新人教版高中数学必修第二册第七章复数教学设计

1、71复数的概念71.1数系的扩充和复数的概念新课程标准新学法解读1.通过方程的解，认识复数2.理解复数的代数表示，理解两个复数相等的含义1.了解数系扩充的过程，明确引入复数的必要性2.本节新概念较多，理解相关概念是学好复数的关键.eq avs4al(思考发现)1已知复数z1i，则下列结论中正确的个数是()z的实部为1；z0；z的虚部为i.A1B2C3 D0解析：选A易知正确，错误，故选A.2在2eq r(7)，eq f(2,7)i,85i，(1eq r(3)i,0.68这几个数中，纯虚数的个数为()A0 B1C2 D3解析：选C由纯虚数的定义可知eq f(2,7)i, (1eq r(3)i是纯

2、虚数故选C.3若a2ibi1，a，bR，则a2b2_.解析：由两个复数相等可知，a1，2b，所以a2b25.答案：543i27i的实部为_，虚部为_解析：3i27i37i，实部为3，虚部为7.答案：375已知复数zm(m21)i(mR)满足z0，则m_.解析：z0，z为实数且小于0，eq blcrc (avs4alco1(m210，,m0，)解得m1.答案：1eq avs4al(系统归纳)1数系扩充的脉络自然数集整数集有理数集实数集复数集2复数概念的三点说明(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成abi(a，bR)的形式，其中000i.(2)复数的虚部是实数b而非bi.(3)复数zabi

3、只有在a，bR时才是复数的代数形式，否则不是3两个复数相等的条件(1)在两个复数相等的条件中，注意前提条件是a，b，c，dR，即当a，b，c，dR时，abicdiac且bd.若忽略前提条件，则结论不能成立(2)利用该条件把复数的实部和虚部分离出来，达到“化虚为实”的目的，从而将复数问题转化为实数问题来求解 复数的有关概念例1给出下列三个命题：若zC，则z20；2i1虚部是2i；2i的实部是0.其中真命题的个数为()A0B1C2 D3解析对于，当zR时，z20成立，否则不成立，如zi，z210，则z1z2.任意两个复数都不能比较大小解析：复数i11i，虚部为1，正确；若z1，z2不全为实数，则z

4、1，z2不能比较大小，错误；若两个复数都是实数，可以比较大小，错误答案：复数的分类例2当m为何实数时，复数zeq f(m2m6,m3)(m22m15)i.(1)是虚数；(2)是纯虚数解(1)当eq blcrc (avs4alco1(m30，,m22m150，)即m5且m3时，z是虚数(2)当eq blcrc (avs4alco1(f(m2m6,m3)0，,m22m150，)即m3或m2时，z是纯虚数复数分类解题策略判断一个复数在什么情况下是实数、虚数或者纯虚数，应首先保证复数的实部、虚部均有意义其次根据分类的标准，列出实部、虚部应满足的关系式再求解 变式训练1变设问本例中条件不变，当m为何值时

5、，z为实数？解：当eq blcrc (avs4alco1(m30，,m22m150，)即m5时，z是实数2变设问本例中条件不变，当m为何值时，z0.解：因为z0，所以z为实数，需满足eq blcrc (avs4alco1(f(m2m6,m3)0，,m22m150，)解得m5.3变条件已知zlog2(1m)ilog (3m)(mR)，若z是虚数，求m的取值范围解：z是虚数，log (3m)0，且1m0，即eq blcrc (avs4alco1(3m0，,3m1，,1m0，)1m2或2m0，解得m1或m2，故当m1或m2时，复数表示实数(2)当实部等于零且虚部不等于零时，复数表示纯虚数由lg(m2

6、2m2)0，且m23m20，求得m3，故当m3时，复数z是纯虚数(3)由lg(m22m2)0，且m23m20，解得m3，故当m3时，复数z对应的点位于复平面的第一象限B级面向全国卷高考高分练1复数zeq f(1,a1)(a21)i是实数，则实数a的值为()A1或1 B1C1 D0或1解析：选C因为复数zeq f(1,a1)(a21)i是实数，且a为实数，则eq blcrc (avs4alco1(a210，,a10，)解得a1.故选C.2若(xy)ix1(x，yR)，则2xy的值为()A.eq f(1,2) B2C0 D1解析：选D由复数相等的充要条件知，eq blcrc (avs4alco1(

7、xy0，,x10，)解得eq blcrc (avs4alco1(x1，,y1，)xy0.2xy201.故选D.3已知关于x的方程x2(m2i)x22i0(mR)有实数根n，且zmni，则复数z等于()A3i B3iC3i D3i解析：选B由题意知n2(m2i)n22i0，即eq blcrc (avs4alco1(n2mn20，,2n20.)解得eq blcrc (avs4alco1(m3，,n1.)z3i.故选B.4已知复数z1m(4m2)i(mR)，z22cos (3sin )i(，R)，并且z1z2，则的取值范围为()A.eq blcrc(avs4alco1(7，f(9,16) B.eq

8、blcrc(avs4alco1(f(9,16)，7)C1,1 D.eq blcrc(avs4alco1(f(9,16)，7)解析：选D由z1z2得eq blcrc (avs4alco1(m2cos ，,4m23sin ，)消去m得4sin23sin 4eq blc(rc)(avs4alco1(sin f(3,8)2eq f(9,16).由于1sin 1，故eq f(9,16)7.故选D.5若复数(a2a2)(|a1|1)i(aR)不是纯虚数，则a的取值范围是_解析：若复数为纯虚数，则有eq blcrc (avs4alco1(|a1|10，,a2a20，)即eq blcrc (avs4alco1

9、(a0且a2，,a2或a1，)a1.故复数不是纯虚数时a1.答案：(，1)(1，)6已知实数a，x，y满足a22a2xy(axy)i0，则点(x，y)的轨迹方程是_解析：由复数相等的充要条件知，eq blcrc (avs4alco1(a22a2xy0，,axy0，)消去a，得x2y22x2y0，即(x1)2(y1)22.答案：(x1)2(y1)227定义运算eq blc|rc|(avs4alco1(ab,cd)adbc，如果(xy)(x3)ieq blc|rc|(avs4alco1(3x2yi,y1)，求实数x，y的值解：由定义运算eq blc|rc|(avs4alco1(ab,cd)adbc

10、，得eq blc|rc|(avs4alco1(3x2yi,y1)3x2yyi，故有(xy)(x3)i3x2yyi.因为x，y为实数，所以有eq blcrc (avs4alco1(xy3x2y，,x3y，)得eq blcrc (avs4alco1(2xy0，,x3y，)得x1，y2.C级拓展探索性题目应用练已知关于x的方程x2(12i)x(3mi)0有实根，求实数m的值解：设a为方程的一个实数根，则有a2(12i)a(3mi)0，即(a2a3m)(2a1)i0.由复数相等的充要条件得eq blcrc (avs4alco1(a2a3m0，,2a10，)解得eq blcrc (avs4alco1(m

11、f(1,12)，,af(1,2).)故实数m的值为eq f(1,12).71.2复数的几何意义新课程标准新学法解读1.理解复平面的实轴、虚轴、复数的模、共轭复数的概念2.理解复数的代数表示及其几何意义.从“数”和“形”两个角度认识理解复数，由于复平面的建立，使得复数和复平面内的点和以原点为起点的向量具有一一对应关系，为研究复数问题提供了更加有力的工具.eq avs4al(思考发现)1已知复数zi，复平面内对应点Z的坐标为()A(0，1)B(1,0)C(0,0) D(1，1)解析：选A复数zi的实部为0，虚部为1，故复平面内对应点Z的坐标为(0，1)故选A.2若eq o(OZ,sup7()(0，

12、3)，则eq o(OZ,sup7()对应的复数为()A0 B3C3i D3解析：选C由复数的几何意义可知eq o(OZ,sup7()对应的复数为3i.故选C.3复数z(a22a)(a2a2)i对应的点在虚轴上，则()Aa2或a1 Ba2或a1Ca2或a0 Da0解析：选C由题意知a22a0，解得a0或2.故选C.4若复数a1(1a)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是()A(，1) B(，1)C(1，) D(1，)解析：选B因为za1(1a)i，所以它在复平面内对应的点为(a1,1a)，又此点在第二象限，所以eq blcrc (avs4alco1(a10，)解得a|z2|.(2

13、)法一：设zxyi(x，yR)，则点Z的坐标为(x，y)由|z|z1|2得 eq r(x2y2)2，即x2y24.所以点Z的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆法二：由|z|z1|2知|eq o(OZ,sup7()|2(O为坐标原点)，所以Z到原点的距离为2.所以Z的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆复数模的计算(1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小(2)设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解 变式训练1已知复数z12mi(mR)，且|z|2，则实数m的取值范围是_解析：由|z| eq r(14m2)2，解得eq

14、 f(r(3),2)meq f(r(3),2).答案：eq blcrc(avs4alco1(f(r(3),2)，f(r(3),2)2求复数z168i与z2eq f(1,2)eq r(2)i的模，并比较它们的模的大小解：z168i，z2eq f(1,2)eq r(2)i，|z1| eq r(6282)10，|z2| eq r(blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)2r(2)2)eq f(3,2).10eq f(3,2)，|z1|z2|.复数与复平面内向量的关系例3(1)在复平面内，复数65i，23i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()A480iB82iC2

15、4i D4i(2)在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1,2i，12i.求向量eq o(AB,sup7()，eq o(AC,sup7()，eq o(BC,sup7()对应的复数；判定ABC的形状解析(1)两个复数对应的点分别为A(6,5)，B(2，3)，则C(2,4)故其对应的复数为24i.答案C(2)由复数的几何意义知：eq o(OA,sup7()(1,0)，eq o(OB,sup7()(2,1)，eq o(OC,sup7()(1,2)，所以eq o(AB,sup7()eq o(OB,sup7()eq o(OA,sup7()(1,1)，eq o(AC,sup7()eq o(OC,sup

16、7()eq o(OA,sup7()(2,2)，eq o(BC,sup7()eq o(OC,sup7()eq o(OB,sup7()(3,1)，所以eq o(AB,sup7()，eq o(AC,sup7()，eq o(BC,sup7()对应的复数分别为1i，22i，3i.因为|eq o(AB,sup7()|eq r(2)，|eq o(AC,sup7()|2eq r(2)，|eq o(BC,sup7()|eq r(10)，所以|eq o(AB,sup7()|2|eq o(AC,sup7()|2|eq o(BC,sup7()|2，所以ABC是以BC为斜边的直角三角形复数与平面向量的对应关系(1)根据

17、复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化 变式训练1在复平面内，把复数3eq r(3)i对应的向量按顺时针方向旋转eq f(,3)，所得向量对应的复数是()A2eq r(3) B2eq r(3)iC.eq r(3)3i D3eq r(3)i解析：选B复数对应的点为(3，eq r(3)，对应的向量按顺时针方向旋转eq f(,3)，则对应的点为(0，2e

18、q r(3)，所得向量对应的复数为2eq r(3)i.故选B.2已知复数z112i，z21i，z332i，它们所对应的点分别是A，B，C，若eq o(OC,sup7()xeq o(OA,sup7()yeq o(OB,sup7() (x，yR)，则xy 的值是_解析：由复数的几何意义可知，eq o(OC,sup7()xeq o(OA,sup7()yeq o(OB,sup7()，即32ix(12i)y(1i)，32i(yx)(2xy)i，由复数相等可得eq blcrc (avs4alco1(yx3，,2xy2，)解得eq blcrc (avs4alco1(x1，,y4.)xy5.答案：5A级学考合

19、格性考试达标练1复数z12i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选Cz12i在复平面内对应的点为(1，2)，它位于第三象限故选C.2向量a(2,1)所对应的复数是()Az12i Bz12iCz12i Dz2i解析：选D向量a(2,1)所对应的复数是z2i.故选D.3已知0a2，复数zai(i是虚数单位)，则|z|的取值范围是()A(1，eq r(3) B(1，eq r(5)C(1,3) D(1,5)解析：选B|z|eq r(a21)，0a2，1a215，|z|(1，eq r(5)故选B.4设O为原点，向量eq o(OA,sup7()，eq

20、o(OB,sup7()对应的复数分别为23i，32i，那么向量eq o(BA,sup7()对应的复数为()A1i B1iC55i D55i解析：选D因为由已知eq o(OA,sup7()(2,3)，eq o(OB,sup7()(3，2)，所以eq o(BA,sup7()eq o(OA,sup7()eq o(OB,sup7()(2,3)(3，2)(5,5)，所以eq o(BA,sup7()对应的复数为55i.故选D.5已知复数z满足|z|22|z|30，则复数z对应点的轨迹为()A一个圆 B线段C两点 D两个圆解析：选A|z|22|z|30，(|z|3)(|z|1)0，|z|3，表示一个圆故选A

21、.6复数zx2(3x)i在复平面内的对应点在第四象限，则实数x的取值范围是_解析：复数z在复平面内对应的点位于第四象限，eq blcrc (avs4alco1(x20，,3x3.答案：(3，)7复数35i,1i和2ai在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a的值为_解析：由点(3，5)，(1，1)，(2，a)共线可知a5.答案：58i是虚数单位，设(1i)x1yi，其中x，y是实数，则xy_，|xyi|_.解析：由(1i)x1yi，得xxi1yi，xy1，xy1，|xyi|1i|eq r(2).答案：1eq r(2)9在复平面内指出与复数z11eq r(2)i，z22i，z3i，z4eq r

22、(3)3i 对应的点Z1，Z2，Z3，Z4，然后在复平面内画出这4个复数对应的向量解：由题意知Z1(1，eq r(2)，Z2(2，1)，Z3(0，1)，Z4(eq r(3)，3)如图所示，在复平面内，复数z1，z2，z3，z4对应的向量分别为eq o(OZ1,sup7()，eq o(OZ2,sup7()，eq o(OZ3,sup7()，eq o(OZ4,sup7().10实数x取什么值时，复平面内表示复数zx2x6(x22x15)i的点Z：(1)位于第三象限；(2)位于第四象限；(3)位于直线xy30上解：因为x是实数，所以x2x6，x22x15也是实数(1)当实数x满足eq blcrc (a

23、vs4alco1(x2x60，,x22x150，)即3x0，,x22x150，)即2x5时，点Z位于第四象限(3)当实数x满足(x2x6)(x22x15)30，即3x60，x2时，点Z位于直线xy30上B级面向全国卷高考高分练1若x，yR，i为虚数单位，且xy(xy)i3i，则复数xyi在复平面内所对应的点在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选Axy(xy)i3i，eq blcrc (avs4alco1(xy3，,xy1，)解得eq blcrc (avs4alco1(x1，,y2，)复数12i所对应的点在第一象限故选A.2已知复数zaeq r(3)i(aR)在复平面内对应的

24、点位于第二象限，且|z|2，则复数z等于()A1eq r(3)i B1eq r(3)iC1eq r(3)i或1eq r(3)i D2eq r(3)i解析：选A由题意得eq blcrc (avs4alco1(a234，,a0”是“复数abi对应的点位于复平面上第二象限”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件解析：选B由题意知，“ab0”可推出eq blcrc (avs4alco1(a0，,b0)或eq blcrc (avs4alco1(a0，,b0，b0时，abi对应的点位于复平面上第四象限，当a0，b0”是“复数abi对应的点位于复平面上第二象限”的必要不充分条

25、件故选B.5已知复数zx2yi的模是2eq r(2)，则点(x，y)的轨迹方程是_解析：由模的计算公式得 eq r(x22y2)2eq r(2)，(x2)2y28.答案：(x2)2y286i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z123i，则z2_.解析：因为z123i对应的点的坐标为(2，3)，且复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，所以z2在复平面内对应点的坐标为(2,3)，对应的复数为z223i.答案：23i7已知复平面内的点A，B对应的复数分别是z1sin2i，z2cos2icos 2，其中(0，)设eq o(AB,sup7()对应的复数是z.(1)求复

26、数z；(2)若复数z对应的点P在直线yeq f(1,2)x上，求的值解：(1)因为点A，B对应的复数分别是z1sin2i，z2cos2icos 2，所以点A，B的坐标分别是A(sin2，1)，B(cos2，cos 2)，所以eq o(AB,sup7()(cos2，cos 2)(sin2，1)(cos2sin2，cos 21)(1，2sin2)，所以eq o(AB,sup7()对应的复数z1(2sin2)i.(2)由(1)知点P的坐标是(1，2sin2)，代入yeq f(1,2)x，得2sin2eq f(1,2)，即sin2eq f(1,4)，所以sin eq f(1,2).又因为(0，)，所以

27、sin eq f(1,2)，所以eq f(,6)或eq f(5,6).C级拓展探索性题目应用练设复数zlog2(m23m3)ilog2(m2)，mR对应的向量为eq o(OZ,sup7().(1)若eq o(OZ,sup7()的终点Z在虚轴上，求实数m的值及|eq o(OZ,sup7()|；(2)若eq o(OZ,sup7()的终点Z在第二象限内，求m的取值范围解：(1)因为eq o(OZ,sup7()的终点Z在虚轴上，所以复数Z的实部为0，则有log2(m23m3)0，所以m23m31.所以m4或m1；因为eq blcrc (avs4alco1(m23m30，,m20，)所以m4，此时zi，

28、eq o(OZ,sup7()(0,1)，|eq o(OZ,sup7()|1，(2)因为eq o(OZ,sup7()的终点Z在第二象限内，则有eq blcrc (avs4alco1(log2m23m30，,m23m30，,m20，)所以meq blc(rc)(avs4alco1(f(3r(21),2)，4).72复数的四则运算72.1复数的加、减运算及其几何意义新课程标准新学法解读1.掌握复数代数表示式的加、减运算2.了解复数加、减运算的几何意义.1.类比实数的加、减运算来学习复数的加、减运算2.结合物理学中有关力的合成与分解来理解向量加、减运算的几何意义.eq avs4al(思考发现)1已知复

29、数z134i，z234i，则z1z2等于()A8iB6C68i D68i解析：选Bz1z234i34i6.2计算(3i)(2i)的结果为()A1 BiC52i D1i解析：选A(3i)(2i)1.3已知复数z3i333i，则z()A0 B6i C6 D66i解析：选Dz3i333i，z(33i)(3i3)66i.4在复平面内，向量eq o(OZ1,sup7()对应的复数是54i，向量eq o(OZ2,sup7()对应的复数是54i，则eq o(OZ1,sup7()eq o(OZ2,sup7()对应的复数是()A108i B108iC0 D108i解析：选Ceq o(OZ1,sup7()eq o

30、(OZ2,sup7()(5，4)(5,4)(0,0)，故eq o(OZ1,sup7()eq o(OZ2,sup7()对应的复数为0.5已知向量eq o(OZ1,sup7()对应的复数为23i，向量eq o(OZ2,sup7()对应的复数为34i，则向量Z1Z2对应的复数为_解析：eq o(Z1Z2,sup7()eq o(OZ2,sup7()eq o(OZ1,sup7()(34i)(23i)1i.答案：1ieq avs4al(系统归纳)1对复数的加法、减法运算应注意以下几点(1)一种规定：复数代数形式的加法法则是一种规定，减法是加法的逆运算；特殊情形：当复数的虚部为零时，与实数的加法、减法法则一

31、致(2)运算律：实数加法的交换律、结合律在复数集中仍成立实数的移项法则在复数中仍然成立(3)运算结果：两个复数的和(差)是唯一确定的复数2复数加法、减法的几何意义复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则复数代数表示式的加、减法运算例1(1)计算：(23i)(42i)_.(2)已知zi(3x4y)(y2x)i，z2(2xy)(x3y)i，x，y为实数，若z1z253i，则|z1z2|_.解析(1)(23i)(42i)(24)(32)i2i.(2)z1z2(3x4y)(y2x)i(2xy)(x3y)i(3x4y)(2xy)(y2x)(x3y)i(5

32、x5y)(3x4y)i53i，所以eq blcrc (avs4alco1(5x5y5，,3x4y3，)解得x1，y0，所以z132i，z22i，则z1z21i，所以|z1z2|eq r(2).答案(1)2i(2)eq r(2)复数加、减运算的法则(1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部(2)复数的运算可以类比多项式的运算(类似于合并同类项)：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算 变式训练1i(15i)(23i)(i1)_.解析：i(15i)(23i)(i1)i15i23ii110

33、i.答案：10i2已知复数z1a23i，z22aa2i，若z1z2是纯虚数，则实数a_.解析：由条件知z1z2a22a3(a21)i，又z1z2是纯虚数，所以eq blcrc (avs4alco1(a22a30，,a210，)解得a3.答案：3复数加、减运算的几何意义例2已知四边形ABCD是复平面上的平行四边形，顶点A，B，C分别对应于复数52i，45i,2，求点D对应的复数及对角线AC，BD的长解如图，因为AC与BD的交点M是各自的中点，所以有zMeq f(zAzC,2)eq f(zBzD,2)，所以zDzAzCzB17i，因为eq o(AC,sup7()：zCzA2(52i)72i，所以|

34、eq o(AC,sup7()|72i| eq r(7222)eq r(53)，因为eq o(BD,sup7()：zDzB(17i)(45i)512i，所以|eq o(BD,sup7()|512i| eq r(52122)13.故点D对应的复数是17i，AC与BD的长分别是eq r(53)和13.运用复数加、减运算的几何意义应注意的问题向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数注意向量eq o(AB,sup7()对应的复数是zBzA(终点对应的复数减去起点对应的复数) 变式训

35、练已知平行四边形ABCD中，eq o(AB,sup7()与eq o(AC,sup7()对应的复数分别是32i与14i，两对角线AC与BD相交于O点(1)求eq o(AD,sup7()对应的复数；(2)求eq o(DB,sup7()对应的复数解：(1)由于四边形ABCD是平行四边形，所以eq o(AC,sup7()eq o(AB,sup7()eq o(AD,sup7()，于是eq o(AD,sup7()eq o(AC,sup7()eq o(AB,sup7()，而(14i)(32i)22i，即eq o(AD,sup7()对应的复数是22i.(2)由于eq o(DB,sup7()eq o(AB,su

36、p7()eq o(AD,sup7()，而(32i)(22i)5，所以eq o(DB,sup7()对应的复数是5.复数模的最值问题例3(1)如果复数z满足|zi|zi|2，那么|zi1|的最小值是()A1B.eq f(1,2)C2 D.eq r(5)(2)若复数z满足|zeq r(3)i|1，求|z|的最大值和最小值解析(1)设复数i，i，1i在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，因为|zi|zi|2，|Z1Z2|2，所以点Z的集合为线段Z1Z2.问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，因为|Z1Z3|1.所以|zi1|min1.答案A(2)如图所示，|eq o(OM,

37、sup7()| eq r(r(3)212)2.所以|z|max213，|z|min211.两个复数差的模的几何意义(1)|zz0|表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式(2)|zz0|r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆(3)涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解 变式训练1变条件，变设问若本例(2)条件改为已知|z|1且zC，求|z22i|(i为虚数单位)的最小值解：因为|z|1且zC，作图如图：所以|z22i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P(2,2)的距离，所

38、以|z22i|的最小值为|OP|12eq r(2)1.2变条件若本例(2)中条件不变，求|zeq r(3)|2|z2i|2的最大值和最小值解：如图所示，在圆面上任取一点P，与复数zAeq r(3)，zB2i对应点A，B相连，得向量eq o(PA,sup7()，eq o(PB,sup7()，再以eq o(PA,sup7()，eq o(PB,sup7()为邻边作平行四边形P为圆面上任一点，zPz，则2|eq o(PA,sup7()|22|eq o(PB,sup7()|2|eq o(AB,sup7()|2(2|eq o(PO,sup7()|)274|eq o(PO,sup7()|2，(平行四边形四条

39、边的平方和等于对角线的平方和)，所以|zeq r(3)|2|z2i|2eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(74blc|rc|(avs4alco1(zf(r(3),2)i)2).而eq blc|rc|(avs4alco1(zf(r(3),2)i)max|OM|11eq f(r(43),2)，eq blc|rc|(avs4alco1(zf(r(3),2)i)min|OM|1eq f(r(43),2)1.所以|zeq r(3)|2|z2i|2的最大值为272eq r(43)，最小值为272eq r(43).A级学考合格性考试达标练1复数z1a4i，z23bi，若它们的和为实数

40、，差为纯虚数，则实数a，b的值为()Aa3，b4Ba3，b4Ca3，b4 Da3，b4解析：选A由题意可知z1z2(a3)(b4)i是实数，z1z2(a3)(4b)i是纯虚数，故eq blcrc (avs4alco1(b40，,a30，,4b0，)解得a3，b4.故选A.2已知复数z对应的向量如图所示，则复数z1所对应的向量正确的是()解析：选A由图可知z2i，所以z11i，则复数z1所对应的向量的坐标为(1,1)故选A.3已知z1，z2C，|z1z2|2eq r(2)，|z1|2，|z2|2，则|z1z2|等于()A1 B. eq f(1,2)C2 D2eq r(2)解析：选D由复数加法、减

41、法的几何意义知，在复平面内，以z1，z2所对应的向量为邻边的平行四边形为正方形，所以|z1z2|2eq r(2).故选D.4已知复数z满足z2i57i，则|z|()A12 B3C3eq r(17) D9解析：选C由题意知z7i(2i5)123i，|z| eq r(12232)3eq r(17).故选C.5设向量eq o(OP,sup7()，eq o(PQ,sup7()，eq o(OQ,sup7()对应的复数分别为z1，z2，z3，那么()Az1z2z30 Bz1z2z30Cz1z2z30 Dz1z2z30解析：选Deq o(OP,sup7()eq o(PQ,sup7()eq o(OQ,sup7

42、()，z1z2z3，即z1z2z30.故选D.6计算|(3i)(12i)(13i)|_.解析：|(3i)(12i)(13i)|(2i)(13i)|34i| eq r(3242)5.答案：57已知复数z1(a22)(a4)i，z2a(a22)i(aR)，且z1z2为纯虚数，则a_.解析：z1z2(a2a2)(a4a22)i(aR)为纯虚数，eq blcrc (avs4alco1(a2a20，,a2a60，)解得a1.答案：18在复平面内，复数1i与13i分别对应向量eq o(OA,sup7()和eq o(OB,sup7()，其中O为坐标原点，则|eq o(AB,sup7()|_.解析：由题意eq

43、 o(AB,sup7()eq o(OB,sup7()eq o(OA,sup7()，eq o(AB,sup7()对应的复数为(13i)(1i)2i，|eq o(AB,sup7()|2.答案：29计算：(1)(12i)(2i)(2i)(12i)；(2)(i2i)|i|(1i)解：(1)原式(13i)(2i)(12i)(32i)(12i)2.(2)原式(1i)eq r(012)(1i)1i11i12i.10设z1x2i，z23yi(x，yR)，且z1z256i，求z1z2.解：z1x2i，z23yi，z1z2x3(2y)i56i，eq blcrc (avs4alco1(x35，,2y6，)解得eq

44、blcrc (avs4alco1(x2，,y8.)z122i，z238i，z1z2(22i)(38i)110i.B级面向全国卷高考高分练1若z12i，z23ai(aR)，且在复平面内z1z2所对应的点在实轴上，则a的值为()A3 B2C1 D1解析：选Dz1z22i3ai(23)(1a)i5(1a)i.在复平面内z1z2所对应的点在实轴上，1a0，a1.故选D.2若|z1|z1|，则复数z对应的点Z()A在实轴上 B在虚轴上C在第一象限 D在第二象限解析：选B设zxyi(x，yR)，由|z1|z1|得(x1)2y2(x1)2y2，化简得：x0.故选B.3若|z|z3i，则z等于()A1eq f

45、(4,3)i B1eq f(4,3)iC.eq f(4,3)i Deq f(4,3)i解析：选C设zxyi(x，yR)，由|z|z3i得eq r(x2y2)xyi3i，即eq blcrc (avs4alco1(r(x2y2)x3，,y1，)解得eq blcrc (avs4alco1(xf(4,3)，,y1.)所以zeq f(4,3)i.故选C.4ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|zz1|zz2|zz3|，则z对应的点是ABC的()A外心 B内心C重心 D垂心解析：选A由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z的对应点P到ABC的顶点A，B，C距离相等，P

46、为ABC的外心故选A.5已知z1(3xy)(y4x)i，z2(4y2x)(5x3y)i(x，yR)若zz1z2，且z132i，则z1_，z2_.解析：zz1z2(3xy)(y4x)i(4y2x)(5x3y)i(5x3y)(x4y)i，又z132i，所以eq blcrc (avs4alco1(5x3y13，,x4y2，)解得eq blcrc (avs4alco1(x2，,y1.)所以z1(321)(142)i59i，z2(422)(5231)i87i.答案：59i87i6在平行四边形OABC中，各顶点对应的复数分别为zO0，zA2eq f(a,2)i，zB2a3i，zCbai，a，bR，则ab_

47、.解析：因为eq o(OA,sup7()eq o(OC,sup7()eq o(OB,sup7()，所以2eq f(a,2)i(bai)2a3i，所以eq blcrc (avs4alco1(2b2a，,f(a,2)a3，)解得eq blcrc (avs4alco1(a2，,b6.)故ab4.答案：47.复数z112i，z22i，z312i，它们在复平面内的对应点是一个正方形的三个顶点，如图所示，求这个正方形的第四个顶点对应的复数解：复数z1，z2，z3所对应的点分别为A，B，C，设正方形的第四个顶点D对应的复数为xyi(x，yR)因为eq o(AD,sup7()eq o(OD,sup7()eq

48、o(OA,sup7()，所以eq o(AD,sup7()对应的复数为(xyi)(12i)(x1)(y2)i，因为eq o(BC,sup7()eq o(OC,sup7()eq o(OB,sup7()，所以eq o(BC,sup7()对应的复数为(12i)(2i)13i.因为eq o(AD,sup7()eq o(BC,sup7()，所以它们对应的复数相等，即eq blcrc (avs4alco1(x11，,y23，)解得eq blcrc (avs4alco1(x2，,y1.)故点D对应的复数为2i.C级拓展探索性题目应用练已知复平面内的平行四边形ABCD中，A点对应的复数为2i，向量eq o(BA

49、,sup7()对应的复数为12i，向量eq o(BC,sup7()对应的复数为3i，求：(1)点C，D对应的复数；(2)平行四边形ABCD的面积解：(1)向量eq o(BA,sup7()对应的复数为12i，向量eq o(BC,sup7()对应的复数为3i，向量eq o(AC,sup7()对应的复数为(3i)(12i)23i.又eq o(OC,sup7()eq o(OA,sup7()eq o(AC,sup7()，点C对应的复数为(2i)(23i)42i.eq o(AD,sup7()eq o(BC,sup7()，向量eq o(AD,sup7()对应的复数为3i，即eq o(AD,sup7()(3，

50、1)设D(x，y)，则eq o(AD,sup7()(x2，y1)(3，1)，eq blcrc (avs4alco1(x23，,y11，)解得eq blcrc (avs4alco1(x5，,y0.)点D对应的复数为5.(2)eq o(BA,sup7()eq o(BC,sup7()|eq o(BA,sup7()|eq o(BC,sup7()|cos B，cos Beq f(o(BA,sup7()o(BC,sup7(),|o(BA,sup7()|o(BC,sup7()|)eq f(32,r(5)r(10)eq f(r(2),10).0B，sin Beq f(7r(2),10)，S四边形ABCD|eq

51、 o(BA,sup7()|eq o(BC,sup7()|sin Beq r(5)eq r(10)eq f(7r(2),10)7，平行四边形ABCD的面积为7.72.2复数的乘、除运算新课程标准新学法解读1.掌握复数代数表示式的乘、除运算2.掌握复数代数表示式的四则运算.1.学习复数的乘法运算，应类比多项式的乘法运算，这里注意把i2写成1.2.学习除法运算时注意分母“实数化”，即将分子分母同乘以分母的共轭复数.eq avs4al(思考发现)1复数(32i)i等于() A23iB23iC23i D23i解析：选B(32i)i3i2ii23i，故选B.2已知复数z2i，则zeq xto(z)的值为(

52、)A5 B.eq r(5)C3 D.eq r(3)解析：选Azeq xto(z)(2i)(2i)22i2415，故选A.3.eq f(3i,1i)()A12i B12iC2i D2i解析：选Deq f(3i,1i)eq f(3i1i,1i1i)eq f(42i,2)2i.故选D.4复数(1i)2(23i)的值为()A64i B64iC64i D64i解析：选D(1i)2(23i)2i(23i)64i.故选D.eq avs4al(系统归纳)1对复数乘法的三点说明(1)类比多项式运算：复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似，可仿多项式乘法进行，但结果要将实部、虚部分开(i2换成1)(2)运算律：多项

53、式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公式也适用(3)常用结论(abi)2a22abib2 (a，bR)；(abi)(abi)a2b2(a，bR)；(1i)22i.2对复数除法的两点说明(1)实数化：分子、分母同乘以分母的共轭复数cdi，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似(2)代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开特别提醒：复数的除法类似于根式的分母有理化复数代数表示式的乘法运算例1(1)(2018全国卷)i(23i)()A32iB32iC32i D32i(2)(2019全国卷)设zi(2i)，则eq xto(z)()A12i B12iC12i

54、 D12i(3)若复数(1i)(ai)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是()A(，1) B(，1)C(1，) D(1，)解析(1)i(23i)2i3i232i.故选D.(2)因为zi(2i)12i，所以eq xto(z)12i.故选D.(3)z(1i)(ai)(a1)(1a)i，因为对应的点在第二象限，所以eq blcrc (avs4alco1(a10，)解得a1，故选B.答案(1)D(2)D(3)B1两个复数代数形式乘法的一般方法(1)首先按多项式的乘法展开；(2)再将i2换成1；(3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式2常用公式(1)(abi)2a22abib

55、2(a，bR); (2)(abi)(abi)a2b2(a，bR)；(3)(1i)22i. 变式训练1计算：(1i)2(23i)(23i)()A213i B132iC1313i D132i解析：选D(1i)2(23i)(23i)12ii2(49i2)132i.故选D.2(2017全国卷)下列各式的运算结果为纯虚数的是()Ai(1i)2 Bi2(1i)C(1i)2 Di(1i)解析：选CA项，i(1i)2i2i2，不是纯虚数；B项，i2(1i)(1i)1i，不是纯虚数；C项，(1i)22i,2i是纯虚数；D项，i(1i)ii21i，不是纯虚数故选C.复数代数表示式的除法运算例2(1)(2019全国

56、卷)若z(1i)2i，则z()A1i B1iC1i D1i(2)(2019全国卷)设zeq f(3i,12i)，则|z|()A2 B.eq r(3)C.eq r(2) D1(3)如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是eq o(OA,sup7()，eq o(OB,sup7()，则复数eq f(z1,z2)对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解析(1)由z(1i)2i，得zeq f(2i,1i)eq f(2i1i,2)1i.(2) zeq f(3i,12i)eq f(3i12i,12i12i)eq f(17i,5)，所以|z| eq r(blc(rc)(avs4alc

57、o1(f(1,5)2blc(rc)(avs4alco1(f(7,5)2)eq r(2).(3)由复数的几何意义知，z12i，z2i，所以eq f(z1,z2)eq f(2i,i)12i，对应的点在第二象限答案(1)D(2)C(3)B1两个复数代数形式的除法运算步骤(1)首先将除式写为分式；(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式2常用公式(1)eq f(1,i)i；(2)eq f(1i,1i)i；(3)eq f(1i,1i)i. 变式训练1计算：eq f(1i43i,2i1i)_.解析：法一：eq f(1i43i,2i1i)eq

58、 f(17i,13i)eq f(17i13i,10)2i.法二：eq f(1i43i,2i1i)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1i,1i)eq blc(rc)(avs4alco1(f(43i,2i)eq f(i43i2i,5)eq f(34i2i,5)eq f(105i,5)2i.答案：2i2计算：eq f(1i7,1i)eq f(1i7,1i)eq f(34i22i3,43i).解：原式(1i)23eq f(1i,1i)(1i)23eq f(1i,1i)eq f(834i1i3,34ii)(2i)3i(2i)3(i)eq f(82i1i,i)881616i16i.复数范围内方

59、程根的问题例3已知1i是方程x2bxc0的一个根(b，c为实数)(1)求b，c的值；(2)试判断1i是否是方程的根解(1)因为1i是方程x2bxc0的根，(1i)2b(1i)c0，即(bc)(2b)i0.eq blcrc (avs4alco1(bc0，,2b0，)解得eq blcrc (avs4alco1(b2，,c2.)b2，c2.(2)将方程化为x22x20，把1i代入方程左边x22x2(1i)22(1i)20，显然方程成立，1i也是方程的一个根复数范围内实系数一元二次方程ax2bxc0(a0)的求根公式为(1)当0时，xeq f(br(b24ac),2a)；(2)当0时，xeq f(br

60、(b24ac)i,2a). 变式训练在复数范围内解一元二次方程x22x50.解：(2)2415160，0,2)Br0，(0,2)CrR，(，) Dr0，0,2)解析：选D由复数三角形式的特征知，r0,02.故选D.2复数2eq blc(rc)(avs4alco1(cosf(,5)isinf(,5)辐角的主值是()A.eq f(,5) B.eq f(4,5)C.eq f(6,5) D.eq f(9,5)解析：选C2eq blc(rc)(avs4alco1(cosf(,5)isinf(,5)2coseq f(6,5)isineq f(6,5)，辐角的主值为eq f(6,5)，故选C.3设zeq r