1空间的概念4学时

1、第一讲、空间的概念1OutlineSet and mapping spaceoperators2Set and mapping一 集合的相关概念集合，简单地说就是一堆东西的总体， 其中每个东西称为这个集合的元素。 一般用英文大写字母A, B, C, X, Y, Z表示集合，用英文小写字母a, b, c, x, y, z等表示集合的元素 属于 a是A的元素称为a属于A，记为aA，a不是A的元素称为a不属于A，记为aA。称为属于关系。 集合的确定性：任何一个东西是或者不是这个集合的元素，但不能既是又不是这个集合的元素。从集合的确定性要求看，日常生活中使用的某些概念不能简单地看作集合的，如青年、新鲜

2、的苹果等。(非二元)有别于模糊数学3集合的相等 A和B有同样的元素称为A和B相等， 记为A = B。即A B =df x(xAxB)空集 没有任何元素的集合称为空集，记为。 子集 如果B的元素都是A的元素，则称B是A的子集，也称B包含于A，记为B A。 称为包含关系。 4集合的交与并 交集并集集合的交和并都是用两个集合去形成一个新的集合，它们都称为集合的运算。5二 映射的相关概念AB6函数：表示一个数的空间到另外一个数的空间的映射泛函：表示一个函数的空间到一个数的空间的映射算子：表示一个函数的空间到另外一个函数的空间的映射Y=f(x), x不同，y不同Y=F(U(x), U(x)不同，y不同两

3、点间的距离随路线的不同而不同7Space Number space(度量)距离空间在形式几何的意义上，用点表示元素，用空间表示集合是数或向量集合的拓扑表示Function space是函数集合的拓扑表示常规意义上的空间8举例9这里距离的定义可以有很多种，只要满足前面的三个条件即可以称之为距离理解10极限设Xn是度量X=(X,d)中的点列，若有 ，使得 则称点列xn按照距离收敛于x，或称x 是xn的极限有界设A是度量空间X的一个子集，若存 和正数M使得则称A是度量空间上的有界集，否则是无界集11正常情况下，常用的是2次可积空间12Hilbert spaceLinear space 自闭性，完备性

4、交换律分配律单位元素设D（E）是定义在E（X）上的函数集，在D（E）中任意取三个元素f(X),g(X),h(X),存在零元素和负元素13线性空间的维和基线性空间X中可以找到n个线性无关的向量，且任意n+1个向量均线性相关，则成X的维数为n， dimX=n， n个线性无关向量叫基R1， R2， R3， Rn空间14在一维空间中，实轴上任意两点 距离用两点差的绝对值 表示。绝对值是一种度量形式的定义。 Normed space 范数是对函数、向量和矩阵定义的一种度量形式。任何对象的范数值都是一个非负实数。使用范数可以测量两个函数、向量或矩阵之间的距离。向量范数是度量向量长度的一种定义形式。范数有多

5、种定义形式，只要满足下面的三个条件即可定义为一个范数。同一向量，采用不同的范数定义，可得到不同的范数值。 范数15定义3.1 对任一向量 ，按照一个规则确定一个实数与它对应，记该实数记为 ，若 满足下面三个性质：那么称该实数 为向量 的范数。结合度量空间的定义理解，范数是一个距离的概念16几个常用向量范数 171819202122仅当f(X)=0时，范数等于零属于常数域范数的定义不是唯一的，因此上述空间也不是唯一的通过范数引进距离的概念，从而使得线性空间成为度量空间Normed space 23Inner product space 一内积空间的基本概念24若范数按照内积定义，那么赋范空间就叫

6、按内积赋范空间25Complete space 设D（E）是线性函数的集合，若每一个收敛元素的序列f(X)都以同一个集合中的某个元素f(X)为极限则D（E）为完备空间元素的极限仍然在此空间内可能的理解：空间内任何元素进行任何合法的运算，结果仍然在此空间内，不会因为运算而超出空间去，加、减、乘在定义中有，在此增加极限的运算26Banach space 完备的赋范（线性）空间称为Banach空间，简称B空间如果赋范线形空间X中的每一个序列都在X中收敛，则X是完备的27Hilbert space 完备的按内积赋范（线性）空间称为Hilbert空间，简称H空间28Square Lebesgue-int

7、egrable space 平方可积空间加权平方可积空间矢量平方可积空间29距离空间线性空间赋范空间内积空间完备空间Banach空间Banach空间Hilbert空间平方可积空间30AB定义域、空间值域、空间算子31Linear operators线性算子的定义32一般不满足交换率线性算子的性质33特征值问题确定性问题线性算子方程已知而 未知算子方程的求解任务就是算子求逆运算存在，则解存在且唯一连续，则解稳定34Symmetric operators正定算子正算子非负算子下有界算子对称算子对称算子下有界算子正算子正定算子35Self-adjoint operators设A是H空间的线性连续算子，若存在B使任意 都满足等式则B称为A的伴随算子A为A的伴随算子的伴随算子36伴随算子的性质37线性连续算子A满足即为自伴算子，为定义在整个H空间的线性连续对称算子自伴算子都能求逆，且逆算子也为自伴算子确定性自伴算子方程存在稳定的唯一解38自伴算子的性质39Lagran