2020版高考数学大一轮复习课件-第五章-(打包3套)理新人教A版

1、2020版高考数学大一轮复习课件-第五章-(打包3套)理新人教A版2020版高考数学大一轮复习课件-第五章-(打包3套)理新2020版高考数学大一轮复习课件-第五章-(打包3套)理新人教A版【知识梳理】1.向量的有关概念定义既有_又有_的量表示方法(1)用字母表示a,b,c(2)用有向线段表示 ,记作 模向量的大小大小方向【知识梳理】定义既有_又有_的量表示(1)用2.必记概念(1)零向量:长度为_的向量,方向任意.(2)单位向量:长度为_的向量.(3)相等向量:方向_,长度_的向量.(4)相反向量:方向_,长度_的向量.(5)共线(平行)向量:方向_或方向_的非零向量.01相同相等相反相等相

2、同相反2.必记概念01相同相等相反相等相同相反3.向量的线性运算加法减法数乘定义求两个向量和的运算a+(-b)=a-b实数与向量a的积是一个_,记作a向量3.向量的线性运算加法减法数乘定义求两个向量和的运算a+(-加法减法数乘法则(或几何意义) (1)模:|a|=|a|(2)方向:当0时,a与a方向_;当|b|题组二:走进教材【解析】选A.依题意得(a+b)2-(a-b)2=0,即4ab=0,所以ab.【解析】选A.依题意得(a+b)2-(a-b)2=0,即4a2.(必修4P119T1(2)改编)已知正方形ABCD的边长为1, =a, =b, =c,则|a+b+c|等于()A.0B.3C. D

3、.2 2.(必修4P119T1(2)改编)已知正方形ABCD的边长【解析】选D.在正方形ABCD中,a+b+c= 所以|a+b+c|=2| |=2 .【解析】选D.在正方形ABCD中,a+b+c= 考点一平面向量的基本概念【题组练透】1.下面说法正确的是()A.平面内的单位向量是唯一的B.所有单位向量的终点的集合为一个单位圆考点一平面向量的基本概念C.所有的单位向量都是共线的D.所有单位向量的模相等C.所有的单位向量都是共线的【解析】选D.因为平面内的单位向量有无数个,所以选项A错误;当单位向量的起点不同时,其终点就不一定在同一个圆上,所以选项B错误;当两个单位向量的方向不相同也不相反时,这两

4、个向量就不共线,所以选项C错误;因为单位向量的模都等于1,所以选项D正确.【解析】选D.因为平面内的单位向量有无数个,所以选项A错误;2.给出下列命题:零向量是唯一没有方向的向量;零向量的长度等于0;若a,b都为非零向量,则使 =0成立的条件是a与b反向共线.2.给出下列命题:其中错误的命题的个数为()A.0B.1C.2D.3其中错误的命题的个数为()【解析】选B.错误,零向量是有方向的,其方向是任意的;正确,由零向量的定义可知,零向量的长度为0;正确,因为 与 都是单位向量,所以只有当 与 是相反向量,即a与b反向共线时才成立.【解析】选B.错误,零向量是有方向的,其方向是任3.设a是非零向

5、量,是非零实数,下列结论正确的是()A.a与-a的方向相反B.|-a|a|C.a与2a的方向相同D.|-a|=|a3.设a是非零向量,是非零实数,下列结论正确的是【解析】选C.当0时,a与-a的方向相同,所以选项A错误;当|0,因此a与2a的方向相同,所以选项C正确;又因为|-a|是一个实数,|a是一个向量,所以选项D错误.【解析】选C.当|b|,则ab;两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件.其中错误命题的序号为_.5.下列与共线向量有关的命题:【解析】因为相反向量是方向相反,大小相等的两个向量,所以命题是错误的;因为向量是既有大小又有方向的量,所以任何两个向量都不能比较大小,所以命题

6、是错误的;因为两个向量平行不能推出两个向量相等,而两个向量相等,则这两个向量平行,因此两个向量平【解析】因为相反向量是方向相反,大小相等的两个向行是这两个向量相等的必要不充分条件,所以命题是正确的.答案:行是这两个向量相等的必要不充分条件,所以命题是正确的.6.下列四个命题:若|a|=0,则a=0;若|a|=|b|,则a=b或a=-b;若ab,则a与b同向或反向;若a=0,则-a=0.其中正确命题的序号为_.6.下列四个命题:【解析】若|a|=0,则a=0,故错误;|a|=|b|只说明a与b的模相等,它们的方向不能确定,故错误;若ab且a,b为非零向量时,a与b的方向相同或相反,当其中一个向量

7、为零向量时,另一个向量的方向任意,故错误;正确.答案:【解析】若|a|=0,则a=0,故错误;|a|=|b|只说【规律方法】解答向量概念型题目的要点(1)准确理解向量的有关知识,应重点把握两个要点:大小和方向.(2)向量线性运算的结果仍是向量,准确运用定义和运算律仍需从大小和方向角度去理解.【规律方法】解答向量概念型题目的要点【特别提醒】(1)两个向量不能比较大小,只可以判断它们是否相等,但它们的模可以比较大小.(2)大小与方向是向量的两个要素,分别是向量的代数特征与几何特征.(3)向量可以自由平移,任意一组平行向量都可以移到同一直线上.【特别提醒】(1)两个向量不能比较大小,只可以判断它们是

8、否相【拓展】三角形四心的向量表示在三角形ABC中,点O为平面内一点,若满足:1. =0,则点O为三角形的重心.2 则点O为三角形的外心.【拓展】三角形四心的向量表示3. 则点O为三角形的垂心.4. =0,则点O为三角形的内心.3. 则点O为三角形考点二平面向量的线性运算【典例】(1)下列四个结论: =0; =0; =0;考点二平面向量的线性运算 =0.其中一定正确的结论个数是()A.1B.2C.3D.4 =0.【解析】选C. =0,正确; 错; =0,正确; =0,正确.故正确.【解析】选C. =0,(2)在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点

9、F.若 =a, =b,则= ()A. a+ bB. a+ bC. a+ bD. a+ b(2)在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段O【解析】选B.如图,因为E是线段OD的中点,所以由平行四边形的性质得 所以 a+ b.【解析】选B.如图,因为E是线段OD的中点,所以由平行【一题多解微课】本例题(2)还可以采用以下方法求解:待定系数法:选B.由题意易知 设 因为所以 于是:【一题多解微课】本例题(2)还可以采用以下方法求解:所以 = a+ b.所以 = a+ b.三点共线法:选B.因为D,F,C三点共线,所以存在实数,使 又因为E是OD的中点,所以 因为A,E,F三点共线,所以存

10、在R,使所以 三点共线法:选B.因为D,F,C三点共线,所以存在实数,使所以 = a+ b.所以【规律方法】1.平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况:可直接运用相应运算法则求解.(2)含图形的情况:将它们转化到三角形或平行四边形中,充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质,把未知向量用已知向量表示出来求解.【规律方法】2.三种运算法则的关注点(1)加法的三角形法则要求“首尾相接”,平行四边形法则要求“起点相同”.(2)减法的三角形法则要求“起点相同”且差向量指向“被减向量”.2.三种运算法则的关注点(3)数乘运算的结果仍是一个向量,运算过程可类比实数运算.(3)数乘运算的结果仍是

11、一个向量,运算过程可类比实数运算.【对点训练】1.如图,在正方形ABCD中,点E是DC的中点,点F是BC的一个三等分点,那么 等于()【对点训练】2020版高考数学大一轮复习课件-第五章-(打包3套)理新人教A版【解析】选D.根据向量加法、减法的三角形法则可知【解析】选D.根据向量加法、减法的三角形法则可知2.(2018全国卷I)在ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则 =()2.(2018全国卷I)在ABC中,AD为BC边上的中线【解析】选A.如图所示【解析】选A.如图所示3.若 =a, =b,a与b不共线,则AOB平分线上的向量 为 ()3.若 =a, =b,a与b不共线,则A

12、OB平分【解析】选D.以OM为对角线,以 , 方向为邻边作平行四边形OCMD,因为OM平分AOB,所以平行四边形OCMD是菱形.设OC=OD=,则 所以 且由 确定.【解析】选D.以OM为对角线,以 , 方向为邻边作考点三共线向量定理及其应用【明考点知考法】 向量共线作为考查向量线性运算知识的载体,是高考命题的热点,试题常以选择题、填空题的形式出现,考查向量共线的判断、证明诸点共线以及向量共线求参数等问题.解题过程中常常渗透数学运算的核心素养.考点三共线向量定理及其应用命题角度1判断向量共线【典例】已知P是ABC所在平面内的一点,若 + 其中R,则点P一定在()A.ABC的内部B.AC边所在直

13、线上C.AB边所在直线上D.BC边所在直线上命题角度1判断向量共线【解析】选B.由 + 得 则 为共线向量,又 有一个公共点P,所以C,P,A三点共线,即点P在直线AC上.【解析】选B.由 + 得 【状元笔记】证明向量共线的方法:应用向量共线定理.对于向量a,b(b0),若存在实数,使得a=b,则a与b共线.【状元笔记】命题角度2用共线向量定理解决三点共线问题【典例】已知向量a,b,且 =a+2b, =-5a+6b, =7a-2b,则一定共线的三点是 ()A.A,B,DB.A,B,CC.B,C,DD.A,C,D命题角度2用共线向量定理解决三点共线问题【解析】选A. =3a+6b=3 .因为 与

14、 有公共点A,所以A,B,D三点共线.【解析】选A. =3a+6b=3【状元笔记】证明A,B,C三点共线的方法:若存在实数,使得 = 则A,B,C三点共线.【状元笔记】命题角度3解决含参数的共线综合问题【典例】已知点M是ABC所在平面内的一点,若点M满足 =0且SABC=3SABM,则实数=_. 命题角度3解决含参数的共线综合问题【解析】如图,设D为BC的中点,则因为 =0,所以 =0,所以于是A,M,D三点共线,且【解析】如图,设D为BC的中点,又SABC=3SABM,所以 又因为SABD= SABC且 所以 解得=3.答案:3又SABC=3SABM,所以 【状元笔记】解决含参数的共线问题的

15、方法:经常用到平面几何的性质,构造含有参数的方程或方程组,解方程或方程组得到参数值.【状元笔记】【对点练找规律】1.已知向量a与b不共线, =a+mb, =na+b(m,nR),则 与 共线的条件是()A.m+n=0B.m-n=0C.mn+1=0D.mn-1=0【对点练找规律】【解析】选D.由 =a+m b, =n a+b(m,nR)共线,得a+m b=(n a+b),即 所以mn-1=0.【解析】选D.由 =a+m b, =n a+b(m,2.在ABC中,已知D是AB边上一点,若 则等于()2.在ABC中,已知D是AB边上一点,若 【解析】选A.因为所以2 又因为 所以【解析】选A.因为所以

16、所以3.如图所示,在ABC中,D,F分别是BC,AC的中点, =a, =b.3.如图所示,在ABC中,D,F分别是BC,AC的中点, (1)用a,b表示向量(2)求证:B,E,F三点共线.(1)用a,b表示向量【解析】(1)延长AD到G,使 连接BG,CG,得到ABGC,所以 =a+b,【解析】(1)延长AD到G,使 连接BG,C= (a+b)-a= (b-2a), b-a= (b-2a).= (a+b)-a= (b-2a(2)由(1)可知 因为有公共点B,所以B,E,F三点共线.(2)由(1)可知 因为有公共点B,巧用结论系列2向量共线性质的巧用【结论诠释】已知 (,为常数),则A,B,C三

17、点共线的充要条件为+=1.巧用结论系列2向量共线性质的巧用【典例】(2018扬州模拟)在ABC中,N是AC边上一点且 P是BN上一点,若 则实数m的值是_.【典例】(2018扬州模拟)在ABC中,N是AC边上一点【解析】如图,因为 P是BN上一点.所以 因为B,P,N三点共线,所以m+ =1,则m= .【解析】如图,因为 P是BN上一点.所以 答案: 答案: 【技法点拨】利用向量共线的性质求参数的步骤一是确定选择哪三点共线,选择直线外的一点;二是将直线外一点与这三点构成的三个向量,用其中两个向量来表示另外一个向量;三是借助向量共线的性质求出参数值.【技法点拨】利用向量共线的性质求参数的步骤【即

18、时训练】(2019淮北模拟)如图,在RtABC中,P是斜边BC上一点,且满足: 点M,N在过点P的直线上,若 (,0),则+2的最小值为()【即时训练】A.2B. C.3D. A.2B. C.3D. 【解析】选B.若 (,0), M,P,N三点共线,所以存在实数k,使 所以【解析】选B.若 (,由得,k= 代入得, =1-;所以= 所以+2=+ 设f()=+ 0;由得,k= 代入得, =1-;所以f()= 令f()=0得,=0(舍去)或 ;所以 时,f()0;所以= 时,f()取极小值,也是最小值;所以f()的最小值为 ,即+2的最小值为 .所以f()= 令f()=0得,第二节平面向量的基本定

19、理及向量坐标运算(全国卷5年2考)第二节2020版高考数学大一轮复习课件-第五章-(打包3套)理新人教A版【知识梳理】1.平面向量基本定理(1)定理:如果e1,e2是同一平面内的两个_向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数1,2,使a=_.不共线1e1+2e2【知识梳理】不共线1e1+2e2(2)基底:_的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.不共线(2)基底:_的向量e1,e2叫做表示这一平面内2.平面向量的坐标表示(1)在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底,对于平面内的一个向量a,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x,

20、y,使得a=xi+yj,这样,平面内的任一向量a都可由_唯一确定,x,y2.平面向量的坐标表示x,y因此把有序数对_叫做向量a的坐标,记作a=(x,y),其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标. (2)若A(x1,y1),B(x2,y2),则 =_.(x,y)(x2-x1,y2-y1)因此把有序数对_叫做向量a的坐标,记作a=(x,y3.平面向量的坐标运算(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=(x1x2,y1y2).(2)若a=(x,y),则a=_.(3)设A(x1,y1),B(x2,y2),则| |=_.(x,y)3.平面向量的坐标运算(x,y)4.平面向量共线

21、的坐标表示向量共线的充要条件的坐标表示若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab_.x1y2-x2y1=04.平面向量共线的坐标表示x1y2-x2y1=0【常用结论】1.向量共线的充要条件有两种:aba=b(b0).a=(x1,y1),b=(x2,y2),则abx1y2-x2y1=0.2.两向量相等的充要条件:它们的对应坐标相等.【常用结论】3.注意向量坐标与点的坐标的区别:(1)向量与坐标之间是用等号连接.(2)点的坐标,是在表示点的字母后直接加坐标.(3) 是用B点的横纵坐标减去A点的横纵坐标,既有方向的信息也有大小的信息,其向量位置不确定.(4)点的坐标含有横坐标和纵坐标,点是唯一

22、的.3.注意向量坐标与点的坐标的区别:【基础自测】题组一:走出误区1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”)(1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底. ()【基础自测】(2)同一向量在不同的基底下的表示是相同的.()(3)在ABC中,设 =a, =b,则a与b的夹角为ABC.()(4)若a,b不共线,且1a+1b=2a+2b,则1=2,1=2.()(2)同一向量在不同的基底下的表示是相同的.()【解析】(1).因为一组不共线的向量可以作为一组基底,所以平面内的任意两个向量都可以作为一组基底错误.(2).由平面向量基本定理可知,平面内的任意向量都可以由一组基向量唯一线性表示,而同一向量在不同

23、的基底下的表示是不同的.【解析】(1).因为一组不共线的向量可以作为一组基底,所以(3).由向量夹角的定义可知:a与b的夹角为ABC的补角.(4).因为1a+1b=2a+2b,所以(1-2)a=(2-1)b,当1-20时,a= b,所以a与b共线,与已知a,b不共线矛盾.(3).由向量夹角的定义可知:a与b的夹角为ABC的2.若 =(1,2), =(3,4),则 =()A.(2,2)B.(-2,-2)C.(4,6)D.(-4,-6)2.若 =(1,2), =(3,4),则 【解析】选C.向量加法法则可知: = + =(1,2)+(3,4)=(4,6).【解析】选C.向量加法法则可知: = +

24、3.在ABC中,已知M是BC的中点,设 =a, =b,则 =_.3.在ABC中,已知M是BC的中点,设 =a, 【解析】在ABC中,因为M是BC的中点,由向量加法的平行四边形法则可知: 答案:- 【解析】在ABC中,因为M是BC的中点,由向量加法的题组二:走进教材1.(必修4P101A组T5改编)已知向量a=(4,2),b=(x,3),且ab,则x的值是()A.-6B.6C.9D.12【解析】选B.因为ab,所以43-2x=0,所以x=6.题组二:走进教材2.(必修4P101A组T2改编)已知三个力F1=(-2,-1),F2=(-3,2),F3=(4,-3)同时作用于某物体上一点,为使物体保持

25、平衡,现加上一个力F4,则F4等于()A.(-1,-2)B.(1,-2)C.(-1,2)D.(1,2)2.(必修4P101A组T2改编)已知三个力F1=(-2,-【解析】选D.根据力的平衡原理有F1+F2+F3+F4=0,所以F4=-(F1+F2+F3)=(1,2).【解析】选D.根据力的平衡原理有F1+F2+F3+F4=0,3.(必修4P102 T3改编)设e1,e2是不共线的两个向量,且1 e1+2 e2=0,则1+2 =_.【解析】因为e1,e2是不共线的两个向量,且1 e1+2 e2=0,所以1 =2 =0,所以1+2 =0.答案:03.(必修4P102 T3改编)设e1,e2是不共线

26、的两个向考点一平面向量的坐标运算【题组练透】1.已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),则向量 a- b=() 考点一平面向量的坐标运算A.(-2,-1)B.(-2,1)C.(-1,0)D.(-1,2)A.(-2,-1)B.(-2,1)【解析】选D.因为a=(1,1),b=(1,-1),所以 a- b= (1,1)- (1,-1)= =(-1,2).【解析】选D.因为a=(1,1),b=(1,-1),所以 2.(2015全国卷)已知点A(0,1),B(3,2),向量 =(-4,-3),则向量 =()A.(-7,-4)B.(7,4)C.(-1,4)D.(1,4)2.(2015全国卷)已知点

27、A(0,1),B(3,2),【解析】选A. =(3,1), =(-4,-3), = - =(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).【解析】选A. =(3,1), =(-4,-3), 3.已知ABC的三个顶点A,B,C的坐标分别为(0,1),( ,0),(0,-2),O为坐标原点,动点P满足| |=1,则| |的最小值是()A. -1B. -1C. +1D. +13.已知ABC的三个顶点A,B,C的坐标分别为(0,1),【解析】选A.设P(cos ,-2+sin ),则 【解析】选A.设P(cos ,-2+sin ),则 4.已知A(1,0),B(4,0),C(3,4),O为坐标原点,且 =

28、 ,则| |等于_.4.已知A(1,0),B(4,0),C(3,4),O为坐标原【解析】由 = = ,知点D是线段AC的中点,故D(2,2),所以 =(-2,2),故| |= 答案:2 【解析】由 = = 5.已知正ABC的边长为2 ,平面ABC内的动点P,M满足| |=1, 则| |2的最大值是_.5.已知正ABC的边长为2 ,平面ABC内的动点P,M【解析】建立平面直角坐标系如图所示,则B(- ,0),C( ,0),A(0,3),则点P的轨迹方程为x2+(y-3)2=1.设P(x,y),M(x0,y0),则x=2x0- ,y=2y0,代入圆的方程得 所以点M的轨迹方程为 【解析】建立平面直

29、角坐标系如图所示,它表示以 为圆心,以 为半径的圆,所以 所以 = 答案: 它表示以 为圆心,以 为半径的圆,所以 【规律方法】向量坐标运算的注意事项(1)向量坐标与点的坐标形式相似,实质不同.(2)向量坐标形式的线性运算类似于多项式的运算.(3)向量平行与垂直的坐标表达形式易混淆,需清楚结论推导过程与结果,加以区分.【规律方法】向量坐标运算的注意事项考点二平面向量基本定理及其应用【典例】(1)如图所示,矩形ABCD的对角线相交于点O,E为AO的中点,若 (,为实数),则2+2= ()考点二平面向量基本定理及其应用A. B. C.1D. A. B. C.1D. 【解析】选A. 所以= ,=-

30、,故2+2= .【解析】选A. (2)在ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且 若 =a, =b,则 =()A. a+ bB. a- bC.- a- bD.- a+ b(2)在ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且 【解析】选C.【解析】选C.【一题多解微课】解决本题还可以采用以下方法: 选C.不妨设BAC=90,取直角坐标系xOy,设A(0,0),B(1,0),C(0,1),则a=(1,0),b=(0,1)，【一题多解微课】由 易知故 = 所以 =- a- b由 易知【规律方法】应用平面向量基本定理解题的一般策略(1)根据题意选准基底或建立直角坐标系.(2)结合平面几何知识,运用平面

31、向量的线性运算,用基底或坐标表示所求向量.【规律方法】应用平面向量基本定理解题的一般策略【对点训练】1.已知在ABC中,点O满足 =0,点P是OC上异于端点的任意一点,且 则m+n的取值范围是_.【对点训练】【解析】依题意,设 (01),由 =0知所以 由平面向量基本定理可知,m+n=-2,所以m+n(-2,0).答案:(-2,0)【解析】依题意,设 (01),2.在平行四边形ABCD中,E和F分别是CD和BC的中点.若 其中,R,则+=_.2.在平行四边形ABCD中,E和F分别是CD和BC的中点.若【解析】 选择 作为平面向量的一组基底,则又 于是得【解析】 选择 作为平面向量的一组基底,答

32、案:答案:考点三共线向量的坐标表示及其应用【明考点知考法】 向量共线的坐标表示,将向量共线问题运算简单化,因其运用广泛成为高考命题的热点,试题常以选择题、填空题的形式出现,考查利用共线求参数值,以及共线与其他知识的综合应用.考点三共线向量的坐标表示及其应用命题角度1利用向量共线求参数问题 【典例】已知向量a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-1,2),若(a+b)c,则m=_.命题角度1利用向量共线求参数问题 【解析】因为a=(2,-1),b=(-1,m),所以a+b=(1,m-1).因为(a+b)c,c=(-1,2),所以2-(-1)(m-1)=0.所以m=-1.答案:-1【解析】因为

33、a=(2,-1),b=(-1,m),所以a+b=【状元笔记】已知向量共线求参数的方法:利用向量共线的充要条件得出关于参数的方程,解方程即可求出参数值.【状元笔记】命题角度2解决含参数的共线综合问题【典例】已知向量a=(3,-2),b=(x,y-1),且ab,若x,y均为正数,则 的最小值是() A.24B.8C. D. 命题角度2解决含参数的共线综合问题【解析】选B.因为ab,所以-2x-3(y-1)=0,化简得2x+3y=3,又因为x,y均为正数,所以 = (2x+3y) 当且仅当 时,等号成立.【解析】选B.因为ab,所以-2x-3(y-1)=0,化简所以 的最小值是8.所以 的最小值是8

34、.【状元笔记】与共线向量的综合问题,其关键点是如何利用共线的条件.【状元笔记】【对点练找规律】1.(2018全国卷)已知向量a= b= c= 若c 则=_.【对点练找规律】【解析】因为2a+b=(4,2),c=(1,),且c(2a+b),所以4=21,解得= .答案: 【解析】因为2a+b=(4,2),c=(1,),且c(22.已知向量 =(1,-3), =(2,-1), =(k+1,k-2),若A,B,C三点能构成三角形,则实数k应满足的条件是_.2.已知向量 =(1,-3), =(2,-1), 【解析】若点A,B,C能构成三角形,则向量 不共线.因为 =(2,-1)-(1,-3)=(1,2

35、), =(k+1,k-2)-(1,-3)=(k,k+1),所以1(k+1)-2k0,解得k1.答案:k1【解析】若点A,B,C能构成三角形,则向量 不共3.设向量a=(1,2),b=(2,3),若向量a+b与向量c=(-4,-7)共线,则=_.3.设向量a=(1,2),b=(2,3),若向量a+b与向【解析】因为a=(1,2),b=(2,3),所以a+b=(,2)+(2,3)=(+2,2+3).因为向量a+b与向量c=(-4,-7)共线,所以-7(+2)+4(2+3)=0.所以=2.答案:2【解析】因为a=(1,2),b=(2,3),所以a+b=(思想方法系列9向量中的数形结合思想【思想诠释】

36、数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来,通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合,可以使复杂问题简单化,抽象问题具体化,从而思想方法系列9向量中的数形结合思想起到优化解题途径的目的.向量中的数形结合思想应关注以下几点:(1)向量的几何表示关注方向.(2)向量运算中的三角形、平行四边形法则使向量具备形的特征.(3)向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征.起到优化解题途径的目的.【典例】给定两个长度为1的平面向量 和 它们的夹角为 如图所示,点C在以O为圆心的 上运动.若 其中x,yR,求x+y的最大值.【典例】给定两个长度为1的平面向量 和

37、它们2020版高考数学大一轮复习课件-第五章-(打包3套)理新人教A版【解析】以O为坐标原点, 所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,如图所示,则A(1,0),B 设AOC= 则C(cos ,sin ),【解析】以O为坐标原点, 所在的直线所以x=cos + sin ,y= sin ,所以x+y=cos + sin =2sin 又 所以当= 时,x+y取得最大值2.所以x=cos + sin ,y= sin 【技法点拨】向量中的数形结合思想必须理清的四个问题:一是向量运算的平行四边形法则、三角形法则;二是向量模的几何意义;三是向量的方向;四是题目中涉及图形有哪些性质.【技法点拨】向量中的数形结合

38、思想必须理清的四个问题:【即时训练】如图,在梯形ABCD中,ADBC,且AD= BC,E,F分别为线段AD与BC的中点.设 =a, =b,试用a,b表示向量【即时训练】【解析】【解析】第三节平面向量的数量积及应用举例(全国卷5年6考)第三节2020版高考数学大一轮复习课件-第五章-(打包3套)理新人教A版【知识梳理】1.向量的夹角(1)定义:已知两个非零向量a和b,作 则_=叫做向量a与b的夹角.AOB 【知识梳理】AOB (2)范围:向量夹角的范围是_.当a与b_时,=0;a与b_时,=180;a与b_时,=90.0180同向反向垂直(2)范围:向量夹角的范围是_2.平面向量的数量积定义已知

39、两个非零向量a与b,是a与b的夹角,则_叫做a与b的数量积,记作ab.几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积|a|b|cos 2.平面向量的数量积定义已知两个非零向量a与b,是a与b的3.平面向量数量积的运算律(1)ab=ba.(2)(a)b=(ab).(3)(a+b)c=ac+bc.3.平面向量数量积的运算律4.平面向量数量积的有关结论已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),=结论几何表示坐标表示向量的模|a|= |a|=_ 夹角余弦cos = cos = 4.平面向量数量积的有关结论结论几何表示坐标表示向量的模|a结论几何表示坐标表示ab

40、充要条件ab=_=0|ab|与|a|b|的关系|ab|a|b|x1x2+y1y2| 0 x1x2+y1y2结论几何表示坐标表示ab充ab=_=0【常用结论】(1)两向量a与b为锐角ab0且a与b不共线.(2)两向量a与b为钝角ab0,则a与b的夹角为锐角;ab0,则a与b的夹角为锐角;ab0,则a与b的夹角为锐角或零角;ab0,则a与b的夹角为锐角或零角;ab2.在ABC中,若 则 的值为 ()2.在ABC中,若 【解析】选A.设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,由 得ac +2bc =ab ,化简可得a= c.由正弦定理得 【解析】选A.设ABC的内角A,B,C所对的边分别为3

41、.设向量a=(log23,m),b=(log34,-1),且ab,则m的值为_.【解析】由题设log23log34-m=0,则m=log23log34= =2.答案:23.设向量a=(log23,m),b=(log34,-1),题组二:走进教材1.(必修4P108A组T2改编)在ABC中,AB=3,AC=2,BC= ,则 的值为()题组二:走进教材【解析】选A.在ABC中,由余弦定理得cos A= 所以 =| | |cos(-A)=-| | |cos A=-32 =- .【解析】选A.在ABC中,由余弦定理得cos A= 2.(必修4P108A组T7改编)已知两个非零向量a,b,满足a(a-b

42、)=0,且2|a|=|b|,则=()A.30B.60C.120D.1502.(必修4P108A组T7改编)已知两个非零向量a,b,满【解析】选B.由题知a2=ab,而cos= 所以=60.【解析】选B.由题知a2=ab,而cos= 考点一平面向量数量积的基本概念及运算【题组练透】1.(2018全国卷)已知向量a,b满足|a|=1,ab=-1,则a(2a-b)=()A.4B.3C.2D.0考点一平面向量数量积的基本概念及运算【解析】选B.因为|a|=1,ab=-1,所以a(2a-b)=2a2-ab=21-(-1)=3.【解析】选B.因为|a|=1,ab=-1,所以a(2a-2.设单位向量e1,e

43、2的夹角为 ,a=e1+2e2,b=-3e2,则a在b方向上的投影为()2.设单位向量e1,e2的夹角为 ,a=e1+2e2,b【解析】选B.由题意可得:e1e2=11cos =- ,ab=(e1+2e2)(-3e2)=-3e1e2-6 =- ,|a|= ,|b|=3,据此可得:a在b方向上的投影为 【解析】选B.由题意可得:e1e2=11cos =3.已知A(-2,0),B(2,0),动点P(x,y)满足 =x2,则动点P的轨迹为()A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.两条平行直线3.已知A(-2,0),B(2,0),动点P(x,y)满足 【解析】选D.因为动点P(x,y)满足 =x2,所以(-

44、2-x,-y)(2-x,-y)=x2,所以点P的轨迹方程为y2=4,即y=2,所以动点P的轨迹为两条平行的直线.【解析】选D.因为动点P(x,y)满足 =x2,4.已知点M(1,0),A,B是椭圆 +y2=1上的动点,且 =0,则 的取值范围是()A. B.1,9C. D. 4.已知点M(1,0),A,B是椭圆 +y2=1上的动点【解析】选C.由 =0,可得 = ( - )=| |2,设A(2cos ,sin ),则| |2=(2cos -1)2+sin2=3cos2-4cos +2=3 + ,所以当cos = 时,| |2取得最小值 ,当cos =-1时,| |2取得最大值9,故 的取值范围

45、为 .【解析】选C.由 =0,可得 = 5.(2017全国卷)已知平面向量a与b的夹角为60, =2,|b|=1,则|a+2b|=()A. B.2 C.4D.125.(2017全国卷)已知平面向量a与b的夹角为60,【解析】选B.由题得,|a+2b|2=a2+4ab+4b2=4+421cos 60+4=12.所以|a+2b|=2 .【解析】选B.由题得,|a+2b|2=a2+4ab+4b2【一题多解】选B.利用如下图形,可以判断出a+2b的模长是以2为边长的菱形对角线的长度,则为2 .【一题多解】选B.利用如下图形,可以判断出a+2b的模6.已知两个单位向量a,b的夹角为60,c=ta+(1-

46、t)b.若bc=0,则t=_.【解析】由题意,将bc=ta+(1-t)bb整理得tab+(1-t)b2=0,又因为ab= ,所以t=2.答案:26.已知两个单位向量a,b的夹角为60,c=ta+(1-t【规律方法】平面向量数量积的计算方法已知向量a,b的模及夹角,利用公式ab=|a|b|cos 求解;已知向量a,b的坐标,利用数量积的坐标形式求解.对于向量数量积与线性运算的综合运算问题,可先利用数量积的运算律化简,再进行运算.【规律方法】平面向量数量积的计算方法考点二向量的数量积在平面几何中的应用【典例】(1)在ABC中,A=60,AB=3,AC=2.若 =2 , = (R),且 =-4,则的

47、值为_.考点二向量的数量积在平面几何中的应用【解析】 =32cos 60=3, = 则 = 3+ 4- 9- 3=-4= .答案: 【解析】 =32cos 60=3, =(2)已知O,N,P在ABC所在平面内,且| |=| |=| |, =0,且 ,则点O,N,P依次是ABC的 ()A.重心外心垂心B.重心外心内心C.外心重心垂心D.外心重心内心(注:三角形的三条高线交于一点,此点为三角形的垂心)(2)已知O,N,P在ABC所在平面内,且| |=| 【解析】选C.由| |=| |=| |知,O为ABC的外心;由 =0知,N为ABC的重心;因为 ,所以( ) =0,所以 =0,所以 ,即CAPB

48、,同理APBC,CPAB,所以P为ABC的垂心.【解析】选C.由| |=| |=| |知,O为【规律方法】1.平面向量在平面几何中数量积的三种求法(1)利用定义求解.(2)利用向量的坐标运算求解.(3)利用向量数量积的几何意义求解.【规律方法】2.向量的数量积在平面几何应用中的解题策略(1)利用运算律结合图形先化简再运算.(2)注意向量的夹角与已知平面几何中的角的关系(相等还是互补).2.向量的数量积在平面几何应用中的解题策略【拓展】三角形四心的向量表示在三角形ABC中,点O为平面内一点,若满足:1. =0,则点O为三角形的重心.2. ,则点O为三角形的外心.【拓展】三角形四心的向量表示3.

49、或者| |2+| |2=| |2+| |2=| |2+| |2,则点O为三角形的垂心.4. =0,则点O为三角形的内心.3. 或者| |【对点训练】1.如图,AB是半圆O的直径,P是 上的点,M,N是直径AB上关于O对称的两点,且AB=6,MN=4,则 等于()A.13B.7C.5D.3【对点训练】【解析】选C.连接AP,BP,则【解析】选C.连接AP,BP,则2.已知O为ABC内一点,AOB=120,OA=1,OB=2,过点O作ODAB于点D,E为线段OD的中点,则 的值为_.2.已知O为ABC内一点,AOB=120,OA=1,O【解析】如图,AOB=120,OA=1,OB=2,ODAB,E

50、为线段OD的中点,则 =0,所以 【解析】如图,AOB=120,OA=1,OB=2,OD在AOB中,由余弦定理可得AB= ,因为SAOB= ABOD= OAOBsin 120,即 OD= 12 ,所以OD= ,所以 答案: 在AOB中,由余弦定理可得AB= ,考点三向量数量积的综合应用【明考点知考法】向量数量积的综合应用,是高考命题的热点,试题常以选择题、填空题的形式出现,考查向量的模、夹角以及与平行、垂直有关的问题.解题过程中常常渗透数学运算的核心素养.考点三向量数量积的综合应用命题角度1平面向量的模 【典例】(2018衡水模拟)已知|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为 ,那么|4a-b|

51、等于 ()A.2B.6C.2 D.12命题角度1平面向量的模 【解析】选C.|4a-b|2=16a2+b2-8ab=161+4-812cos =12.所以|4a-b|=2 .【解析】选C.|4a-b|2=16a2+b2-8ab【状元笔记】求模问题:在求向量的模时,一定要注意公式|a|= 的应用,即将向量的长度(或模)转化为向量数量积.【状元笔记】命题角度2平面向量的夹角问题【典例】已知向量 =(x,1)(x0), =(1,2),| |= ,则 , 的夹角为 ()命题角度2平面向量的夹角问题【解析】选C.因为 = - =(1-x,1),所以| |2=(1-x)2+1=5,即x2-2x-3=0,解得x=3或x=-1(舍).设 , 的夹角为,则cos = ,所以= .【解析】选C.因为 = - =(1-x,1),【状元笔记】夹角问题:求两个向量的夹角,常常利用两个向量夹角的余弦公式,求其夹角的余弦,然后利用余弦函数的单调性求角.【状元笔记】命题角度3平面向量中的平行或垂直问题【典例】(1)已知平面向量a=(-2,m),b=(1, ),且(a-b)b,则实数m的值为 ()A.-2 B.2 C.4 D.6 命题角度3平面向