2022年普通高等学校招生全国统一考试 文、理科数学之（北京卷）数学 word版+解析版

1、022年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学一、选择题1。已知全集，集合,则( ）B.C.D.2。若复数满足,则( ）.B.C。D3.若直线是圆的一条对称轴，则( ）A.。D。4.已知函数，则对任意实数，有（ ).B.D5。已知函数，则( ).在上单调递减B。在C。在上单调递减 D.在上单调递增6.设是公差不为的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时,的( ）未经许可 请勿转载A充分而不必有条件.必要而不充分条件C。充分必要条件D。既不充分也不必要条件7.在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奧作出了贡献.如图描述了一定条件下

2、二氧化碳所处的状态与和的关系， 其中表示温度， 单位是；表示压强,单位是。下列结论中正确的是（ )未经许可 请勿转载A。当，时，二氧化碳处于液态当,时，二氧化碳处于气态当,时，二氧化碳处于超临界状态。当,时，二氧化碳处于超临界状态。若,则( ）B.C。D.9.已知正三棱锥的六条棱长为，是及其内部的点构成的集合设集合，则表示的区域的面积为（ )未经许可 请勿转载。C。D.10在中，.为所在平面内的动点，且，则的取值范围是( ）A.。C。二、填空题11函数的定义域是 。已知双曲线的渐近线方程为，则 。1若函数的一个零点为,则_.1.设函数，若存在最小值，则的一个取值为 ，的最大值为 。未经许可 请

3、勿转载1已知数列的各项均为正数，其前项和满足.给出下列四个结论:的第项小于；为等比数列；为递减数列;中存在小于的项。其中所有正确结论的序号是 三、解答题16。在中,（1）求；（2)若，且的面积为，求的周长。1如图，在三棱柱中,侧面为正方形，平面平面，分别为,的中点。（1）求证：平面;()再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知,求直线与平面所成角的正弦值未经许可 请勿转载条件：；条件：.注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分18。在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛,比赛成绩达到以上（含)的同学将获得优秀奖。为预测获得优秀奖的人数及冠军得主,收集了甲、乙、丙以往的比赛成

4、绩,并整理得到如下数据（单位:)：未经许可 请勿转载假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立。（1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率;（）设是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计的数学期望；未经许可 请勿转载（3）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大?(结论不要求证明）未经许可 请勿转载19已知椭圆:的一个顶点为,焦距为.（1)求椭圆的方程；(2)过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点,，直线,分别与轴交于点，.当时，求的值.未经许可 请勿转载20.已知函数（)求曲线在点处的切线方程;（2）设，讨论函数在上的单调性;（）证明：对任意的

5、，,有。1。已知：,，为有穷整数数列给定正整数，若对任意的，在中存在，（)，使得,则称为连续可表数列。未经许可 请勿转载（1)判断:，是否为连续可表数列?是否为连续可表数列？说明理由；(2)若：，为连续可表数列，求证：的最小值为；（3)若:,，为连续可表数列，且，求证:.2022年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷)数学一、选择题1.已知全集，集合，则（ ）A.C.D.【答案：】D【解析】易得.若复数满足，则（ )A。B。C.D.【答案:】B【解析】条件可知,所以。3。若直线是圆的一条对称轴,则( ）。B.C.D【答案:】A【解析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心,圆心坐标，所以由解得。4。

6、已知函数,则对任意实数，有( )A。B.C。【答案：】C【解析】由,可得，所以得.5.已知函数，则( ）A。在上单调递减B.在。在上单调递减 D.在上单调递增【答案：】C【解析】,选项A中：,此时单调递增，选项B中:，此时先递增后递减，选项C中：，此时单调递减，选项中:,此时先递减后递增;所以选C.6。设是公差不为的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）未经许可 请勿转载充分而不必有条件B。必要而不充分条件C充分必要条件D。既不充分也不必要条件【答案:】【解析】充分性证明:若为递增数列，则有对,公差，取正整数(其中为不大于的最大正整数），则当时,只要，都有，必要性证明：

7、若存在正整数,当时，,对,都成立，且,，对，都有,即:为递增数列；所以“为递增数列”是“存在正整数,当时，”的充要条件,选C.未经许可 请勿转载7.在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奧作出了贡献。如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与和的关系,其中表示温度， 单位是；表示压强，单位是。下列结论中正确的是( ）未经许可 请勿转载A.当，时，二氧化碳处于液态B。当，时，二氧化碳处于气态C。当,时,二氧化碳处于超临界状态D.当，时，二氧化碳处于超临界状态【答案：】D【解析】A选项:,，由图易知处于固态；选项：，由图易知处于液态；C选项：，,由图

8、易知处于固态；选项：，,由图易知处于超临界状态;所以选D。若，则（ )B.CD。【答案:】B【解析】当时,；当时时，；得原式=9已知正三棱锥的六条棱长为，是及其内部的点构成的集合。设集合,则表示的区域的面积为（ ）未经许可 请勿转载A。B.C。D【答案：】B【解析】过点作底面射影点,则由题意，,当上存在一点使得，此时,则动点为半径，为圆心的圆里，所以面积为.未经许可 请勿转载10在中,.为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）A。B。CD。【答案：】D【解析】建立如图所示坐标系,由题易知,设，,，设，所以选D.方法二：，且其中，,选D。二、填空题1函数的定义域是 。【答案：】【解析】依题意

9、，解得。2已知双曲线的渐近线方程为，则 【答案：】【解析】双曲线的渐近线方程为，故13.若函数的一个零点为,则_。【答案:】【解析】,解得,故.1设函数,若存在最小值，则的一个取值为 ,的最大值为 。未经许可 请勿转载【答案:】（答案:不唯一），【解析】由题意知，函数最值于函数单调性相关,故可考虑以，为分界点研究函数的性质,当时，该段的值域为，故整个函数没有最小值；当时，,该段值域为,而的值域为,故此时的值域为,即存在最小值为，故第一个空可填写；当时，该段值域为,而的值域为,若存在最小值，则需满足,于是可得;当时，,该段的值域为，未经许可 请勿转载而的值域为，若存在最小值，则需满足，此不等式无

10、解。综上，的取值范围是，故的最大值为.未经许可 请勿转载5。已知数列的各项均为正数，其前项和满足.给出下列四个结论：的第项小于；为等比数列;为递减数列；中存在小于的项其中所有正确结论的序号是 。【答案：】【解析】，可得，又各项均为正，可得,令可得,可解得，故正确；当时，由得，于是可得，即，若为等比数列，则时,即从第二项起为常数，可检验则不成立,故错误;，可得,于是，所以,于是正确；对于,若所有项均大于等于，取，则，,于是与已知矛盾，所以正确.未经许可 请勿转载三、解答题16在中,.(1）求；（2）若，且的面积为,求的周长.【答案:】见解析【解析】(1)，(2)，,，由余弦定理得,所以的周长为1

11、7。如图，在三棱柱中，侧面为正方形,平面平面,，分别为,的中点。（1)求证：平面；(2)再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知,求直线与平面所成角的正弦值。未经许可 请勿转载条件：；条件：。注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分.【答案：】见解析【解析】(1）取中点，连接，在三棱柱中,，因为，分别为，,的中点，所以,，即且,所以四边形为平行四边形,因此又平面，平面，所以平面.（2)选条件：因为侧面为正方形,所以，又因为平面平面，且平面平面,所以平面，而平面，所以。由(1)得,又因为，所以，而,所以平面，在三棱柱中，,两两垂直，故分别以，,为轴，轴,轴，如图建立空间直角坐标系，未经

12、许可 请勿转载因为，则,，,所以，设平面的法向量,由，得，令,得.设直线与平面所成角为，设，所以直线与平面所成角的正弦值为.选条件(2）：取中点，连接，。因为，分别为,，的中点，所以,，而，故又因为,所以.在和中，公共边，那么，因此,即，故。在三棱柱中,，,两两垂直，故分别以,，为轴,轴，轴，如图建立空间直角坐标系，因为,则，,所以，,设平面的法向量，由,得，令，得，设直线与平面所成角为，则,所以直线与平面所成角的正弦值为.18.在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛,比赛成绩达到以上(含)的同学将获得优秀奖。为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得

13、到如下数据(单位：）：未经许可 请勿转载假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率;（2)设是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计的数学期望;未经许可 请勿转载（）在校运动会铅球比赛中,甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？(结论不要求证明)未经许可 请勿转载【答案：】见解析【解析】由题意得：设甲在校运会铅球比赛中获优秀奖为事件,比赛成绩达到以上获优秀奖，甲的比赛成绩达到以上的有：，,四个，所以，甲在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为.未经许可 请勿转载(2)设是甲、乙、丙在校运会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计的数学期

14、望：所有可能取值为，,，。未经许可 请勿转载甲在校运云铅球比赛中获优秀奖的概率为乙在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为事件,则.丙在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为事件，则.，.（)甲的平均数：,乙的平均数:，丙的平均数:，甲的方差：，乙的方差：，丙的方差：。9.已知椭圆：的一个顶点为，焦距为。（1）求椭圆的方程;(2）过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，,直线，分别与轴交于点，。当时，求的值。未经许可 请勿转载【答案：】见解析【解析】（）依题意可知：，解得,故椭圆的方程为：;（2）由题可设直线方程为:，联立直线和椭圆方程：,可得,由可得，解得,根据韦达定理可得：，直线的斜率为，的直线方程为

15、，令,可得点的横坐标，同理可得点的横坐标则有.代入韦达定理式子可得，化简可得:,即，可得，两边平方则有，解得。故的值为.20。已知函数。(1）求曲线在点处的切线方程;（2）设，讨论函数在上的单调性;(3）证明：对任意的，有.【答案：】见解析【解析】（1)由题，,故,因此，曲线在处的切线方程为。（)由（1）,，则，设,则,故在上递增，故，因此对任意恒成立，故在上单调递增：另解:，故,，因此，对任意恒成立，故在上单调递增;（）设，则，因此在上单调递增,因此,在上递增,故，因此,对任意的,，有.21已知：,，为有穷整数数列.给定正整数，若对任意的,在中存在，,（），使得，则称为连续可表数列。未经许可 请勿转载（1)判断:，是否为连续可表数列?是否为连续可表数列?说明理由；（2）若:，为连续可表数列，求证：的最小值为；(3)若:，,为连续可表数列,且,求证：【答案：】见解析【解析】(1)若，则对于任意,，,所以是连续可表数列：由不存在任意连续若干项之和相加为,所以不是连续可表数列;()反证法：设的值为，则，,最多能表示,，,共个数字，与为连续可表数列矛盾,故;未经许可 请勿转载现构造:，,可以表达出,，,，这个数字,即存在满足题意，故的最小值为;未经许可 请勿转载（3）以下先证