数学深度教学的课堂要素

1、数学深度教学的课堂要素摘 要 为扎实理解的教学(Teaching fbr Robust Understanding,简称TRU)项目基于培养学生深刻理解数学思维 的目的，将高效课堂的基本属性总结为数学内容、认知需求、公平获得、身份认同感，以及形成性评价等 五个维度。TRU的课堂评价和改进工具有助于一线教师改善课堂教学。关键词TRU数学课堂深度教学、引言深度教学是培养学生数学核心素养的重要途 径，重视引导学生更清晰、深入、全面、合理的思 考1o数学课堂是师生互动最多的情境，如何在其 中渗透深度教学的理念是需要关注的重要问题。 关于数学课堂教学的理论成果汗牛充栋，但高深理 论难以融入实际教学仍是常

2、见难题。数学课堂教 学的形式化、模板化导致了“为深度而深度”、“表面 上热闹，实际没有收获”的现状。因此需进一步审 视数学深度教学需要什么样的课堂、怎样以友好方 式让一线教师将深度教学理念渗透在数学课堂中。培养学生数学核心素养的目标是使学生惯 用数学思维来思考,有深度的数学课堂教学应更 注重“如何做”“为什么”，而非简单机械的“是什 么”。深度教学的理念与美国学者Alan Schoenfeld 发起的为扎实理解的数学教学(Teaching for Robust Understanding in Mathematics，简称 TRU-Math )研究 不谋而合2。该项目探究了数学教学应重点关注什

3、 么，怎样的课堂环境能帮学生成为渊博灵活的思考 者和学习者，教师如何创造更有效的课堂环境等方 面的问题4，从数学教学的目标(Why )，有效课堂的 要素(What)，教师或教育研究者如何使用(How)等 三个维度提供了有效数学课堂教学的框架。尽管有学者已介绍了 TRU的框架以及评分标 准3，Schoenfeld本人于2018年也在第三届华人数 学教育大会(上海)中做了相关报告,但该框架依旧 被我国的一线教师冷落。TRU在数学课堂教学理 念和实践等层面都体现了深度教学的目标，有助于 改善数学课堂教学，因此本文将介绍TRU的目标、 框架和工具，以期提供有价值的参考。二、TRU的目标数学深度教学能够

4、使所有学生在数学课堂上有机会掌握丰 富的数学知识、能够灵活地数学地思考，是TRU项 目的研究目标。TRU框架认为学生学习数学并不 是对知识或步骤的记忆、重复和演练，因此，数学课 堂教学不能满足于灌输给学生一系列数学知识或 步骤的表面功夫，而应达到使学生理解各个概念或 主题背后的联系、数学学科的基本思想之深度。这 体现了深度教学的宗旨一让学生在课堂中体验 像数学家一样思考的过程。深度教学首先需要教师对数学知识的深刻理 解。教师关于“学生应该怎样理解数学”的观点，很 大程度反映在课堂教学的目标和实施过程中向。因 此，教师在授课前就应深入思考数学中各个主题之 间的互相联系和基本思想，除此之外，还需要

5、对学 生的学习心理有较好的把握。在此前提下，TRU研 究提出深度课堂教学的五个维度，包括数学内容、 认知需求、公平获得、归属感和身份认同感，以及形 成性评价6。TRU遵循培养学生用数学思考的原 则,刻画了数学深度课堂教学。从综合的角度来看, 如果课堂教学能够按照这五个维度去设计或实施, 那么学生在这样有深度的学习环境下，将成为有学 识、灵活和机智的思考者和学习者。从分析的角度 来看，每个单独的维度都是教师专业发展中应关注 的焦点，在教师教育过程中，应专注于系统地改进 每个维度。那么,怎样阐释这些维度的含义？如何 将其应用于教学？以下将就这两个问题具体分析。三、TRU框架有效课堂的要素在数学课堂

6、中进行什么样的活动才能发展学 生的数学能力？ TRU认为优秀的深度课堂教学在 以下五方面为学生提供了好的学习环境，即数学内 容，认知需求，公平获得,归属感和身份认同感，以 及形成性评价。需要明确的是，TRU框架并不规定 深度课堂中应该发生什么，因为教学无定法。TRU 的五个维度仅提供有效课堂的参考和方向。数学内容赋予学生数学思维是TRU的主要目标，学生 在课堂上应体验到连贯的、将有意义的解题过程 和步骤符号化了的数学，而不是一系列被用来背 诵的彼此孤立的事实、步骤和概念。例如,直角坐 标系下直线的方程可表示为y=kx+b； Ax+By=C； x/a+y/b=1，y-yo / x-x0=m这几种

7、线性关系的不同形 式，分别表示已知直线的任意两个信息就可以决定 其位置，互相之间能自由转换。数学教学中需用联 系的观点看待以突出知识的连贯性。这反映了深 度教学从“知识点”走向“知识结构”的基本理念叫知识问题是深度课堂教学中的关键，“知其所 以然”的课程内容是必要前提。将数学知识作为需 要死记硬背的步骤来教学，会导致学生的知识停留 在浅层，思维固化等后果面。TRU提倡使数学知识 深入而重点突出、具有连贯性和准确性，帮助学生 理解数学实质。认知需求教师在帮助学生处理任务时不能削弱重要的 数学内容，深度的数学课堂需满足学生的认知需 求。为此需找到平衡点，教师既能让学生明白自己 遇到了什么问题，又留

8、下独立思考的空间。深度教 学的实现需经历问题解决、知识运用、开拓创新的 过程,如果教师将数学知识“填鸭”似地教给学生, 则不能使学生深刻理解数学或形成良好的数学思 维习惯。公平获得该维度聚焦于数学课堂活动是否能使学生都 参与有意义的实践。学生所获数学成就的高低与 他们的学习机会有关回。学习机会差异的一个主要 来源是教师讲授知识的不同方式，即课堂教学的不 同深度。在数学课堂中谁有机会真正参与到数学 活动？所有学生都常有机会讨论数学观点吗？每 个学生都有锻炼或者展示自己的机会吗？每个学 生都能用现有的知识理解遇到的问题吗6 ？好的 教师会选择并设计一些任务的切入点，鼓励所有学 生参与到挑战性的数学

9、活动中四。身份认同感TRU框架的第四方面涉及学生的数学气质和 自我认同(Mathematical Dispositions and Identities ), 包括态度、信心、毅力、对数学的认识等。许多学生 持有错误或消极的信念，如数学是被记忆而不是理 解的，自己不擅长数学等11o深度教学关注学生的 情感体验，使学生在数学上认同自己,成为积极的 数学思维者。数学自我认同包括两个方面，第一是自主性 (agency),即个体做数学的意愿，源于认识到自己 面对挑战时取得的进展和对自己所得结论的信心。 第二是权威性(ownership ),指的是个体对自己推导 的数学学科思想的自信。在赋予学生身份认同

10、感 的课堂中，教师能发现每个学生的优势并借此帮助 学生参与到学习共同体中去。形成性评价形成性评价引发学生的思考和回应，重视出现 的误解,并要求教师有目的地设计任务以评估学生 的理解程度，再利用这些信息塑造课堂活动1213O 教师在评估学生理解程度的同时也得到了改良教 学方式的机会，其后续问题、任务以及“下一步如何 做”都是为了更深层次的课堂教学目标。此过程中 教师关注学生的理解，因材施教式地教学，就可形 成“更清晰、更关注重点和更有效的”深度教学课堂 了。实施形成性评价时，学生会被要求在反思中表 达自己的想法和收获，这将使学生理解更透彻并将 新旧知识相联系。TRU框架全面概括了深度数学课堂应具

11、备的 属性，五个维度彼此紧密联系成一个整体,共同作 用于挖掘教师数学教学的深度，以及学生思考能力 的清晰、深入、全面、合理，如图1。图1 TRU五个维度之间的关系数学内容的选择决定了是否满足学生的认知 需求,形成性评价是否具有好的切入点。公平获得 保证每个学生的数学身份认同感，认知需求以及恰 当的形成性评价确保了参与的意义。四、TRU在数学深度教学中的应用TRU在教学设计、课堂教学评价、教学研究等 实践环节中均有其价值。理论上如果课堂教学能 按TRU的五个维度设计实施，学生将有可能成为渊 博睿智的思考者和学习者。但如果这些教育理论 不能以一线数学教师能够接受的方式呈现，其价值 就无法体现。因此

12、以一线教师能够实际操作的语 言和方式应用TRU的理论具有重要意义。1.作为改善教学设计的工具课堂教学随时代发展变化，没有绝对正确的课 堂教学方式。TRU框架从备课和反思围绕教学设 计提出相应的问题。首先在备课阶段，教师需要依 情况选择教学内容，TRU提供了一系列问题，以帮 助教师审视对学生认知需求的满足程度，如：为学 生获得重要思维提供了哪些机会？如何回应学生 的努力并保证学生能发展自己的思维和理解？其 次在反思阶段，反思上一阶段的完成度并继续调 整。TRU从各维度设计了有助于教师专业发展的 工具，下表是身份认同感维度的工具。表1 TRU为教师改善教学设计提供的工具身份认同感核心:可以提供哪些

13、机会让学生认为自己或者别人是数学思维好的思考者和 学习者？如何能提供更多？计划有哪些机会可以让学生形成及阐述 自己的想法，回应别人的想法？如 何创造更多的机会？反思如何看到学生解释自己的想法及回应 别人的想法？在具体的案例中，这些 想法的阐述和交流是怎样的？需考虑的问题谁提出了可讨论的想法？学生有机会提出和分享哪种类型的想法（技巧，联系，学过的知识等）？ 是谁评价或回应了他人的想法？学生解释想法的深度如何2.作为听课评课的工具课堂观察是教师提高专业素养的重要途径，相 关反馈有助于教师认识自身得失，实现深度教学目 标。课堂观察的反馈可来自不同角度，TRU针对不 同维度设计了课堂观察表。以下为形成

14、性评价的 课堂观察表（表2 ）：表2形成性评价的课堂观察表形成性评价课堂活动在多大程度上吸引学生的思考互动，通过引导优质开端或化 解误解来回应这种思维。高质量的教学“满足学生的参与感”并提供深层 次理解的机会，期间既有教师角色的参与也有学生之间的互动。学生：阐释自己的想法，即使有点初 步将错误看作学习新知识的机会 反思自己和同学的作业 将同学的观点当作学习资源 为同学提供具体和精准的反馈 利用反馈修改作业教师：营造宽松的气氛让学生敢于表达 使用可以引出多种策略的材料，让 学生解释他们的推理，从而获得学 生闪现出的想法灵活调整教学内容和步骤，为学生 提供重新参与和修改的机会作为日常课堂中一部分，

15、为学生提 供及时准确的反馈,促使学生深层 次学习为学生的反思提供机会其他观察的焦点：为所有学生阐述理解提供了哪些机会？对建立已揭示的思想有哪些机会？ 教师或学生如何抓住这些机会？哪些方面可以进一步提高？目标:持续灵活地提供一些技巧和活动，让学生能表达他们新出现的理解， 并通过重新思考误解及建立有效的观点加强学生的学习。从上表可见，形成性评价的课堂观察师生的课 堂表现并提供建议。TRU的五个维度彼此联系，观 察者可以将其他相关维度的评价列在表中。综上，TRU描述了有效课堂的属性，提供了研 究课堂教学的框架和工具。教师借此计划和反思 教学，在教学评价中寻求反馈，将促使数学课堂向 深度教学发展，学生

16、在这样的课堂中能够实现更为 清晰、深入、全面、合理的思考。五、结语TRU研究在追求培养学生数学思维习惯的宗 旨下，致力于探究优质的深度教学课堂所具备的基 本属性。在多元文化的背景下，数学课堂具有多样 性，TRU在现有研究的基础上，以培养学生数学地 思维为出发点，体现了数学深度教学的目标。TRU 将数学深度课堂的基本要素归结于五个维度，并在 某种程度证明了这个框架的完备性。这一思路类 似于数学研究中的理性精神，将原本模糊复杂的系 统，以结构的角度更清晰地刻画出来，使得深度课 堂教学不再是令一线教师无法厘清的概念。尽管TRU项目是在西方文化的背景下针对西 方课堂进行的，但该研究得出的评价工具，是一线 教师在改进深度课堂教学中能够理解且容易达到的。历史总是告诫着今人：文化的交融互鉴推动着 人类的进步,创造出无限的机遇与希望；拒绝融合