奇偶性-高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1、3.2.2 奇偶性 前面我们用符号语言精确地描述了函数图象在定义域的某个区间“上升”（或“下降”）的性质. 下面继续研究函数的其他性质.画出并观察函数 和 的图象（图3.2-6），你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？可以发现，这两个函数的图象都关于y轴对称. 的图象均为轴对称图形，y轴为其对称轴，这是偶函数的几何特征.图3.2-6类比函数单调性，你能用符号语言精确地描述“函数图象关于y轴对称”这一特征吗？不妨取自变量的一些特殊值，观察相应函数值的情况，如表3.2-1.可以发现，当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等.例如，对于函数 ，有探究实际上， 这时称函数 为偶函数.请你仿照这个

2、过程，说明函数 也是偶函数.偶函数的定义 一般地，设函数 f（x）的定义域为 I ，如果 那么函数 f（x）就叫做偶函数. 例如 ，函数 都是偶函数，它们的图象分别如图3.2-7（1）（2）所示.图3.2-7（1）偶函数的定义域必关于原点对称，即若 x 是定义域内的一个值，则 x 也一定在定义域内.（2）“函数 f（x）为偶函数”是“函数 f（x）图象关于y轴对称”的充要条件.（3）如果 f（x）为偶函数，点（x， f（x）)在其图象上，那么点（-x，f（-x），即点（-x，f（x）， 也在 f（x）的图象上.（4）定义中， 常见的变形有：偶函数的几点说明：观察函数 的图象（图3.2-8），你

3、能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？你能用符号语言精确的描述这一特征吗？ 可以发现，两个函数的图象都关于原点成中心对称图形. 为了用符号语言描述这一特征，不妨取自变量的一些特殊值，看相应函数值的情况，请完成表3.2-2.图3.2-8探究可以发现，当自变量 x 取一对相反数时，相应的函数值 f（x）也是一对相反数.探究例如，对于函数实际上， 这时称函数 为奇函数.请你仿照这个过程，说明函数 也是奇函数.奇函数的定义 一般地，设函数 f（x）的定义域为 I ，如果 那么函数 f（x）就叫做奇函数.（1）奇函数的定义域也必关于原点对称.（2）“函数 f（x）为奇函数”是“函数 f（x）图象关于原点

4、对称”的充要条件.（3）如果 f（x）为奇函数，点（x， f（x）)在其图象上，那么点（-x，f（-x），即点（-x，-f（x）， 也在 f（x）的图象上.（4）定义中， 常见的变形有：（5）注意：并不是所有的函数都具有奇偶性.奇函数的几点说明：奇函数与偶函数的异同点1、相同点：（1）定义域关于原点对称；（2）都是函数的整体性质；2、不同点：（1）当自变量取一对相反数时，偶函数的函数值相等，而奇函数的 函数值是一对相反数； （2）偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称.奇偶性与单调性的比较 奇偶性与单调性都是函数的重要性质，单调性是函数的局部性质，是研究函数值随自变量变化的趋势，而

5、奇偶性是函数的整体性质，是研究函数图像在整个定义域上的对称性.解：例6 判断下列函数的奇偶性： （1）函数 的定义域为R.所以，函数 为偶函数. （2）函数 的定义域为R.所以，函数 为奇函数. （3）函数 的定义域为 所以，函数 为奇函数. （4）函数 的定义域为 所以，函数 为偶函数.奇偶性是函数在它的定义域上的整体性质，所以判断函数的奇偶性，应先明确它的定义域.解：思考 （1）判断函数 的奇偶性.（2）图3.2-9是函数 图象的一部分，你能根据 f（x）的奇偶性画出它在y轴右边的图像吗？（3）一般地，如果知道 y=f（x）为偶（奇）函数，那么我们可以怎样简化对它的研究？ （1）利用定义判

6、断奇偶性. 函数 的定义域为R， 故 f（x）是奇函数;（2）由奇函数的图像关于原点对称可画出在 f（x）在 y 轴左边的图像.如图所示.练习已知 f(x) 是偶函数，g(x)是奇函数，是将下图补充完整.解：补充后的图象如图所示练习2. 判断下列函数的奇偶性.解： 为偶函数.常用结论：函数解析式为多项式时，奇偶性与奇次项和偶次项的系数有关.如， ，若 为奇函数，则a=c=e=0，若 为偶函数，则b=d=0 为偶函数.练习3. （1）从偶函数的定义出发，证明函数 y=f(x) 是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；（2）从奇函数的定义出发，证明函数 y=f(x) 是奇函数的充要条件是它的图象

7、关于原点对称.解：（1）充分性：若 y=f(x) 的图象关于y轴对称，设 为图象上任意一点，则M关于y轴的对称点 仍在该图象上，即 ，所以 y=f(x)为偶函数；必要性：若 y=f(x) 为偶函数，设 为 f（x）图象上任意一点，M关于y轴的对称点为 . 由于 f（x）为偶函数，所以 所以 在函数的图象上，所以 f（x）的图象关于 y 轴对称.练习3. （1）从偶函数的定义出发，证明函数 y=f(x) 是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；（2）从奇函数的定义出发，证明函数 y=f(x) 是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称.解：（2）充分性：若 y=f(x) 的图象关于原点对称，设 为图象上任意一点，则M关于原点的对称点 仍在该图象上，即 ，所以 y=f(x)为奇函数；必要性：若