广东省广州市番禺区禺山中学2022年高二数学第二学期期末学业质量监测试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷考生须知：1全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知的二项展开式中含项的系数为，则( )ABCD2 “所有的倍数都是的倍数，某奇数是的倍数，故该奇数是的倍数.”上述推理（ ）A大前提错误B小前提错误C结论错误D正确3若

2、曲线，在点处的切线分别为，且，则的值为（ ）AB2CD4已知某一随机变量的概率分布列如图所示，且E()6.3，则a的值为()4a9P0.50.1bA5B6C7D85已知圆,在圆中任取一点,则点的横坐标小于的概率为（ ）ABCD以上都不对6一个随机变量的分布列如图，其中为的一个内角，则的数学期望为（ ）ABCD7等差数列an的前n项和Sn，且4S26，15S421，则a2的取值范围为（ ）ABCD8某生产厂家的年利润（单位：万元）与年产量（单位：万件）的函数关系式为，则该生产厂家获取的最大年利润为（ ）A300万元B252万元C200万元D128万元9双曲线的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直

3、线交曲线左支于A，B两点，F2AB是以A为直角顶点的直角三角形，且AF2B30若该双曲线的离心率为e，则e2（）ABCD10甲球与某立方体的各个面都相切，乙球与这个立方体的各条棱都相切，丙球过这个立方体的所有顶点，则甲、乙、丙三球的半径的平方之比为（）A123B1C1D12311已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）ABCD12已知函数，若的两个极值点的等差中项在区间上，则整数（ ）A1或2B2C1D0或1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是_14若存在两个正实数x，y使等式mx（lnylnx）y0成立，则实数m的取值范围是_15若

4、复数满足，则_16在处的导数值是_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知函数(1)求的图象在点处的切线方程；(2)求在上的最大值与最小值。18（12分）已知.猜想的表达式并用数学归纳法证明你的结论.19（12分）如图为一简单组合体，其底面为正方形，平面，且，为线段的中点（）证明：；（）求三棱锥的体积20（12分）已知函数，.（1）若，当时，求函数的极值.（2）当时，证明：.21（12分）推广组合数公式，定义，其中，且规定（1）求的值；（2）设，当为何值时，函数取得最小值？22（10分）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点

5、.（1）求证：BD平面PAC；（2）若ABC=60，求证：平面PAB平面PAE；参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】分析：先根据二项式定展开式通项公式求m,再求定积分.详解：因为的二项展开式中，所以,因此选C.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.2、D【解析】分析：要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提，小

6、前提和结论是否都正确，根据三个方面都正确，得到结论详解：所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故某奇数是3的倍数，大前提：所有9的倍数都是3的倍数，小前提：某奇数是9的倍数，结论：故某奇数是3的倍数，这个推理是正确的，故选D点睛：该题考查的是有关演绎推理的定义问题，在解决问题的过程中，需要先分清大前提、小前提和结论分别是什么，之后结合定义以及对应的结论的正确性得出结果.3、A【解析】试题分析：因为，则f（1）=，g（1）=a，又曲线a在点P（1，1）处的切线相互垂直，所以f（1）g（1）=-1，即，所以a=-1故选A考点：利用导数研究曲线上某点切线方程4、C【解析】分析：先根据分布列概率

7、和为1得到b的值，再根据E(X)=6.3得到a的值.详解：根据分布列的性质得0.5+0.1+b=1,所以b=0.4.因为E(X)=6.3，所以40.5+0.1a+90.4=6.3，所以a=7.故答案为C.点睛：（1）本题主要考查分布列的性质和随机变量的期望的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 分布列的两个性质：，；.5、C【解析】分析：画出满足条件的图像，计算图形中圆内横坐标小于的面积，除以圆的面积。详解：由图可知，点的横坐标小于的概率为，故选C点睛：几何概型计算面积比值。6、D【解析】利用二倍角的余弦公式以及概率之和为1，可得，然后根据数学期望的计算公式可得结果.【详解】由， 得

8、，所以或 (舍去)则，故选：D【点睛】本题考查给出分布列，数学期望的计算，掌握公式，细心计算，可得结果.7、B【解析】首先设公差为，由题中的条件可得和，利用待定系数法可得，结合所求的范围及不等式的性质可得.【详解】设公差为，由，得，即；同理由可得.故可设，所以有，所以有，解得，即，因为 ，.所以，即.故选：B.【点睛】本题主要考查不等式的性质及等差数列的运算，利用不等式求解范围时注意放缩的尺度，运算次数越少，范围越准确.8、C【解析】求得函数的导数，得到函数的单调性，进而求解函数的最大值，即可得到答案.【详解】由题意，函数，所以，当时，函数为单调递增函数；当时，函数为单调递减函数，所以当时，有

9、最大值，此时最大值为200万元，故选C.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与最值问题，其中解答中熟记函数的导数在函数中的应用，准确判定函数的单调性是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.9、D【解析】设，根据是以为直角顶点的直角三角形，且，以及双曲线的性质可得，再根据勾股定理求得的关系式，即可求解.【详解】由题意，设，如图所示，因为是以为直角顶点的直角三角形，且，由，所以，由，所以，所以，即，所以，所以，在直角中，即，整理得，所以，故选D. 【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，以及双曲线的几何性质离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：求出 ，代入

10、公式；只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围).10、A【解析】设立方体为以2为边长的正方体，分别求出甲乙丙的半径，即可得出答案。【详解】设立方体为以2为边长的正方体，则 ，所以【点睛】设立方体为以2为边长的正方体，分别求出甲乙丙的半径，即可得出答案。11、B【解析】随机变量服从正态分布，即对称轴是，故选12、B【解析】根据极值点个数、极值点与导函数之间的关系可确定的取值范围，结合为整数可求得结果.【详解】由题意得：.有两个极值点，解得：或.方程的两根即为的两个极值点，综上可得：，又是整数，.故选：.【点睛】本题考查极值与导数之间的关系，关键

11、是明确极值点是导函数的零点，从而利用根与系数关系构造方程.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据题意，可得函数f（x）的图象与直线y+1有三个不同的交点，画出f（x）的图象，结合图象求出实数的取值范围即可【详解】根据题意可得函数f（x）的图象与直线y+1有三个不同的交点，当x1时，函数f（x）maxf（），如图所示：则0+1，所以实数a的取值范围是2故答案为（2，）【点睛】本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，考查了转化、数形结合的数学思想，属于中档题14、【解析】将原方程转化为，令换元后构造函数，利用导数研究的单调性，由此求得的值域，进而求得的取值范围.【详解】

12、两边同时除以可得，令题意即为存在使得成立，显然时等式不成立，故当时，存在使得成立。记由得在上为减函数，在为减函数，在为增函数；且，从而，故.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、值域，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.15、1【解析】设，,代入方程利用复数相等即可求解，求模即可.【详解】设，,则，整理得：解得，所以，故答案为1【点睛】本题主要考查了复数的概念，复数的模，复数方程，属于中档题.16、【解析】利用导数的运算法则及导数的公式求出导函数，再令导函数中的，即可求出导数值【详解】因为函数所以所以在处的导数值是，故答案为.【点睛】本题主要考查导数的运算法则以及基本初等函数的

13、导数，属于简单题. 求函数的导数值时，先根据函数的形式选择合适的导数运算法则及导数公式，再求导数值三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解析】（1）利用导数求出的值，作为切线的斜率，并计算出，再利用点斜式写出切线的方程；（2）利用导数分析函数在区间上的单调性，并求出极值，再与端点值比较大小，即可得出函数在区间上的最大值和最小值。【详解】（1），所以，函数的图象在点处的切线的斜率为，所以，函数的图象在点处的切线方程为，即；（2），。当时，；当时，。所以，因为，所以，则，所以，函数在上的最大值为。【点睛】本题考查导数的几何意义，考查函数的最值与导数，在

14、处理函数的最值时，要充分利用导数分析函数的单调性，并将极值与端点函数值作大小比较得出结论，考查计算能力与分析问题的能力，属于中等题。18、证明见解析【解析】首先计算，猜想， 再用数学归纳法证明.【详解】 猜想， 下面用数学归纳法证明：时，猜想成立； 假设时猜想成立，即则时，由及得 又=, 时猜想成立.由知.【点睛】本题考查了数学归纳法，意在考查学生的归纳推理能力和计算能力.19、（1）见解析（2）【解析】试题分析：（） 要证线线垂直，一般先证线面垂直，注意到底面，考虑证明与平面平行（或其内一条直线平行），由于是中点，因此取中点（实质上是与的交点），可证是平行四边形，结论得证；（）求三棱锥的体积

15、，采用换底，即，由已知可证就是三棱锥的高，从而易得体积试题解析：（）连结与交于点，则为的中点，连结， 为线段的中点，且又且且四边形为平行四边形，, 即又平面,面, ,（）平面，平面,平面平面，平面平面，平面，平面.三棱锥的体积考点：线面垂直的判定与性质，三棱锥的体积20、（1）函数的极小值为，无极大值；（2）证明见解析.【解析】（1）求出的导数，根据=0得到极值点，遂可根据单调区间得出极值.（2）根据，可转化为.令，只需设法证明可得证.【详解】（1）当时， 令得或，随x的变化情况：x1-0+-0+1函数的极小值为，无极大值. （2）证明：当时，若成立，则必成立， 令，在上单调递增，又，在上有唯

16、一实根，且，当时，；当时， 当时，取得最小值，由得：，当时，.【点睛】本题考察了函数的单调区间、极值点、导数的应用、零点和根的关系等知识的应用，主要考察了学生的运算能力和思维转换能力，属于难题.21、（1）；（2）当时，取得最小值.【解析】（1）根据题中组合数的定义计算出的值；（2）根据题中组合数的定义求出函数，然后利用基本不等式求出函数的最小值，并计算出等号成立对应的的值.【详解】（1）由题中组合数的定义得；（2）由题中组合数的定义得因为，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，所以当时，取得最小值【点睛】本题考查组合数的新定义，以及利用基本不等式求函数最值，解题的关键就是利用题中组合数的新定义进行化简、计算，考查运算求解能力，属于中等题.22、