自动控制原理及应用教案

1、第一章 自动控制的基本知识1.1自动控制的一般概念1.2自动控制系统的组成1.3自动控制系统的类型1.4 对控制系统性能的要求1.1.1自动控制技术自动控制技术被大量应用于工农业生产、医疗卫生、环境监测、交通管理、科研开发、军事领域、特别是空间技术和核技术。自动控制技术的广泛应用不仅使各种生产设备、生产过程实现了自动化，提高了生产效率和产品质量，尤其在人类不能直接参与工作的场合，就更离不开自动控制技术了。自动控制技术还为人类探索大自然、利用大自然提供了可能和帮助。 1.1.2自动控制理论的发展过程1945年之前，属于控制理论的萌芽期。 1945年，美国人伯德（Bode）的“网络分析与放大器的设

2、计”奠定了控制理论的基础，至此进入经典控制理论时期，此时已形成完整的自动控制理论体系。 二十世纪六十年代初。用于导弹、卫星和宇宙飞船上的“控制系统的一般理论”（卡尔曼Kalman）奠定了现代控制理论的基础。现代控制理论主要研究多输入-多输出、多参数系统，高精度复杂系统的控制问题，主要采用的方法是以状态空间模型为基础的状态空间法，提出了最优控制等问题。七十年代以后，各学科相互渗透，要分析的系统越来越大，越来越复杂，自动控制理论继续发展，进入了大系统和智能控制时期。例如智能机器人的出现，就是以人工智能、神经网络、信息论、仿生学等为基础的自动控制取得的很大进展。1.2自动控制系统的组成1.2.1自动

3、控制系统的结构与反馈控制理论图中为放水阀，为进水阀，水箱希望的液位高度为。当放水使得水箱液位降低而被人眼看到，人就会打开进水阀，随着液位的上升，人用大脑比较并判断水箱液位达到时，就会关掉。若判断进水使得实际液位略高于，则需要打开放水而保证液位高度。在这个过程中，人参与了以下三个方面的工作：用眼睛观察到实际液面的下降（实际液面高度）；用大脑将实际液面与要求液面高度进行比较（与产生偏差）；根据比较的结果（与偏差的正负），用手操作阀的开启或闭合。显然，在这个控制系统中，用人工控制不能保证系统所需的控制精度，并且需要人全程的参与。为减轻人的劳动强度，因此可将上述系统改换为图1-2所示的液位自动控制系统

4、。 被控对象：水箱，其中水箱液位是被控对象中的被控量；检测及转换装置：浮子及电位器，它将水箱实际液位高度转换为电压；比较环节：浮子的位置转换的实际电压与给定电压（对应要求的液位高度）通过差动放大器比较产生偏差；控制装置：根据偏差的大小、极性，通过放大器和电动机产生控制信号作用在进水阀上；执行机构：进水阀根据控制信号产生动作，改变水箱液位高度，从而自动控制水箱液位，使其满足给定值的要求1.2.2开环控制与闭环控制一、开环控制系统 是指系统的被控量只受控于控制量，而对控制量不能反过来施加影响的系统，即输出量与输入量间不存在反馈的通道。这种系统既不需要对输出量进行测量，也不需要将输出量反馈到系统输入

5、端与输入量进行比较。控制装置与被控对象之间只有顺向作用，没有反向联系。二、闭环控制系统闭环控制系统是指在控制器与被控对象之间不仅有正向控制作用，而且输出端与输入端之间还存在反馈控制作用的系统。反馈有正反馈和负反馈之分。当反馈量极性与输入量同相时为正反馈。正反馈应用较少，只是在补偿控制中偶尔使用。当反馈量极性与输入量反相时，则称为负反馈。闭环控制的实质就是利用负反馈，使系统具有自动修正被控量（输出量）偏离参考给定量（输入量）的控制功能。因此，闭环控制又称反馈控制，闭环控制系统又称为反馈控制系统。闭环控制系统的优点是抑制干扰的能力强，对元件特性变化不敏感，能改善系统的响应，适用范围广。在闭环控制系

6、统中，无论是由于外部扰动还是系统内部扰动，只要使被控制量偏离给定值，闭环控制就会利用反馈产生的控制作用去消除偏差。但也正由于反馈的引入增加了系统的复杂性。另外由于闭环系统是检测偏差用以消除偏差来进行控制的，在工作过程中，系统总会存在偏差，由于元件惯性等因素，很容易引起系统的振荡，从而使系统不能稳定工作。因此控制精度和稳定性之间的矛盾始终是闭环控制系统存在的主要矛盾。1.2.3自动控制系统举例调速控制系统 恒温箱控制系统导弹发射架方位角控制系统1.3自动控制系统的类型1.3.1恒值系统、程序控制系统与随动系统 按输入信号的变化规律进行划分，一、恒值控制系统所谓恒值控制系统，是指这类控制系统的给定

7、值是恒定不变的。该类系统中，输入信号在某种工艺条件下一经给定就不再变化。系统主要的控制任务就是抑制各种干扰因素的影响，使被控量维持不变或在允许范围内。二、程序控制系统程序控制系统的给定值是变化的，但这个给定值是按照工艺规程规定的，变化规律预知的时间函数。该类系统中，输入信号根据设定程序自动变化，系统按设定程序自动运行，要求被控量也按照同样的规律变化，即要求被控量迅速准确的复现输入信号。三、随动控制系统随动控制系统也称自动跟踪系统，该类系统中，输入信号是预先不能确定的随时间任意变化的函数。该系统要求被控量以尽可能小的误差尽快地跟随输入量变化。生产过程中的比值控制就属于随动控制系统，在随动系统中，

8、扰动的影响是次要的，系统分析、设计的重点是系统的快速性和准确性。如果被控制量是机械位置或其导数，这种随动系统我们也称作伺服系统。 随动系统和程序控制系统的参考输入量都是时间的函数，差别在于随动系统的输入量是未知的任意的时间函数，而程序控制系统的输入量是已知的时间函数。而恒值控制系统可以看作是程序控制系统的一种特例。1.3.2线性系统与非线性系统按系统各环节输入与输出关系的特征进行划分，可将系统划分为线性控制系统与非线性控制系统。一、线性控制系统线性控制系统中，所有环节（或元件）的输入输出都是线性关系，系统的状态和性能可以用线性微分方程来描述，线性系统满足叠加原理和齐次性原理，因此可以用线性系统

9、理论进行分析。线性控制系统又分为线性定常系统和线性时变系统。二、非线性控制系统该类系统中，至少有一个元件的输入输出关系是非线性的。因此不满足叠加原理和齐次性原理，必须采用非线性系统理论来分析。如存在死区、间隙和饱和特性的系统就是非线性控制系统。严格地说，实际物理系统中都含有程度不同的非线性元部件。对于非本质非线性元件可采用线性化处理，即在一定的工作范围内，用近似的线性方程代替非线性方程来分析1.3.3一、按系统参数是否随时间变化，可分为定常参数控制系统和时变参数控制系统。如果控制系统的参数在系统运行过程中不会随着时间的变化而发生改变，则称之为定常系统或者时不变系统，描述它的微分方程就是常系数微

10、分方程。反之就是时变系统。二、按系统传输的信号特征，可分为连续控制系统和离散控制系统。前一种系统中，所有信号的变化均为时间的连续函数，其运动规律可用微分方程来描述。后一种系统中，至少有一处信号是脉冲序列或数字量，其运动规律必须用差分方程来描述。离散控制系统如果利用计算机采样和控制，也称为数字控制系统。三、按照输入和输出信号的个数，可分为单变量系统和多变量系统。单变量系统又称为单输入-单输出系统，该系统只有一个输入信号(不包括扰动输入)和一个输出信号。多变量系统又称为多输入-多输出系统，即有多个输入信号和多个输出信号。1.4 对控制系统性能的要求1.4.1控制系统的稳态、动态与过渡过程对于一个闭

11、环控制系统而言，在理想情况下，系统输出量和输入量在任何时候都相等，没有误差，而且不受干扰的影响。即。这种状态称为平衡状态或静态、稳态。当输入量或扰动量发生变化，反馈量将与输入量之间产生偏差，通过控制器对控制系统的控制作用，使输出量最终稳定，即达到一个新的稳态。但实际控制系统中由于机械部分质量、惯性以及电路中储能元件（电感、电容）的存在，使得系统的输出量和反馈量总是迟后于输入量的变化。系统从一个平衡到另一个平衡无法瞬间完成，存在一个过渡过程，该过程也称为动态过程。系统控制性能的好坏，可以通过过渡过程表现出来。过渡过程的形式不仅与系统的结构和参数有关，也与参考输入和外加扰动有关。1.4.2对控制系

12、统性能的要求及技术指标稳定性是对控制系统最基本的要求，也是系统工作的首要条件。所谓稳定性，一般指当系统受到外部作用后，其动态过程的振荡倾向和能否恢复平衡状态的能力。准确性是对系统稳态（静态）性能的要求。对一个稳定的系统而言，准确性是指系统在动态过程结束，重新恢复平衡后，其被控量与给定值的偏差大小。该偏差称为稳态误差，用表示，是衡量稳态精度的指标。稳态误差越小，表示系统输出跟踪输入的精度就越高，即控制精度高。对于=0的系统，称为无静差系统；而0的系统，则称为有静差系统。 快速性控制系统除要求具有稳定性和较高的稳态精度之外，还要求系统的响应具有一定的快速性。快速性是指在系统稳定的前提下，系统通过自

13、身调节，最终消除输出量与给定值之间偏差的快慢程度。也就是动态过程进行的时间的长短。时间越短，说明系统快速性越好 由于被控对象具体情况不同，各类系统对稳定性、准确性和快速性三方面性能要求是各有侧重点。例如恒值控制系统一般侧重于稳定性。而随动系统则对快速性和准确性的要求较高。就是在同一个系统中,三个方面的性能要求通常也是相互制约的，存在着矛盾。所以在设计系统时要充分考虑系统的具体要求，合理解决矛盾。对于控制系统的性能要求，除了可以归纳为以上三个方面进行分析外，还可以用性能指标进行描述。以下图所示的控制系统典型阶跃响应曲线为例，介绍几个常用的动态性能指标。（1）上升时间：对于振荡系统是指系统输出响应

14、从0开始第一次上升到稳态值所需要的时间。而对于无振荡系统则定义为系统输出响应从稳态值的10%上升到90%所需要的时间。上升时间越小，表明系统动态响应越快。 （2）峰值时间：指系统输出响应从0开始首次到达第一个峰值所需的时间。（3）最大超调量：指系统输出响应超出稳态值的最大偏离量占稳态值的百分比。即：（4）调节时间：又称建立时间。指系统的输出响应与稳态值之差首次进入并不再超出误差带所需要的时间。误差带的范围，取决于设计的要求，通常取稳态值的5%或2%。调节时间小，表示系统动态响应过程短，快速性好。 （5）振荡次数：指在调节时间内输出响应的振荡周期数。即系统输出响应穿越稳态值次数的一半。振荡次数越

15、小，表明系统稳定性好。 以上几个性能指标中，最大超调量和振荡次数反映了系统的稳定性，调节时间、上升时间和峰值时间反映系统的快速性，而前面所介绍的稳态误差则反映系统的准确性。第二章 控制系统的数学模型 本章概述在控制系统的分析和设计中，必须首先建立系统的数学模型，它是进行系统分析和设计的首要任务。 所谓控制系统的数学模型，是指表示系统内部物理量之间关系的数学表达式。数学模型的种类很多，常用的有：微分方程、传递函数、动态结构图和频率特性等。建立控制系统数学模型的方法一般有分析法和实验法两种 。 学习指导：正确理解数学模型的概念；掌握建立微分方程的一般方法；会用部分分式展开法进行拉氏反变换；正确理解

16、传递函数的定义和性质；正确理解动态结构图的概念和构成，掌握动态结构图化简方法；理解控制系统的几种重要传递函数。章节连接第一节 控制系统的微分方程第二节 拉普拉斯变换第三节 传递函数第四节 动态结构图第五节 MATLAB中的数学模型及其等效变换本章小结第一节微分方程一、微分方程的标准形式特点描述：（1）微分方程只含有输入量和输出量，不含其它中间变量。（2）含有输出量的项写在等号左边，含有输出量的项写在等号右边。（3）等号两边各项均按微分降次排列。二、建立微分方程的步骤（1）确定系统的输入量、输出量以及必要的中间变量。（2）建立系统的微分方程式组。根据系统各环节所遵循的基本物理规律，列写出各变量之

17、间的约束关系式，构成微分方程式组 。（3）消除中间变量，得到系统的微分方程，并化成标准形式 。根据电阻元件和电容元件的电压、电流约束关系及基尔霍夫定律可得（3）消去中间变量，得到微分方程的标准形式 根据电阻元件和电容元件的电压、电流约束关系及基尔霍夫定律可得（3）消去中间变量，得到微分方程的标准形式 举例建立微分方程例2-1：下图所示的RC电路，以为输入量，以为输出量，试建立该电路的微分方程。解：（1）确定输入量、输出量及中间变量 ur为输入量， uc为输出量，以电路的电流i为中间变量。 （2）列写微分方程组例2-2：图2-2例2-2：图2-2所示的RLC混联电路，以为输入量，以为输出量，试建

18、立该电路的微分方程。（3）消去中间变量可得图2-2解：（1）取为输入量，为输出量，电流为中间变量。（2）建立微分方程组思考：微分方程组包括几个方程？列写微分方程时，输入量和输出量是由要求确定的，而中间变量往往要先对所给电路（或系统环节）进行初步分析，根据列写方程的需要而选定的，中间变量选取可能不是唯一的，电路（或环节）越复杂，中间变量选取的灵活性越大，但得出的微分方程是相同的。一般地，若选取m个中间变量，则列出的方程组包含个m+1独立的方程。 共有三个中间变量，需要列出四个独立的微分方程三、微分方程的求解直接求解微分方程特别是解高阶微分方程是很麻烦的。工程上常采用拉普拉斯变换的方法求解线性微分

19、方程。 第二节拉普拉斯变换应用拉普拉斯变换可将微分方程的求解转化为代数方程的求解，使线性系统的分析大大简化 。拉普拉斯变换是分析线性定常系统的有力的数学工具 。自动控制系统的其它数学模型都是建立在拉普拉斯变换基础之上的 。一、拉普拉斯变换的定义二、常见函数的拉氏变换二、拉氐变换的性质1二、拉氐变换的性质1、比例定理：若则拉氏变换具有如下性质：2、叠加定理：33、相似定理：方法一：直接变换方法二：相似定理4、位移定理：4、位移定理：5、微分定理：5、微分定理：66、终值定理：解：解：小结拉氐变换的性质1小结拉氐变换的性质1、比例定理：2、叠加定理：3、相似定理：4、位移定理：5、微分定理：6、终

20、值定理：若则拉氏变换具有如下性质：三、拉氏反变换部分分式展开法三、拉氏反变换部分分式展开法拉氏反变换：由F(s)求f(t)的运算，称为拉氏反变换。解：解：则所以求其拉氏反变换求其拉氏反变换结果检查:【随堂练习】求其拉氏反变换结果检查求其拉氏反变换结果检查:【随堂练习】其中其中 解：解：实系数方程虚根总是成对出现。当特性方程有虚根时，常采用配方的方法，使实系数方程虚根总是成对出现。当特性方程有虚根时，常采用配方的方法，使F(s)展开式中出现如下形式的部分分式 例例2-8求其拉氏反变换。解：例2-8求其拉氏反变换。例2-8求其拉氏反变换。解： 令同原式相比较，由对应项系数相等，得【随堂练习】求其拉

21、氏反变换结果检查【随堂练习】求其拉氏反变换结果检查:四、应用Matlab进行部分分式展开Matlab中象函四、应用Matlab进行部分分式展开Matlab中象函F(s)的表示：分子分母同次象函数的输入：象函数的展开式：求展开式函数：例2-9-1用例2-9-1用Matlab求其展开式。执行结果：所以有：用Matlab求其展开式。执行结果：用Matlab求其展开式。执行结果：所以有：例2-9-2五、微分方程的求解求解步骤如下：将微分方程进行拉氏变换，得到以为变量的代数方程。解代数方程，求出输出量的拉氏变换表达式，即关于的有理分式。对输出量的拉氏变换式进行部分分式展开。再进行拉氏反变换，所得时域表达

22、式就是微分方程的解。解：解：对方程两边取拉氏变换得将初始条件代入上式整理得即令即即所以第三节 传递函数1.传递函数（Transfer Function）是在利用拉氏变换求解线性微分方程的基础上得到的一个重要概念，它是控制系统在复数域的数学模型，同时也是经典控制理论中用得最多的一种动态数学模型。 2.传递函数是经典控制理论中最基本和最重要的概念。 二、传递函数的求取由微分方程求传递函数：零初始条件下，根据微分定理，对微分方程进行拉氏变换。例如，某RC二、传递函数的求取由微分方程求传递函数：零初始条件下，根据微分定理，对微分方程进行拉氏变换。例如，某RC电路的微分方程为RLC元件的复阻抗三、传递函

23、数的性质三、传递函数的性质传递函数具有如下性质：传递函数具有如下性质：(1) 传递函数为变量s的有理分式，且(2) 只适用于单输入单输出线性定常系统。(3) 传递函数是系统的固有特性，与外加信号无关。 (4) 只适用于零初始条件系统。(5) 系统的性质由传递函数的极点决定 。五、典型环节的传递函数第四节 动态结构图1.控制系统是由典型环节组成的，将各环节的传递函数框图，根据系统的物理原理，按信号传递的关系，依次将各框图正确地连接起来，即为系统的动态结构图（Dynamic Block Diagram）。2.动态结构图是系统的又一种动态数学模型，采用动态结构图便于求解系统的传递函数，同时能形象直观

24、地表明信号在系统或元件中的传递过程。 一、动态结构图的组成系统动态结构图由四种基本符号构成，即信号线、引出点、综合点和方框。 动态结构图的基本符号（1）信号线：是带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在信号线上可标记信号的复域名称 。(2) 引出点：表示信号引出或测量的位置。从同一位置引出的信号在数值和性质方面完全相同。(3)综合点：表示对两个及两个以上的信号进行代数运算，“+”号表示相加，“”号表示相减，“+”号通常可省略 。(4)方框：表示对信号进行的数学变换。方框中写入元部件或系统的传递函数。显然，方框的输出量等于方框的输入量与传递函数的乘积，即 C(s)=R(s)G(s)。二、环节的基本

25、联接方式环节之间的基本联接方式有三种：串联、并联和反馈联接。 1、 环节的串联前一环节的输出为后一环节的输入 。串联环节的总传递函数等于各环节传递函数的乘积2.环节的并联几个环节同时受一个输入信号的作用，而输出信号又汇合在一起，环节的这种联接方式称为并联。 几个环节同时受一个输入信号的作用，而输出信号又汇合在一起，环节的这种联接方式称为并联。 并联环节的总传递函数为各环节传递函数的代数和。 3.反馈联接首尾相联，形成一个闭合回路，这种联接方式称为反馈联接。 R(s)为系统的输入信号， C(s)为系统的输出信号；B(s)为系统的反馈信号 。前向通道中的环节G(s)称为前向环节；反馈通道中的H(s

26、)称为反馈环节。 反馈方式分为正反馈和负反馈两类 环节的基本联接方式环节的基本联接方式3.反馈联接三、结构图的等效等效变换三、结构图的等效等效变换同一信号线上引出量都一样分析：首先要通过综合点或引出点的移动，消除交叉连接。分析：首先要通过综合点或引出点的移动，消除交叉连接。解：【课堂练习】：求下图所示系统的传递函数 结果检查解：化简过程如下解：化简过程如下第五节第五节 闭环系统的传递函数一、开环传递函数一、开环传递函数在反馈控制系统中，定义前向通路的传递函数与反馈通路的传递函数的乘积为开环传递函数，通常记为G(s)，它等于此时B(s)与R(s)的比值。即二、闭环传递函数二、闭环传递函数1.给定

27、信号作用下系统的闭环传递函数 闭环传递函数闭环传递函数2.扰动信号作用下系统的闭环传递函数 三、误差传递函数三、误差传递函数1.闭环系统在输入信号和干扰作用时，以误差信号E(s)作为输出量时的传递函数称为误差传递函数。 2.规定系统的误差为E(s)=R(s)-B(s)。 3.R(s)作用下系统的误差传递函数，是取D(s)=0时的 E(s)/R(s) 4.D(s)作用下系统的误差传递函数，是取R(s)=0时的 E(s)/D(s) RR(s)作用下系统的误差传递函数 取D(s)=0时的E(s)/R(s)，其结构图如下图所示。 DD(s)作用下系统的误差传递函数 取R(s)=0时的E(s)/D(s)

28、，其结构图如下图所示。 本章小结1.描述系统动态性能的数学表达式称为数学模型。常用的数学模型有：微分方程、传递函数、动态结构图和频率特性。在分析系统之前必须建立系统的数学模型。2.微分方程是控制系统最基本的数学模型，也是系统的时域数学模型。建立系统的微分方程一般分为三步：（1）确定输入量、输出量及中间变量；（2）列写微分方程式组；（3）消去中间变量，得到微分方程的标准形式3.拉氏变换是经典控制理论中最常用的数学工具，应用拉氏变换可将解微分方程问题转化为解代数方程，拉氏变换是传递函数和频率特性的理论基础。熟练掌握常用函数的拉氏变换是进行拉氏变换和反变换基础。4.传递函数是零初始条件下，线性定常系

29、统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。传递函数适用于单输入单输出系统、线性定常系统、零状态系统；传递函数是系统的固有特性，即只与系统的内部结构和参数有关，而与外加输入量或扰动量无关；传递函数一般为真分式。传递函数是自动控制系统的复域数学模型，也是最常用的数学模型。5.动态结构图是将传递函数与方框图相结合在一起的图形化数学模型，既能反映系统的构成，又能反映各环节变量之间的数学关系。动态结构图经等效变换能方便地求出系统的传递函数。等效变换的原则是保持被变换部分的输入量和输出量之间的数学关系不变。6. 控制系统可看作由若干个典型环节组成的，掌握这些典型环节传递函数及其特性有助于对系统性能进行分析

30、。7.控制系统的传递函数可分为开环传递函数、闭环传递函数和误差传递函数，其中闭环传递函数和误差传递函数又分为输入量作用下的传递函数，和扰动量作用下的传递函数。第三章 控制系统的时域分析时域分析法是一种直接在时间域中对系统进行分析的方法。因为工程中的控制系统总是在时域中运行的。当系统输入了某个信号时（这个输入信号总可以分解为各种典型信号之和），根据系统的传递函数的拉普拉斯变换作为数学工具，总可以求控制系统当时的系统输出情况，进而评价这过程中的系统性能是否是我们希望的稳、准、快 3.1线性定常系统的时域响应单输入单输出 阶线性定常系统，可以用一个常系数线性微分方程来描述，即：系统在输入信号作用下，

31、输出随时间变化的规律，即微分方程的解，就是系统的时域响应。方程的解由两部分组成，即：式中， 是齐次微分方程的通解， 是非齐次微分方程的一个特解。齐次微分方程的通解是由微分方程对应的特征方程的特征根决定的，因此先求出微分方程对应的特征方程为： 若有 若有 个不相等的特征根 ，则齐次微分方程的通解为：若有重根或共轭复根，其对应的时域响应为 或 齐次微分方程的通解与系统结构参数及初始条件有关，而与输入信号无关，是系统响应的过渡过程的描述，被称为系统的瞬态响应。而非齐次微分方程的特解是受输入信号影响的，是系统的稳态响应。系统的稳态响应是在时间 时系统的输出，它跟踪输入信号的能力或者说它与输入信号间的差

32、距，实际上反映了系统的稳态性能指标稳态误差；系统的瞬态响应对应输入信号作用开始到系统重新达到新稳态的过渡过程，反映着系统的瞬态性能指标稳定性、快速性等性能参数。闭环极点与系统瞬态响应的关系 3.2 线性定常系统的稳定性分析 3.2.1如果系统受到外界扰动，无论其初始偏差多大，取消扰动后系统都能以足够的准确度恢复到初始状态，称这样的系统为稳定系统。 系统的稳定性是系统能正常工作的前提。 系统的稳定性事实上反映在系统的动态响应中。（衰减） G HR(s) C(s)假设：系统外作用前为平衡状态，即c(t)0 设r(t)= (t) (按定义：相当于给扰动并马上取消)则其中1+GH=0 为特征方程改写：

33、 3.2.2线性系统稳定的充要条件考察一个系统如图所示：假设P1，假设P1，Pn为特征根 其中P1，Pk为实根 Pk+1，Pn为共轭复根， 则： 共轭复根（复极与二阶振荡环节相对应： 共轭复根（复极与二阶振荡环节相对应： 可见：因为可见：因为Pi为实根 ， 为复根实部特征根均具有负实部作为系统恢复到原平衡状态的条件。结论：线性定常系统稳定特征根均具有负实部事实上：稳定性判断只须利用特征多项式。（闭环极点均具负实部） 3.2.3 劳斯判据 一、判据 设稳定的必要条件：系统特征方程中所有系数a0，a1、-an均为实数、且大于零。（即系统特征方程不缺项且各系数同号）若系统满足稳定的必要条件，则系统可

34、能稳定，但需要通过充分条件最后确定。（一、二阶系统除外）劳斯表： 劳斯表： 结论：劳斯表中第一列所有元素均大于0时系统稳定，反之则不稳定，且第一列元素符号改变的次数具正实部特征根的数目。设系统特征方程为：设系统特征方程为：s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0劳 斯 表s6s5s0s1s2s3s41246357(64)/2=11(10-6)/2=227124635710(6-14)/1= -8-8 41 2劳斯表介绍劳斯表特点4 每两行个数相等1 右移一位降两阶2 行列式第一列不动3 次对角线减主对角线5 分母总是上一行第一个元素7 第一列出现零元素时，用正无穷小量代替。6 一行可

35、同乘以或同除以某正数2+87-8(2 +8) -7271 2 7 -8劳斯判据劳斯判据系统稳定的必要条件:有正有负一定不稳定!缺项一定不稳定!系统稳定的充分条件:劳斯表第一列元素不变号!若变号系统不稳定!变号的次数为特征根在s右半平面的个数!特征方程各项系数均大于零!-s2-5s-6=0稳定吗？例1：例1： Routh表：系统不稳定，符号改变二次，有二正 实部根（1，-6，5）例：已知闭环传递函数若系统稳定则例：已知闭环传递函数若系统稳定则 30-K0 且 k00k0） 例： 有二个正实部特征根 有二个正实部特征根 2.劳斯表中出现全02.劳斯表中出现全0行 例： 劳斯表出现零行设系统特征方程

36、为：劳斯表出现零行设系统特征方程为：s4+5s3+7s2+5s+6=0劳 斯 表s0s1s2s3s451756116601 劳斯表何时会出现零行?2 出现零行怎么办?3 如何求对称的根? 由零行的上一行构成辅助方程: 有大小相等符号相反的特征根时会出现零行s2+1=0对其求导得零行系数: 2s1211继续计算劳斯表1第一列全大于零,所以系统稳定错啦!由综合除法可得另两个根为s3,4= -2,-3解辅助方程得对称根: s1,2=j劳斯表出现零行系统一定不稳定出现全零行，说明特征方程有大小相等，号相反的特征根处理方法：利用全0行上一行系数构成辅助 方程并对S求导，用所得方程的 系数替代全0 行并继

37、续用ROUTH 判据。可见：不稳定，有一个正实部的特征根。 三.应用如何使系统具有较好的动态性能。稳定性对系统的动态性能有一定影响。一般认为：稳定性好，则对应动态性能好特征方程特征根在S平面上远离虚轴则稳定性好。 例：结构图： 系统为单位反馈系统要求：1.确定K 的稳定范围 2闭环特征根 （闭环极点）均位于S=-1垂线之左，求K=？解：1解：1方法：可令特征方程S=S1+a，代入方程，D(s1)=0利用劳斯判据即可。解：为使在S1平面，根在左半部须 1115-40k+270 40k-2700.675k0时，系统稳定分三种情况：0z1，过阻尼 =001012 13.5 二阶系统的时域分析一、数学

38、模型：二阶微分描述的运动方程。结构图：由惯性环节和比例积分环节组成的单位反馈系统。 单位反馈系统 =001012 10时，系统稳定分三种情况： 01，过阻尼1 欠阻尼系统0z1 -1/T-1/T1ImRe-1/T2单位阶跃响应此时， 可忽略（c(t)中对应项衰减快），亦即系统降为一阶 如前图示 Mp=0 ts=3T单位阶跃响应： 单位阶跃响应： 设=1，临界阻尼有 有 为单调上升曲线Mp=0, 如前图示。求得系数h(t)h(t)t时间tr上 升峰值时间tpAB超调量% =AB100%动态性能指标定义1h(t)t调节时间tsh(t)t时间tr上 升峰值时间tpAB超调量% =AB100%调节时间

39、tsh(t)h(t)t上升时间tr调节时间 ts动态性能指标定义2h(t)h(t)tAB动态性能指标定义3trtpts%=BA100%2 - 1S1,2=-nnS1,2=-n-n=S1,2 =jn01101j0j0j0j0二阶系统单位阶跃响应定性分析2(s)=s2+2ns+n2n2-j1-2 nS1,2=nh(t)= 1T2tT1T21e+T1tT2T11e+h(t)= 1-(1+nt) e- tnh(t)= 1-cosntj0j0j0j0T11T2111010sin(dt+)e- t h(t)=1-211n过阻尼临界阻尼欠阻尼零阻尼例：单位反馈系统，开环传递函数求1.K为不同值时,在单位阶跃

40、作用下的性能指标 2.K变化时,对性能指标影响解: K=200时有tr=0.082 , tp=0.119 , Mp=13% ts=3.3/17.25=0.19 , m=0.2381K=1500时Mp=50%可见,x ,Mp,ts,tr,tp均调节K可使性能指标改变.K=13.5时单位阶跃响应 tr=2.20T=1.06(s) tr=2.20T=1.06(s)，ts=3T=1.44(s) 系统成为过阻尼,(增大,使性能恶化)3.欠阻尼系统单位斜坡响应的误差(0 x0dB的范围内，系统开环对数相频特性曲线正、负穿越次数之差等于 ，即： = - = 其中，P为开环传递函数在右半平面的极点个数。 应注

41、意，当开环传递函数存在积分环节时，同样应在开环相频特性曲线 处增补 角度。 极坐标(a)与对数坐标(b)频率特性对照图 第四节 频域稳定性的判据 第四节 频域稳定性的判据 已知系统的开环传递函数 ，试用对数频率稳定判据判断系统的稳定性。 解：可以作出系统的对数频率特性曲线如图。图中在 处相频曲线增补 角度，如虚线所示，该虚线没有穿越 线，所以不影响穿越次数。可以看出正负穿越次数均为零。又由于右半平面开环极点数为0。所以系统稳定。 第四节 频域稳定性的判据第四节 频域稳定性的判据三、控制系统的稳定裕量 系统开环幅相频率特性曲线临界点附近的形状，对闭环稳定性影响很大。曲线越是接近临界点，系统的稳定

42、程度就越差。稳定裕量是衡量系统稳定程度的指标，常用的有相位裕度 和幅值裕度 两个性能指标，其几何表示如图。 第四节 频域稳定性的判据1.相位裕度 令幅频特性过零分贝时的频率为 （幅值穿越频率），则定义相位裕度 为： 第四节 频域稳定性的判据1.相位裕度 令幅频特性过零分贝时的频率为 （幅值穿越频率），则定义相位裕度 为： 相位裕度作为定量值指明了如果系统是不稳定系统，那么系统的开环相频特性还需要改善多少度就成为稳定系统。如果系统是稳定的，与上述描述相反。 2.幅值裕度 令相位为 时对应的频率为 （相位穿越频率），频率为 时对应的幅值 的倒数，定义为幅值裕度 ，即： 或 具有如下含义：如果系统是

43、稳定的，那么系统的开环增益增大到原来的 倍，则原来的系统就处于临界稳定状态，或者在伯德图上，开环对数幅频特性再向上移动多少分贝，系统就不稳定了。如果系统是不稳定系统，与上述描述相反。 具有如下含义：如果系统是稳定的，那么系统的开环增益增大到原来的 倍，则原来的系统就处于临界稳定状态，或者在伯德图上，开环对数幅频特性再向上移动多少分贝，系统就不稳定了。如果系统是不稳定系统，与上述描述相反。 在使用时， 和 是成对使用的。两幅相曲线具有相同的幅值裕度，而相位裕度却不同，相位裕度较大的系统更加稳定。 第四节 频域稳定性的判据返回第五节 闭环系统性能与开环频率特性的关系开环对数幅频特性曲线根据 的大小

44、，可以分为三个频段，低频段决定了系统的稳态性能，中频段决定了系统的快速性和平稳性，高频段决定了系统抑制噪声的能力。本节讨论三个频段和系统性能之间的关系，系统时域指标与频域指标之间的关系。一、频率特性与系统性能的关系 1. 系统稳态误差和开环频率特性的关系 2.系统的瞬态性能和开环频率特性中频段的关系 3.开环频率特性的高频段对系统性能的影响 二、频域性能指标与时域指标之间的关系 1. 二阶系统 2. 高阶系统L()=20lgA(L()=20lgA()=20lgvK=20lgK-v20lgL()/dB0KKK对数幅频特性曲线=0=1=2-20 对数幅频特性曲线的位置越高，开环增益K 越大，斜率越

45、负，积分环节数越多。系统稳态性能越好。1. 系统稳态误差和开环频率特性的关系 低频段对应函数为：对数幅频特性为： 第五节 闭环系统性能与开环频率特性的关系2.系统的瞬态性能和开环频率特性中频段的关系 穿越频率c附近的区段为中频段。它反映了系统动态响应的平稳性和快速性。 下面以两个极端的情况阐述该段对系统性能的影响 ：第一种情况：系统特性曲线在中频段的斜率为-20dB/sec，且占据很大的宽度 第二种情况：系统特性曲线在中频段的斜率为-40dB/dec，且占据很大的宽度。 （1）第一种情况开环传递函数： G(s) =SKSc 在一定条件下， c越大，ts 就越小，系统响应也越快。此时，穿越频率c

46、 反映了系统响应的快速性。第五节 闭环系统性能与开环频率特性的关系（2）第二种情况3.3.开环频率特性的高频段对系统性能的影响 第五节 闭环系统性能与开环频率特性的关系一般:即：则： 闭环幅频特性近似等于开环幅频特性。开环对数幅频特性高频段的幅值，直接反映了闭环系统对输入端高频信号的抑制能力，高频段分贝值越低，系统抗干扰能力越强 。第五节 闭环系统性能与开环频率特性的关系1. 二阶系统 第五节 闭环系统性能与开环频率特性的关系1. 二阶系统 设单位反馈二阶系统的开环传递函数为：（1） 与 之间的关系解得：则：第五节 闭环系统性能与开环频率特性的关系在时域分析中，有：由图明显看出， 第五节 闭环

47、系统性能与开环频率特性的关系在时域分析中，有：由图明显看出， 越小， 越小，超调量越大； 越大， 越大，超调量越小。为使二阶系统不致于振荡太厉害以及调节时间太长，一般希望30 70。（2） 、 与 之间的关系（2） 、 与 之间的关系第五节 闭环系统性能与开环频率特性的关系在时域分析中，知： 则：由图可以看出，调节时间与相角裕度 和幅值穿越频率 都有关系。如果两个二阶系统的 相同，则它们的超调量也相同，这时 比较大的系统，调节时间 较短。第五节第五节 闭环系统性能与开环频率特性的关系2. 高阶系统 对于高阶系统，开环频域指标与时域指标之间没有准确的关系式。但开环频域指标与时域指标近似的关系式为

48、： 可以看出系统开环对数频率特性表征了系统的性能。对于最小相位系统，系统的性能完全可由开环对数幅频特性反映出来。希望的系统开环对数幅频特性应具有以下几个方面： （1）如果要求具有一阶或二阶无静差特性，则开环对数幅频特性的低频段应有-20dB/dec或-40dB/dec的斜率。为保证系统的静态精度，低频段应有较高的增益。（2）开环对数幅频特性以-20dB/dec斜率穿越零分贝线，且具有一定的中频段宽度，这样系统就有一定的稳定裕度，以保证闭环系统具有一定的平稳性。 3）具有尽可能大的截止频率，以提高闭环系统的快速性。截止频率越大系统越容易受到干扰，所以应权衡考虑。（4）为了提高系统抗干扰的能力，开

49、环对数幅频特性高频段应有较大的负斜率。第六节 MATLAB中系统频率特性分析 本节将通过实例介绍MATLAB中频率特性的测试原理及方法，绘制系统Bode(伯德)图、Nyquist(奈氏图)图的方法，即如何利用margin函数求解相位裕度和幅值裕度。 下面就以几个例子来进一步说明。第六节 MATLAB中系统频率特性分析 例第六节 MATLAB中系统频率特性分析 例1：典型二阶系统闭环传递函数 ，绘制 时， 取不同值时的伯德图。 指令生成当 较小时，系统频域响应在自然频率 附近将出现较强的振荡。 由图可知，当K=10时，奈氏图不包围（由图可知，当K=10时，奈氏图不包围（-1，j0）点，因此闭环系

50、统是稳定的 。第六节 MATLAB中系统频率特性分析 已知控制系统的开环传递函数为： ，试绘制系统奈氏曲线，并用奈氏稳定判据判定开环放大系数K为10和50时，闭环系统的稳定性。 例2：K=10时输入指令界面 K=10时系统的奈氏图 第六节第六节 MATLAB中系统频率特性分析 K=50时输入指令界面 K=50时系统的奈氏图 由图可知，当K=50时，奈氏图顺时针包围（-1，j0）点，表明闭环系统不稳定，有两个右半S平面的极点。 第六节 MATLAB中系统频率特性分析第六节 MATLAB中系统频率特性分析 例3：已知控制系统系统的开环传递函数为 ，分别判定开环放大系数K为5和20时闭环系统的稳定性

51、，并求相位裕度和幅值裕度。 输入指令界面K=5时系统伯德图K=20时系统的伯德图当K=5时， ，闭环系统稳定。当K=20时， ，闭环系统不稳定。第五章 自动控制系统设计与校正内容介绍：概念、基本控制规律、频域 校正方法。5.1系统校正概述 前面几章对已知结构和参数的系统通过所建立的数学模型，可利用时域响应、频域响应等方法，进行动态和静态分析。 本章讨论系统的设计和综合问题（校正）就是根据系统性能指标确定系统的结构和系统匹配。 系统的性能指标包括稳态指标和动态指标： 稳态指标主要包括稳态指标主要包括:稳态精度，用 等误差系数表征。 动态指标：可用时域指标表示或用频域指标表示。时域指标通常用阶次响

52、应的特征量如 等表示.开环频域指标通常用 表示。开环频域指标通常用 表示。闭环频域指标常用 等表示。 系统校正定义：在初步设计的系统中，加入一些参数可调的机构和装置（即校正装置），使系统的整个特性发生变化，从而满足系统的各项指标。 一、 校正方式可分为：串联校正、反馈校正、前馈校正、复合校正。 串联校正：将校正装置串联在系统前向通路中的校正方式。 反馈校正：将校正装置放在局部反馈通路中的校正方式。 前馈校正：前馈校正装置连接在系统给定量之后及主反馈作用点之前的前向通道上。 复合校正：既有串联、又有反馈、又有前馈校正的方式。校正方式的选取：根据信号的性质、技术实现的方便性、可供选取的元件、经济性

53、条件及设计者的经验而定。 校正装置串联校正校正装置反馈校正 前馈校正 复合校正 一般，直流控制系统中多采用串联校正。 交流控制系统中多采用反馈校正。 需要强调的是：校正方案具有非统一性。 二、线性系统校正方法：根轨迹校正法（不讲） 频域校正法 （希望特性法）主要介绍频域校正法。 频域校正法：通过引入校正环节，改变频率特性曲线形状，使系统校正后频率特性在低频段、中频段、高频段的特性符合要求。 使低频段增量尽可能大，满足稳态精度要求。使低频段增量尽可能大，满足稳态精度要求。 中频段对数幅频渐近线斜率为 使（响应速度）适当。高频段：迅速衰减，减少噪声影响（抗扰性能）。希望特性法：先将希望的性能化为希

54、望的开环幅频特性（称为希望特性），根据希望的特性与原有特性（未校正系统）对数幅频之差确定校正装置的方法（利用渐近线希望特性法：先将希望的性能化为希望的开环幅频特性（称为希望特性），根据希望的特性与原有特性（未校正系统）对数幅频之差确定校正装置的方法（利用渐近线 并由： 有： 三、校正装置（线性系统的基本控制器）：一般由P三、校正装置（线性系统的基本控制器）：一般由P、I、D控制器或电网络组成。 1. P、I、D控制器（串联前向通路中）比例P控制：将比例控制作为校正装置串在前向通路中其作用：使开环增益提高，稳态误差减小，且使原系统对数幅频特性高度上升。相位裕度 减小，降低相对稳定性。 可见：单独

55、引入比例控制不能使系统性能全面提高。可见：单独引入比例控制不能使系统性能全面提高。 积分控制： 可调 引入积分控制相当引入一积分环节，型别提高，从而可消除或减小稳态误差，提高稳态性能。但积分控制器致系统相对稳定性较差，甚至不稳定。通常采用比例+积分控制（PI）。 比例+积分控制（PI） 串联前向通路中，低频段下降 串联前向通路中，低频段下降 ，亦型别提高，稳态性能得到改善，对相位裕度有影响，但不大，可认为不相对稳定性影响不大，动态性能基本不变。比例比例+微分控制（PD） 串联在前向通路中，使系统的相位超前，相对稳定性变好（ 变大）幅频特性中，高频段增益加大，使 增大，导致 变大，响应速度快。

56、比例加积分加微分控制（PID）比例加积分加微分控制（PID） 均为可调参数。 设 （低频数PI （低频数PI起作用） 低频数：PI作用，使稳态性能改善高频数：PD作用，使 增加，快速性加强。 用RC 用RC网络一、超前校正装置 其中： 5.2校正装置及其特性 相频特性相频特性 总为正相位，称网络超前。 串在前向通路中 使系统的开环增益减小，为 ，产生衰减。 串联一放大器 Bd 串联一放大器 Bd图为： 有：亦在 处网络发生最大超前角有：亦在 处网络发生最大超前角 为转折频率 几何中心 代入 有 或 令： 一般：可由 确定一般：可由 确定 ，常取超前校正：可利用其超前角 作用，使加大，改善动态性

57、能。注意：若校正装置采用 形式 ，则 分析见书。 二、滞后校正装置 二、滞后校正装置 相位呈负相位特性，称滞后网络。且在高频幅值衰减明显为 。相位呈负相位特性，称滞后网络。且在高频幅值衰减明显为 。滞后校正：利用高频衰减作用使静态性能改善。注意：若校正装置采用 形式 ，则 分析见书。 三、滞后三、滞后超前网络 其中 设则有 为滞后 为滞后超前网络 转折频率： 滞后超前校正：利用超前，滞后校正的优点， 使系统动、静态性能均改善。 5.3频域串联校正 利用Bd图校正时，多采用相角裕度较方便，用奈氏图校正时，采用 和 比较方便。 校正思路：利用频域校正，是希望通过校正使系统变成或接近希望特性，即使低

58、频段尽可能大，以满足稳态精度中频段对数幅频特性斜率为 并且具较大带宽，以具备适当的 ，高频段迅速衰减以减少噪声影响。 一、 一、 串联超前校正： 原理：利用超前网络的相位超前作用（正相位）使校正后系统的剪切频率 和相位裕度 满足要求，从而改善动态性能,稳态性能则通过选择已校正系统的开环增益保证。作法：将超前网络的转折频率 选在待校正系统剪切频率 两边，使最大超前角发生在 附近。 若原系统频率特性为浅黑线，引入超前校正装置，如图（8）校验校正后系统是否满足性能指标要求。若不满足，可以增加，再重新设计校正装置。注意：超前串联校正通常不能用于不稳定系统以及 附近相位迅速衰减系统。 计算超前校正网络的

59、转折频率 为了补偿因超前校正网络的引入而造成系统开环增益的衰减，必须使附加放大器的放大倍数为a=4.2 校正后系统的框图如图 所示，其开环传递函数为 对应的波特图中红线所示。由该图可见，校正后系统的相位裕度为，幅值裕度，均已满足系统设计要求。 超前校正一般步骤： 1 由稳态误差要求确定开环增益k 2 超前校正一般步骤： 1 由稳态误差要求确定开环增益k 2 对应k，画Bd图，计算性能指标 3 由 要求，计算 值，可取 或稍大，或由 要求,计算 及 值 4 写出5 4 写出5 检验（画Bd图）6 不满足时，可增大 或 的余量，重新设计。 二二. 串联滞后校正： 原理：利用滞后校正网络的高频衰减特

60、性，使剪切频率下降，从而使相位裕度足够大。主要用于响应速度要求不变，而消除噪声要求较高的场合，以及其满意动态性能而稳态性能不佳场合。 具体作法：将网络的转折频率 的几何中心点 ，避免选在系统的剪切频率 附近。（可取 ） 设原系统频率特性为图中浅黑线所示，校正后为粗黑线所示由图可以看出：系统经过滞后校正后，可用来改善系统的稳定性，增强抗干扰能力；或是为改善系统稳态性能，不影响系统动态性能的场合使用。通常是增加一对相互靠得很近并且靠近坐标原点的一对开环零、极点。设计串联滞后校正装置的步骤是：（1）根据要求的稳态性能确定系统开环增益 ；（设计串联滞后校正装置的步骤是：（1）根据要求的稳态性能确定系统