + Dx 都在领域内. 如果成立 (其中 A 与 Dx 无关). 则称 f (x) 在 x0 可微, 并且把 A Dx 称为 f (x) 在 x0 的微分, 记为 dy 或 df (x), 即dy由定义知:(1) dy 是自变量的改变量 Dx 的线性函数;dy(2) Dy dy = o(Dx), 即是 Dx 的高阶无穷小;(3) 当 A 0时, dy Dy, 即是等价无穷小;(4) A 是与 Dx 无关的常数, 但与 f (x) 和 x0 有关;(5)

28、当 |Dx| 很小时, Dy dy (线性主部).定理证设 f (x) 在 x0 可微, 即= A即 f (x) 在 x0 可导, 且yf(x)在点x0可微DyADxo(Dx) dy=ADx 函数f(x)在点x0可微 函数f(x)在点x0可导 且函数在点x0的微分一定是有 dyf (x0)Dx 定理证设 f (x) 在 x0 可导, 即即故可微. 函数f(x)在点x0可微 函数f(x)在点x0可导 且函数在点x0的微分一定是有 dyf (x0)Dx yf(x)在点x0可微DyADxo(Dx) dy=ADx 函数yf(x)在任意点 x 的微分 称为函数的微分 记作dy 或 df(x) 即dyf

29、(x)Dx yf(x)在点x0可微DyADxo(Dx) dy=ADx 函数f(x)在点x0可微 函数f(x)在点x0可导 函数在点x0的微分一定是 dyf (x0)Dx 可微与可导的关系下页因此, 导数也称为微商.自变量 x 的增量 Dx 就是自变量的微分, 即 dx = Dx.可微可导函数 y = f (x) 的微分为:例如 dcos x(cos x)dx 因为当 y=x 时 dy=dx=(x)Dx=Dx sin xdx dydf (x)=f (x)dx即函数 f (x) 在点 x 处的导数等于函数的微分 d y 与自变量的微分 d x 的商, 故导数也可称为微商.哈哈！除法, 这一下复合函

30、数的求导公式就好理解了. 例2 求函数 yx3当x2 Dx 002时的微分 解 先求函数在任意点x 的微分 dy(x3)Dx3x2Dx 再求函数当x2 Dx002时的微分 =322002=024 yf(x)在点x0可微DyADxo(Dx) dy 下页5. 微分计算实例 （1）显函数求微分题型 3. 微分的几何意义yDyd 当 |Dx| 很小时, Dy dy . 微分公式一目了然.微分的运算法则 1.微分的基本公式可微 可导 微分的基本公式与导数的基本公式相似 微分公式d(x m)m x m1dx d(sin x)cos xdx d(cos x)sin xdx d(tan x)sec2xdx d

31、(cot x)csc2xdx d(sec x)sec x tan xdx d(csc x)csc x cot xdx d(a x)a x ln adx d(e x)e xdx 导数公式(x m)m x m1 (sin x)cos x (cos x)sin x(tan x)sec2 x (cot x)csc2x (sec x)sec x tan x (csc x)csc x cot x (a x)a x ln a (e x)e x下页三、微分公式与微分运算法则微分公式导数公式下页函数和、差、积、商的微分法则求导法则 (uv)uv (Cu)Cu (uv)uvuv微分法则 d(uv)dudvd(Cu

32、)Cdu d(uv)vduudv d(uv) =(uvuv)dxvudxuvdx 下页公式d(uv)vduudv 的证明因为而 udxdu vdxdv所以 d(uv)vduudv 复合函数的微分法则 设yf(u)及uj(x)可微 则复合函数yfj(x)的微分为dyyxdxf (u)j(x)dx 因为j(x)dxdu 所以 复合函数yfj(x)的微分公式也可以写成dyf (u)du. 由此可见 无论u是自变量还是中间变量 微分形式 dyf (u)du保持不变 这一性质称为微分形式不变性 下页dy f (u)du复合函数的求导法则 说明可以用两种方法求复合函数的微分 例3 ysin(2x1) 求d

33、y 解法1分析微分的计算: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分. 例3 ysin(2x1) 求dy 解法二 把2x1看成中间变量u 则ysinu u2x1 2cos(2x1)dx cos(2x1)2dxcos(2x1)d(2x1) dy =dsin(2x1) d(sin u)cos udu若yf(u) uj(x) 则dy= f (u)du 在计算过程中 也可以不写出中间变量 若yf(u) uj(x) 则 例2dy= f (u)du例2解法2分析微分的计算: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分. 例5 ye13xcos x 求dy 解 应用积的微分法则 得e13x(3cos xsin x)dx

34、(cos x)e13x(3dx)e13x(sin xdx) dyd(e13xcos x)cos xd(e13x)e13xd(cos x)下页(cos x)e13xd(1-3x)e13x(sin xdx)微分法则 d(uv)vduudv若yf(u) uj(x) 则dy= f (u)du 例6 在括号中填入适当的函数 使等式成立 d( )xdx 解 (1)因为d(x2)2xdx 所以例4方程确定 是 的函数,求解法一先求解得从而即（2）隐 函数求微分题型 例4方程确定 是 的函数,求解法二方程两边求微分从而d(uv)vduudv因此（3）抽象函数求微分题型 例5平衡常数 是绝对温度 的函数,已知他

35、们有如下关系( 为常数).求解:一、近似公式2. 8 微分在近似计算中的应用上页下页结束返回首页一、近似公式 当函数 yf(x)在点x0处的导数 f (x)0 且|Dx|很小时 我们有 Dydyf (x0)Dx f(x0Dx)f(x0)dyf (x0)Dx f(x0Dx)f(x0)f (x0)Dx 若令xx0Dx 即Dxxx0 那么又有 f(x)f(x0)f (x0)(xx0) 下页yf(x)在点x0可微DyADxo(Dx) dy=ADx 既容易计算又是较好的近似值 这个公式成为近似计算中的理论依据 例6解：半径10厘米的金属圆盘加热后, 半径伸长了0.05厘米, 问面积变化了多少？r = 1

36、0厘米, Dr = 0.05厘米求函数增量的近似公式 f(x)f(x0)f (x0)(xx0) f(x)f(x0)f (x0)(xx0) 例6 求的近似值.解: 设则由公式f(x)f(x0)f (x0)(xx0)有由上式常用近似公式(1) 证 f(x)f(x0)f (x0)(xx0) 求函数在x=0附近的值的近似公式 f(x)f(0)f (0)x 例3首页 f(x)f(x0)f (x0)(xx0) 例9解计算 的近似值. 精确值 = 9.994997= 9.995 f(x)f(0)f (0)xf(x)f(x0)f (x0)(xx0)例10 计算 的近似值.解:由近似公式得作业 P1401. 2

37、. (2)(8)3. 5.(2)4.7.9.高等院校非数学类本科数学课程 微积分 大 学 数 学（一） 第十九讲 导数在经济学中的简单应用 脚本编写：教案制作： 导数与微分在经济学中的简单应用 1. 边际分析2. 函数的弹性要求：掌握边际和弹性的定义； 给具体问题后会计算边际和弹性； 并能够给出相应的经济解释；.边际分析 在经济学中,边际这个概念是与导数密切相关的一个经济学概念,它反映一种经济变量y对另一种经济变量x的变化率.以导数为工具研究经济变量的边际变化的方法，就是边际分析方法。1.总成本、平均成本、边际成本 “总成本”是生产一定量的产品所需要的成本总额，通常由固定成本和可变成本两部分构

38、成，用C(x)表示，其中x表示产品的产量，C(x)表示当产量为x时的总成本。 不生产时，x=0，这时C(0)就是固定成本。 “平均成本”是生产每个单位产品的成本. 若产量由 变化到则：称为C(x)在内的平均成本. 称为“平均成本函数”，表示产量为x时平均单位产品的成本。例1： 设某种商品的成本函数为其中x表示产量（单位：吨），C(x)表示产量为x吨时的总成本（单位：元），当产量为400吨时的总成本及平均成本分别为：如果产量由400吨增加到450吨时，总成本的平均变化率为：它表示当产量由400吨增加到450吨时，平均每吨增加成本13.728元。表示在产量为400吨时，再增加1吨产量所增加的成本。当产量为400吨时再减少1吨，即类似的可以计算当产量为400吨时再增加1吨，即表示在产量为400吨时，再减少1吨产量所减少的成本。定义：设成本函数C(x)为一可导函数，称为产量是 时的边际成本。 其经济意义是： 若成本函数 在区间I内可导，则称 为在区间I内的边际成本函数。经济含义例2：已知某商品的成本函数为：求（1