随机过程考试真题

1、随机过程考试真题 1,设随机过程 X t R t C , t 0, , C 为常数 , R 听从 0, 1 区间上的匀称分布； 1求 X t 的一维概率密度与一维分布函数 ; 2求 X t 的均值函数,相关函数与协方差函数； 22,设 Wt , t 就是参数为 的维纳过程 , R N 1,4 就是正态分布随机变量 ; 且对任意的 t , W t 与 R 均独立；令 X t W t R ,求随机过程 X t , t 的均值函数,相关函数与协方差函数； 3,设到达某商场的顾客人数就是一个泊松过程 ,平均每小时有 180 人 ,即 180 ; 且每个 顾客的消费额就是听从参数为 s 的指数分布； 求

2、一天内 8 个小时 商场营业额的数学期望与方差； 4,设马尔可夫链的转移概率矩阵为 : 0P 001求两步转移概率矩阵 2 P 及起初始分布为 3 0P X 0 1 1, P X 0 2 P X 0 时,经两步转移后处于状态 2 的概率； 2 求马尔可夫链的平稳分布； 5 设马尔可夫链的状态空间 I 1,2,3,4,5 ,转移概率矩阵为 : 00000P 0100000000010求状态的分类,各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间； 第 1 页,共 15 页随机过程考试真题 6,设 Nt, t 0 就是参数为 的泊松过程 ,运算 E Nt Nt s ； 7,考虑一个从底层启动上升的电梯；

3、以 Ni 记在 i 第层进入电梯的人数；假定 Ni 相互独立 , 且 Ni 就是均值为 i 的泊松变量；在第 i 层进入的各个人相互独立地以概率 pij 在第 j 层离开 电梯 , pij 1 ；令 O j 在第 j 层离开电梯的人数； j i 1 运算 EOj 2 Oj 的分布就是什么 3 Oj 与 Ok 的联合分布就是什么 8,一质点在 1,2,3 点上作随机游动； 如在时刻 t 质点位于这三个点之一 ,就在 t, t h 内 ,它都 以概率 h oh 分别转移到其它两点之一；试求质点随机游动的柯尔莫哥洛夫微分方 程,转移概率 pi j t 及平稳分布； 1 有随机过程 t,- t 与 t

4、 ,- t , 设 t= A sin t+ , t= B sin t+ + , 其中 A,B, , 为实常数 , 匀称分布于 0,2 ,试求 R s,t 215 分 随机过程 t= Acos t+ ,- t + ,其中 A, , 就是相互统计独立的随机变 量,EA=2, D A=4, 就是在 -5, 5上匀称分布的随机变量 , 就是在 - , 上匀称分布的随机 变量； 试分析 t的平稳性与各态历经性； 3 某商店顾客的到来听从强度为 4 人每小时的 Poisson 过程 ,已知商店 9:00 开门 ,试求 :1在开 门半小时中 ,无顾客到来的概率 ; 2如已知开门半小时中无顾客到来 ,那么在将

5、来半小时中 ,仍无顾客到来的概率； 4 设某厂的商品的销售状态 按一个月计 可分为三个状态 : 滞销 用 1 表示 ,正常 用 2 表示 , 畅销 用 3 表示 ；如经过对历史资料的整理分析 ,其销售状态的变化 从这月到下月 与初始时 刻无关 ,且其状态转移概率为 pij pij 表示从销售状态 i 经过一个月后转为销售状态 j 的概率 , 一步转移开率矩阵为 : 第 2 页,共 15 页随机过程考试真题 P 1102 12 153 19 29 1636试对经过长时间后的销售状况进行分析； 5 设 Xt,t 0就是独立增量过程 , 且 X0=0, 证明 Xt,t 0就是一个马尔科夫过程； 6

6、设 Nt,t 0就是强度为 的泊松过程 , Yk ,k=1,2,L 就是一列独立同分布随机变量 ,且 Nt Yk , t 2 0,证明 :如 EY1 ,就 E Xt tE Y1 与 Nt,t 0 独立 ,令 Xt= k=1 7,设明天就是否有雨仅与今日的天气有关 ,而与过去的天气无关；又设今日下雨而明天也下 雨的概率为 ,而今日无雨明天有雨的概率为 ;规定有雨天气为状态 0,无雨天气为状态 1； 设 0.7, ,求今日有雨且第四天仍有雨的概率； t ,其中 08 设 t , t 就是平稳过程 ,令 t t cos 0 t , 与 相互独立 ,R 与 就是常数 , 为匀称分布在 0,2 上的随机

7、变量 ,且 t , t S 分别就是 t , t 的相关函数与功率谱密度 ,试证 : 1 t , t 就是平稳过程 ,且相关函数 : R1Rcos 022 t , t 的功率谱密度为 : S 1S 0S 049 已知随机过程 t 的相关函数为 : 第 3 页,共 15 页随机过程考试真题 2R e ,问该随机过程 t 就是否均方连续？就是否均方可微？ 1,设随机过程 X t R t C , t 0, , C 为常数 , R 听从 0, 1 区间上的匀称分布； 1求 X t 的一维概率密度与一维分布函数 ; 2求 X t 的均值函数,相关函数与协方差函数； 【理论基础】 1 F x x f td

8、t ,就 f t 为密度函数 ; , 分 2 X t 为 a,b 上的匀称分布 ,概率密度函数 f x b1 , a x a0,其他 b,分布函数 F x x 0, x ab , Ex ab, Dx 2 b a ; a ,a a 1, x x 212 bb 3参数为 的指数分布 ,概率密度函数 f x e x , x 0,分布函数 0, x 0F x 1e x , x 0, E x 1, D x 1; 0, x 024 Ex , D x 2的正态分布 ,概率密度函数 f x 1e x 22 , x 22布函数 F x 1x et 2dt, x ,如 0, 1 时 ,其为标准正态分布； 222【

9、解答】此题可参与课本习题 2, 1 及 2,2 题； 1因 R 为 0, 1 上的匀称分布 , C 为常数 ,故 X t 亦为匀称分布； 由 R 的取值范畴可知 , X t 第 4 页,共 15 页随机过程考试真题 1为 C, C t 上的匀称分布 ,因此其一维概率密度 f x t ,C x C t ,一维分布函数 0,其他 0, x C F x x C ,C X C t ; t 1, x C t t 2依据相关定义 ,均值函数 mX t EX t C ; 21 C 2相关函数 RX s,t E X s X t st s t C ; 3 2st 协方差函数 BX s,t E X s mX s

10、X t mX t 当 s t 时为方差函数 12 2 2【注】 D X E X E X ; B s, t R s, t m sm t 求概率密度的通解公式 f t x f y | y x | f y / | x y | 22,设 W t , t 就是参数为 的维纳过程 , R N 1,4 就是正态分布随机变量 ;且 对 任 意 的 t , W t 与 R均 独 立 ； 令 X t W t R , 求 随 机 过 程 X t , t 的均值函数,相关函数与协方差函数； 【解答】此题解法同 1 题； 2依题意 ,Wt N 0, | t | , R N 1,4 ,因此 X t W t R 听从于正态

11、分布； 故 :均值函 数 mX t EX t 1 ;相关函数 RX s,t E X s X t 5 ; 协方差函数 BX s,t E X s mX s X t mX t 4 当 s t 时为方差函数 3,设到达某商场的顾客人数就是一个泊松过程 ,平均每小时有 180 人 ,即 180 ; 且每个 顾客的消费额就是听从参数为 s 的指数分布； 求一天内 8 个小时 商场营业额的数学期望与方差； 第 5 页,共 15 页随机过程考试真题 【解答】此题可参见课本习题 3, 10 题； 由题意可知 ,每个顾客的消费额 Y 就是听从参数为 s 的指数分布 , 由指数分布的性质可 知 : E Y 1s ,

12、 DY s 12 ,故 EY 2 s 22 ,就由复合泊松过程的性质可得 : 一天内商场营业 额的数学期望 mX 8 8 180 EY ; 一天内商场营业额的方差 X 2 8 8 180 EY 2 ； 4,设马尔可夫链的转移概率矩阵为 : 0P 002 1求两步转移概率矩阵 P 及起初始分布为 2 P X 0 3 0P X 0 1 1, P X 0 时,经两步转移后处于状态 2 的概率； 2 求马尔可夫链的平稳分布； 【解答】可参考教材例 4, 3 题及 4, 16 题 1两步转移概率矩阵 2 P PP 001 0002 03 0 时, 起初始分布为 P X 0 1, P X 0 P X 0

13、100故经两步转移后处于状态 2 的概率为 0,35； 第 6 页,共 15 页随机过程考试真题 2由于马尔可夫链就是不行约的非周期有限状态 ,所以平稳分布存在；得如下方程组 1011202210321233313解上述方程组得平稳分布为 5,设马尔可夫链的状态空间 I 18 , 23 27 , 23 3823 1,2,3,4,5 ,转移概率矩阵为 : P 000000100000000010求状态的分类,各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间； 【解答】此题比较综合 ,可参与例 4, 13 题与 4, 16 题 画出状态转移图如下 : 24131,2,3; G2 4,5 51由上图可知

14、,状态分类为 G1 2 由上图及常返闭集定义可知 回时间； ,常返闭集有两个 , 下面分别求其平稳分布及各状态的平均返 A,对 G1 常返闭集而言 ,解方程组 第 7 页,共 15 页随机过程考试真题 11103220332121331021解上述方程组得平稳分布为 137 , 2259 , 90 337 15 50 就各状态的平均返回时间分别为 t1 115 , t2 37 190 , t3 259 150 12337 B,对 G2 常返闭集而言 ,解方程组 11112210221解上述方程组得平稳分布为 110 , 17 2717 就各状态的平均返回时间分别为 6,设 Nt, t 0就是参

15、数为 t1 117 ,t2 10 117 ； 127的泊松过程 ,运算 E Nt Nt s 【解答】 第 8 页,共 15 页随机过程考试真题 E N t N t s Ni 相互独立 , E N t N t s N t N t E N t N t s N t E N t 2E N t E N t s N t 2 E N t t s t t 2t 1 t s 7,考虑一个从底层启动上升的电梯；以 Ni 记在 i 第层进入电梯的人数；假定 且 Ni 就是均值为 i 的泊松变量；在第 i层进入的各个人相互独立地以概率 pij 在第 j层离开 电梯 , pij 1 ；令 O j 在第 j 层离开电梯的

16、人数； j i 1 运算 EOj 2 Oj 的分布就是什么 3 Oj 与 Ok 的联合分布就是什么 【解答】此题与本书联系不大 ,据有关方面信息 ,此次考试此题不考； 以 Nij 记在第 i 层乘上电梯 ,在第 j 层离去的人数 ,就 Nij 就是均值为 i pij 的泊松变量 ,且全部 k i e2, 为期望； Nij i 0, j i 相互独立；因此 : 1 E Oj E iNij ii pij 2 由泊松变量的性质知 , Oj Nij 是均值为 ipij 的泊松变量 iiik 3 因 Oi 与 Ok 独,就 POi Ok POi POk i. e.k. ei. k. 立 8,一质点在 1

17、,2,3 点上作随机游动； 如在时刻 t 质点位于这三个点之一 ,就在 t, t h 内 ,它都 以概率 h oh 分别转移到其它两点之一；试求质点随机游动的柯尔莫哥洛夫微分方 第 9 页,共 15 页随机过程考试真题 程,转移概率 pi j t 及平稳分布； 【解答】参见教材习题 5, 2 题 pij t 依题意 ,由 lim t 0 t qij i j 得 , qij 1i j ,柯尔莫哥洛夫向前方程为 pij 2 pij t pi , j 1 t pi , j 1 t , 由于状态空间 I 1,2,3 ,故 pij t pi , j 1 t pi , j 1t 1, 所以 解上述一阶线性

18、微分方程得 pij 2pij t 1pij t 13 pij t 1 , : p t ce 1t , 33由初始条件 pij 0 1, i j0, i j确定常数 c ,得 pij t 121 t e ,i j3 13 11 t e , i j33故其平稳分布 jlim p t t 1 , j 31,2,3 第 10 页,共 15 页随机过程考试真题 1,有随机过程 t ,- t 与 t ,- t , 设 t= A sin t+ , t= B sin t+ + , 其 中 A,B, , 为实常数 , 匀称分布于 0,2 ,试求 Rs,t 1,0 21,解 : f 20, 其它 2 1R s,

19、t E s t A sin s B sin t g d 0 221AB cos t s cos t s 2 d4 01AB cos t s , s, t 22,随机过程 t= Acos t+ ,- t =0, 依题意 Nt 就是参数为 的 Poisson 过程； 1在开门半小时中 ,无顾客到来的概率为 : P N 1 0 e 4 12 e 2212在开门半小时中无顾客到来可表示为 N 0 ,在将来半小时仍无顾客到来可表示 2为 N 1 N 1 0 ,从而所求概率为 : 21 1P N 1 N 0 | N 02 2P N 1 N 1 0 | N 1 N0 02 2P N 1 N 10 e 4 1

20、 12 e 224,设某厂的商品的销售状态 按一个月计 可分为三个状态 :滞销 用 1 表示 ,正常 用 2 表示 , 畅销 用 3 表示 ；如经过对历史资料的整理分析 ,其销售状态的变化 从这月到下月 与初始时 刻无关 ,且其状态转移概率为 pij pij 表示从销售状态 i 经过一个月后转为销售状态 j 的概率 , 一步转移开率矩阵为 : 第 12 页,共 15 页随机过程考试真题 P 1102 12 153 19 29 1636试对经过长时间后的销售状况进行分析； 4,解答 :由一步转移概率矩阵可知状态互通 = ,且 pii0, 从而全部状态都就是遍历状态 ,于就是极 限分布就就是平稳分

21、布；设平稳分布为 1, 2, 3, 求解方程组 : = P, 1+ 2+ 3 =1 即: 1112213112 13 16 2123229 53 12339613得: 18 , 23 29 , 23 36,而畅销状态的可能性 23 即极限分布为 : 8 , 23 9 , 23 623 由运算结果可以瞧出 :经过相当长时间后 ,正常销售状态的可能性最大 最小； 5,试对以以下矩阵为一步转移概率矩阵的齐次马尔可夫链的状态空间进行分解； 1 P 00000000000000第 13 页,共 15 页随机过程考试真题 2 P 130004 14 10002 02 01 10 23 00 00003 0105, 6,一