概率统计b chap1lhy当部分实验信息已知时事件发生的

1、条件概率当部分实验信息已知件发生的概率？例10 掷两颗假设第一颗，每种结果是等可能出现的，为1/36.的点数是3，问两颗的点数之和为8的概率是多少？的点数之和为8”为事件A，“第解答. 设“两颗的点数是3”为事件B.一颗法二、法一、本质：概率空间发生变化了！2015/6/31.2条件概率1条件概率的定义当部分实验信息已知件发生的概率？定义 已知事件A,B. 若事件B发生，记事件A 发生的概率为P(A|B)，定义为P AB P B事件AB发生的概率相对于事件B发生的概率.P A| B 其中P B 0 . A P A | B 定理 定义PB，易验证PB满足概率公理.定义在新的样本空间上的事件B的概

2、率.定义 已知事件A,B,C. 若事件A发生，记事件B 发生的概率为 PA .又已知事件B发生，则事件C发生的概率C PA C | B PAB其中P AB 0 .2015/6/31.2条件概率 1.2.1 条件概率的定义2条件概率当部分实验信息已知件发生的概率？概率论中最重要的概念之一：当部分实验信息已知时，求概率条件概率！即使没有已知信息，利用条件概率也可以更方便地计算概率！乘法公式、全概率公式和Bayes公式例11 10件产品，其中6件正品，4件次品. 任取4件，求至少取到1件次品时，取到的次品不多于2件的概率.解答. 设“至少取到1件次品”为事件B，“取到的次品不多于2件”为事件A. 求

3、 P(A|B)？设Bi表示恰好取到 i 件次品，i =0, 1, 2, 3, 4.2015/6/31.2条件概率 1.2.1 条件概率的定义3乘法公式P AB P B P A | B P A1 A2An P A1 P A2 | A1 P An | A1An1 例12 学生J未决定选“与口才”还是“三大”.她估计选“与口才”得A的概率是1/2，选“三大宗教”得A的概率是2/3.J决定用掷硬币的办法来决定.问她在“三大”课程得A的概率是多少？”为事件B，“课程得A”为事解答. 设“J选三大件A.例13.解答.求P(AB)？一副牌(52张)连续抽3张都不是的概率？设Ai 表示第 i不是，i =1,2

4、,32015/6/31.2条件概率1.2.2 乘法公式4Monty Hall三门问题问题：有三扇门，其中一扇门后有大奖(汽车).幸运观众选好一扇门后，会随机地打开Monty Hall视电另一扇门. 显示其后没有奖. 问观众应该坚持原来的选择，还是改变原来的选择？.现在有三扇门，只有一扇门后有汽车，其余两扇门后都是.汽车事前是等可能地被放置于三扇门的其中一扇后面.参赛者在三扇门中挑选一扇。他在挑选前并不知道任意一扇门后面是什么.的门，知道每扇门后面如果参赛者挑了一扇有必须挑另一扇的门.有如果参赛者挑了一扇有汽车的门，等可能地在另的门中挑一扇门.外两扇有参赛者会被问是否保持他的原来选择，还是转而选

5、择剩下的那一扇门.转换选择可以增加参赛者拿到汽车的机会吗？坚持一种可能，得奖概率1/3转换两种可能，得奖概率2/3概率存在于被给予的条件下，概率不能寄托在实际的物体上.2015/6/31.3 全概率公式和Bayes定理5全概率公式设A,B是事件，且 0P(B)0成立. 则对任何事件A，有全概率公式的应用：计算P(B)：找到合适的分割！其与问题的实际背景有关。2015/6/31.3 全概率公式和Bayes定理7全概率公式(续)2015/6/31.3 全概率公式和Bayes定理8Bayes定理与因果推理似然性(likelihood)Thomas Bayes(1702-1761)先验(prior)概

6、率后验概率正比例于先验概率乘以似然性terior)概率后验(2015/6/31.3 全概率公式和Bayes定理9抽签原理例16 (赌牌)有三. 一张两面都是红的，一张两面都是黑的，一张是一面黑一面红. 随机取出一张，如果朝上的一面是红的，问是黑的的概率是多少？例17 (抽签原理)n个签中有m个有奖. 有放回的抽签：任的概率为m/n. 无放回的随机抽签，任一次的中一次奖概率也是m/n. 即抽奖与次序无关！解答. 对于无放回情形：Ak 表示事件“第 k 次法一. 数学归纳法.法二. 直接法.”.2015/6/31.3 全概率公式和Bayes定理10假阳性之谜疾病时对某种化验结果或试验结果分 (-)

7、. 阳性表示体内有某种病原体存医学里为阳性(+)和在或者对某种药物有过敏反应.例18 (假阳性之谜)设对于某种少见的疾病的检出率为 0.95(有病时检查结果为阳性的概率为0.95；无病时检查的概率是0.95). 现假定结果为群患这种病的概率为0.001，并从这个总体中随机地抽取一个人进行检 测，检测结果为阳性. 问这个人患这种病的概率有多大？a)0.05以下 b) 0.06-0.20c)0.21-0.94d)0.95(The Economist)1999年2月20的报著名的大医院中80%的受访者不知道这根据导，在一家类问题的正确是0.95!，而大部分人的罕见病的普查结果为阳性，则更可能是假阳性

8、！2015/6/31.3 全概率公式和Bayes定理11两个事件的独立性条件概率 P A | B 刻画了事件B的发生带给事件A的信息.感的特殊情况：没有带来新的信息，即P A | B P AP AB P A P B 称事件A与B是相互独立的如果P AB P A P B ，称事件A与B是相互独立的.若P B 0 ，则独立性等价于P A | B P A .2015/6/31.4 独立性12两个事件的独立性(续)如果P AB P A P B ，称事件A与B是相互独立的.若P B 0 ，则独立性等价于P A | B P A .例19 掷两枚硬币，假设四种结果等可能出现. H1 表示 “第一枚硬币正面”

9、，H2表示第二枚硬币正面朝上，D表示“两次的结果不相同”. 分析H1与H2 ， H1与D， H2与 D 的独立性.人们易于从直观判断独立性. 例如两个不同的并且没有相互作用的物理过程的控制下发生的两个事件.通常不能直观地从样本空间中的事件看出来独立性.若事件A与B互不相容，则事件A与B独立？必然事件与任何事件独立；不可能事件与任何事件独立.若A与B独立，则A与B 独立，A与 B 独立, A与B 独立.2015/6/31.4 独立性13多个事件的独立例19(续) 掷两枚硬币，假设四种结果等可能出现. H1 表示“第一枚硬币正面”，H2表示第二枚硬币正面朝上， D表示“两次的结果不相同”. 分析H

10、1H2与D 的独立性.如果 P AB P A P B , P AC P A P C ,P BC P B P C , P ABC P A P B P C 则称事件A，B，C是相互独立的.设 A1,L , An 为n个事件. 若它们满足P 1,., n,iSiS则 A1,L , An 是相互独立的事件.事件A1 ,L , An2015/6/3两两独立不蕴含它们是相互独立的事件.1.4 独立性14事件独立时的性质若事件A1 ,L , An相互独立，则或 Ai，i 1,L n .(1) 事件 B1 ,L , Bn 相互独立，其中Bi 为Ai(2) 将这n个事件任意分成两组后所得到的两个乘积事件也是独立的.例20 (三个臭皮匠顶个)三个人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为0.5, 0.6, 0.8，求至少有破译出来的概率.一个人能将2015/6/31.4 独立性1.4.2 一组事件的独立15系统的可靠性由若干元件组成的系统的可靠度由元件的可靠性和系统的结构(网络)共同决定的.基本假定：所有元件是相互独立的，且能正常工作pi ,1,., n .的概率为串联系统可靠度：p1 .pn .并联系统可靠度：1-(1-p1 ).(1-