流体动力学微分形式的基本方程

1、流体动力学微分形式的基本方程第1页，共81页，2022年，5月20日，11点0分，星期四4.1 连续性方程与流函数 1. 连续性方程（1）方程的推导第2页，共81页，2022年，5月20日，11点0分，星期四 液体三元流动的连续性方程第3页，共81页，2022年，5月20日，11点0分，星期四 液体三元流动的连续性方程第4页，共81页，2022年，5月20日，11点0分，星期四 依据质量守恒定律： x 向质量净通率：y、z 向质量净通率分别为：和第5页，共81页，2022年，5月20日，11点0分，星期四 体积内的质量减少率 ：则有：第6页，共81页，2022年，5月20日，11点0分，星期四

2、 除以体积xyz，并令x0,y0,z0取极限，得到直角坐标下的连续性方程 ：或第7页，共81页，2022年，5月20日，11点0分，星期四 或 柱坐标下的不可压缩流体连续性方程： 对于不可压缩流体：（2）方程的简化 对于恒定流动：第8页，共81页，2022年，5月20日，11点0分，星期四 （3）连续性方程的应用 判别流动能否发生。 求解某一未知速度分量。 与运动微分方程联立求解。 第9页，共81页，2022年，5月20日，11点0分，星期四2. 流函数(1) 定义二维不可压缩流体连续性方程为：当定义和，连续性方程自然满足。称为流函数。第10页，共81页，2022年，5月20日，11点0分，星

3、期四 (2) 物理意义常数时，则得到不同流线。为流线，当取不同 两条流线的流函数数值之差等于这两条流线间所通过的单宽流量。第11页，共81页，2022年，5月20日，11点0分，星期四 公式表明，两条流线间所通过的单宽流量等于两个流函数数值之差。且，引入后可将求ux，uy的问题化为求 的问题。第12页，共81页，2022年，5月20日，11点0分，星期四 4.2 运动微分方程1. 应力形式的运动微分方程（1）运动流体一点处的应力状态第13页，共81页，2022年，5月20日，11点0分，星期四 双下标含义： 第一个下标：作用面的外法线方向， 第二个下标：应力的方向。 正的应力：正面、正力或负面

4、、负力。 负的应力：正面、负力或负面、正力。第14页，共81页，2022年，5月20日，11点0分，星期四 第15页，共81页，2022年，5月20日，11点0分，星期四 依据牛顿第二定律。 六面体流体元中心点M的坐标为 x，y，z，应力状态为，可求出各面中心点的应力。（2）方程的推导 外力的 x 向分量 Fx ： 质量力的x向分量：以x方向为例 ：第16页，共81页，2022年，5月20日，11点0分，星期四 表面力的 x 向分量： 加速度的 x 向分量 ax ： 质量 m ：第17页，共81页，2022年，5月20日，11点0分，星期四 除以xyz，并令 x0,y0,z0 取极限，得出同理

5、可得 y、z 向方程。第18页，共81页，2022年，5月20日，11点0分，星期四 应力形式的运动微分方程为存在问题： 方程组不闭合（4个方程，9个未知量）。第19页，共81页，2022年，5月20日，11点0分，星期四 2. 不可压缩流体的应力与应变率关系第20页，共81页，2022年，5月20日，11点0分，星期四 3. 纳维斯托克斯方程（NS方程）第21页，共81页，2022年，5月20日，11点0分，星期四写成矢量形式：方程各项的含义： 左端：惯性力 右端：质量力、压力（压强梯度力）、粘性力 第22页，共81页，2022年，5月20日，11点0分，星期四4.3 NS 方程组求解的分析

6、1. NS方程组矢量式：第23页，共81页，2022年，5月20日，11点0分，星期四分量式：第24页，共81页，2022年，5月20日，11点0分，星期四给出定解条件初始条件边界条件理论上，方程组可解。第25页，共81页，2022年，5月20日，11点0分，星期四2. NS方程组的特点 非线性 二阶 偏微分 方程组一般情况下， NS方程组难于求解。第26页，共81页，2022年，5月20日，11点0分，星期四3. 主要解法 （1）层流精确解 对于某些简单流动，非线性项为零，可求得精确解。例如： 平行平板间的二维恒定层流运动第27页，共81页，2022年，5月20日，11点0分，星期四 斜面上

7、具有等深自由面的二维恒定 层流运动第28页，共81页，2022年，5月20日，11点0分，星期四 等直径圆管恒定层流运动第29页，共81页，2022年，5月20日，11点0分，星期四（2）近似解为什么要求近似解？ 由于仅在少数简单流动情况下才能得到精确解，为此求近似解。 仅在两种极端雷诺数情形下，通过略去NS方程中的个别项，才能求得近似解。第30页，共81页，2022年，5月20日，11点0分，星期四 小雷诺数流动蠕动流 Re 1 惯性力 1 惯性力 粘性力当全部略去粘性项， 会出现什么样的结果呢？ NS方程组欧拉方程组（理想流体）计算结果不适用于固体壁面附近适用于远离固体壁面的流场第33页，

8、共81页，2022年，5月20日，11点0分，星期四为什么不适用于固体壁面附近？ 计算结果与实际不符合： 边界条件不符合 阻力规律不符合 流型不符合第34页，共81页，2022年，5月20日，11点0分，星期四 1904年，普朗特提出边界层概念，将微粘流体的广大流场划分为边界层和外流区，分别用边界层理论和势流理论求解。第35页，共81页，2022年，5月20日，11点0分，星期四（3）数值解属于计算流体力学范畴。（4）实验解属于实验流体力学范畴。第36页，共81页，2022年，5月20日，11点0分，星期四4.4 层流精确解举例1. 平行平板间的二维恒定层流运动重力作用下的两无限宽水平平行平板

9、间的二维恒定不可压缩流体的层流运动。平板间距为a，流体的密度为，动力粘度为，上板沿 x 方向移动的速度 U 为常量，试求平板间流体的速度分布。 第37页，共81页，2022年，5月20日，11点0分，星期四求解步骤： 绘图并选取坐标系及坐标取向。 依据题中条件，简化NS方程组。 依据题意，给出边界条件。 解方程组。第38页，共81页，2022年，5月20日，11点0分，星期四（1）选直角坐标系 取 x 轴 沿下板， z 轴垂直于平板。（2）简化NS方程组 由二维流动可知 uy0，且各量与y 无关； 由流体作平行于x 轴的流动，可知 uz0， 故仅有ux ； 由恒定流可知 ； 第39页，共81页

10、，2022年，5月20日，11点0分，星期四 由不可压缩流体的连续性方程和即 ux 仅是 z 的函数；可知和第40页，共81页，2022年，5月20日，11点0分，星期四 由重力场可知单位质量力 即 X = Y = 0，Z = -g。于是 NS 方程组简化为（1）（2）第41页，共81页，2022年，5月20日，11点0分，星期四（3）边界条件z 0， ux0；z a ， uxU（3）（4）（4）解方程组 先解（2）式，得（5）求得（6）表明 与 z 无关，对 z 积分解（1）式时， 可作为常量看待。第42页，共81页，2022年，5月20日，11点0分，星期四 对（1）式积分二次得到则流速分

11、布为利用边界条件（3）、（4）求得（8）（7）第43页，共81页，2022年，5月20日，11点0分，星期四（5）讨论 当 ，得出，为科耶特流动。第44页，共81页，2022年，5月20日，11点0分，星期四，为泊肃叶流动。 当得出U = 0第45页，共81页，2022年，5月20日，11点0分，星期四最大流速 ：单宽流量:断面平均流速与最大流速之比：断面平均流速：第46页，共81页，2022年，5月20日，11点0分，星期四2. 斜面上具有等深自由面的二维恒定层流运动重力作用下的无限宽斜面上具有等深自由面的二维恒定不可压缩流体的层流运动。若深度H为常量，斜面倾角为，流体的密度为 ，动力粘度为

12、，液面压强 pa为常量，且不计液面与空气之间的粘性切应力，试求流体的压强分布、速度分布、断面平均流速及作用于斜面上的粘性切应力。 第47页，共81页，2022年，5月20日，11点0分，星期四第48页，共81页，2022年，5月20日，11点0分，星期四（1）选直角坐标系 取 x 轴沿斜面， z 轴垂直于斜面。（2）简化NS方程组（1）（2）得出第49页，共81页，2022年，5月20日，11点0分，星期四（3）边界条件z 0， ux0；（3）（5）（4）第50页，共81页，2022年，5月20日，11点0分，星期四（4）解方程组 先解（2）式，得出 利用边界条件（5）式，确定 ，得出压强分布

13、：（6）第51页，共81页，2022年，5月20日，11点0分，星期四则流速分布为： 利用边界条件（3）、（4）求得（7）该式表明：p 与 z 成线性关系，与 x 无关。对（1）式积分二次，得到第52页，共81页，2022年，5月20日，11点0分，星期四（10）最大流速（z =H）：（8）单宽流量:（9）断面平均流速： 进而，求得：U断面平均流速与最大流速之比：（11）U第53页，共81页，2022年，5月20日，11点0分，星期四（12）粘性切应力分布：斜面上的粘性切应力：（13）需要指出，在实际应用中，对于宽浅河道，由于河宽 B 远远大于水深 H ，可按二维明渠水流计算。当水流为二维明渠

14、均匀层流时，可直接应用本例计算结果。第54页，共81页，2022年，5月20日，11点0分，星期四3. 等直径圆管恒定层流运动重力作用下的等直径圆管中的恒定不可压缩流体的层流运动。若圆管半径为r0 ，流体的密度为 ，动力粘度为，试求流体的速度分布、断面平均流速及作用于管壁上的粘性切应力。 第55页，共81页，2022年，5月20日，11点0分，星期四第56页，共81页，2022年，5月20日，11点0分，星期四（1）选用圆柱坐标系 取 z 轴与管轴重合， r 垂直于管轴和管壁，沿周向， h 表示铅直方向 。（2）简化 NS方程组得出：（1）第57页，共81页，2022年，5月20日，11点0分

15、，星期四（3）边界条件（4）解方程组 将（1）式化为：r 0， uz有限值；r r0 ， uz0（2）（3）（4）第58页，共81页，2022年，5月20日，11点0分，星期四（5） 利用边界条件（2）、（3）求得由（4）式可知（ p +gh）与 r和无关，仅为 z 的函数，对r 积分求uz 时，可将 作为常量看待，则得出第59页，共81页，2022年，5月20日，11点0分，星期四则流速分布为：（6） 进而，求得：最大流速（r0）：（7）第60页，共81页，2022年，5月20日，11点0分，星期四流量:（8）断面平均流速与最大流速之比：（10）U断面平均流速：（9）U第61页，共81页，2

16、022年，5月20日，11点0分，星期四管壁上的粘性切应力：（12）粘性切应力分布：（11）需要说明：上述计算结果只适用于充分发展的均匀流动区，对于管道进口段则不适用。第62页，共81页，2022年，5月20日，11点0分，星期四1. 蠕动流概念当惯性力可被完全忽略而雷诺数趋近于零时，就会出现层流运动的极端情况，即蠕动流。小球在极粘流体中沉降以及液体穿过孔隙介质的流动（即渗流）均可作为蠕动流处理。4.5 蠕动流方程第63页，共81页，2022年，5月20日，11点0分，星期四忽略惯性力的条件意味着运动非常缓慢，迁移加速度没有明显的惯性作用及非恒定性可以忽略不计。第64页，共81页，2022年，

17、5月20日，11点0分，星期四2. 蠕动流方程略去惯性项后，重力场中不可压缩流体的 NS方程化为（1）或（2）第65页，共81页，2022年，5月20日，11点0分，星期四对（2）式两端取散度，并考虑到：对于不可压缩流体蠕动流问题可化为：在一定边界条件下求解拉普拉斯方程的问题。得出（3）及第66页，共81页，2022年，5月20日，11点0分，星期四1. 层流与紊流 粘性流动中的两种流态：层流与紊流（湍流） 1839年哈根通过圆管试验首次发现这两种流态。 1883年雷诺通过圆管流动试验，清楚地演示这两种流态，如图所示。4.6 紊流基本概念第67页，共81页，2022年，5月20日，11点0分，

18、星期四圆管流动的临界雷诺数：U（a）层流 （b）紊流第68页，共81页，2022年，5月20日，11点0分，星期四2. 雷诺方程（1） 求时均的规则紊流为相当复杂的流动型态。流体质点激烈混掺，导致运动要素随时间作随机变化。第69页，共81页，2022年，5月20日，11点0分，星期四大量的实验表明：无论瞬时值如何变化，只要取足够长的时段，其时间平均值（简称时均值）就是确定的。时均值 可定义为瞬时值时均值脉动值 ，则有第70页，共81页，2022年，5月20日，11点0分，星期四容易证明：若可利用这些关系式推导紊流基本方程。则得出第71页，共81页，2022年，5月20日，11点0分，星期四（2

19、） 雷诺方程的推导 NS方程组为粘性流体的基本方程组，既适用于层流，也适用于紊流的瞬时值。 将“瞬时值”表示为“时均值脉动值”，并用求时均规则，可以导出雷诺方程：第72页，共81页，2022年，5月20日，11点0分，星期四第73页，共81页，2022年，5月20日，11点0分，星期四雷诺方程中增加了由雷诺应力：构成的附加项。雷诺应力为二阶对称张量。 由于雷诺应力分量均未知，雷诺方程组不闭合，必须补充方程后才能求解。第74页，共81页，2022年，5月20日，11点0分，星期四3. 关于紊流的求解（1） 半经验理论利用部分得到证明的假设，去建立雷诺应力与时均量之间的关系，以解决紊流基本方程的封闭问题。主要有： 布辛涅斯克涡粘性系数； 普朗特混和长度理论； 泰勒涡量传递理论； 卡门相似理论等。可归入一阶封闭模式或零方程模型范围。第75页，共81页，2022年，5月20日，11点0分，星期四（2） 二阶封闭模式的紊流模型主要有：雷诺应力模型（微分模型，RSM）；代数应力模型（k-A 模型