北京市北京二中教育集团2021-2022学年数学高二第二学期期末教学质量检测试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷注意事项：1 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用05毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知，若包含于，则实数的取值范围是（ ）ABCD2已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1

2、和图2所示为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取4%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( ) A400，40B200，10C400，80D200，203在三棱锥中，则三棱锥外接球的表面积为（ ）ABCD4已知圆与双曲线的渐近线相切，则的离心率为（ ）ABCD5函数的单调递增区间是（）ABCD6在一项调查中有两个变量和，下图是由这两个变量近8年来的取值数据得到的散点图，那么适宜作为关于的回归方程的函数类型是( )ABCD（）7已知函数图象如图，是的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）ABCD8已知函数，若方程有4个不同的实数根，则的取值范围是（）ABCD9将

3、函数y=sin2x+6的图象向右平移6个单位长度后,得到函数f(x)的图象,Ak-512Ck-310抛物线的焦点坐标是（ ）ABCD11若函数在上可导，则（ ）A2B4C-2D-412已知x，y的取值如下表示：若y与x线性相关，且，则a=（ ）x0134y2.24.34.86.7A2.2B2.6C2.8D2.9二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知正三棱锥底面边长为，侧棱长为，则它的侧面与底面所成二面角的余弦值为_.14在平面几何中，以下命题都是真命题：过一点有且仅有一条直线与已知直线平行；过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直；平行于同一条直线的两直线平行；垂直于同一条直线的

4、两直线平行；两组对边分别相等的四边形是平行四边形则在立体几何中，上述命题仍为真命题的是_（写出所有符合要求的序号）15在圆中：半径为的圆的内接矩形中，以正方形的面积最大，最大值为.类比到球中：半径为的球的内接长方体中，以正方体的体积最大，最大值为_16期末考试结束后，某老师随机抽取了本班五位同学的数学成绩进行统计，五位同学平均每天学习数学的时间（分钟）与数学成绩之间的一组数据如下表所示：时间（分钟）30407090120数学成绩35488292通过分析，发现数学成绩与学习数学的时间具有线性相关关系，其回归方程为，则表格中的的值是_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1

5、7（12分）已知命题方程表示双曲线，命题点在圆的内部.若为假命题，也为假命题，求的取值范围.18（12分）若函数（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若在上只有一个极值，且该极值小于，求的取值范围.19（12分）已知椭圆，为右焦点，圆，为椭圆上一点，且位于第一象限，过点作与圆相切于点，使得点，在的两侧.（）求椭圆的焦距及离心率；（）求四边形面积的最大值.20（12分）某学校高三年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见下表百分制85分及以上70分到84分60分到69分60分以下等级ABCD规定：A，B，C三级为

6、合格等级，D为不合格等级为了解该校高三年级学生身体素质情况，从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计按照，的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示求n和频率分布直方图中的x，y的值，并估计该校高一年级学生成绩是合格等级的概率；根据频率分布直方图，求成绩的中位数精确到；在选取的样本中，从A，D两个等级的学生中随机抽取2名学生进行调研，求至少有一名学生是A等级的概率21（12分）如图,在四棱锥中,已知平面,且四边形为直角梯形,，是中点。(1)求异面直线与所成角的大小；(2)求 与平面所成角的大小。22（10分）已知函数（）若曲线在处切线的斜率等于

7、，求的值；（）若对于任意的，总有，求的取值范围参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】解一元二次不等式求得集合，根据是的子集列不等式，由此求得的取值范围.【详解】由解得，所以，由于且包含于，所以，故的取值范围是.故选：B【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查根据包含关系求参数的取值范围，属于基础题.2、A【解析】由扇形图能得到总数，利用抽样比较能求出样本容量；由分层抽样和条形图能求出抽取的高中生近视人数.【详解】用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，样本容量为：，抽取的高中生近视人数为：，故选A.【点睛

8、】该题考查的是有关概率统计的问题，涉及到的知识点有扇形图与条形图的应用，以及分层抽样的性质，注意对基础知识的灵活应用，属于简单题目.3、C【解析】分析：首先通过题中的条件，得到棱锥的三组对棱相等，从而利用补体，得到相应的长方体，列式求得长方体的对角线长，从而求得外接球的半径，利用球体的表面积公式求得结果.详解：对棱相等的三棱锥可以补为长方体（各个对面的面对角线），设长方体的长、宽、高分别是，则有，三个式子相加整理可得，所以长方体的对角线长为，所以其外接球的半径，所以其外接球的表面积，故选C.点睛：该题考查的是有关几何体的外接球的体积问题，在解题的过程中，注意根据题中所给的三棱锥的特征，三组对棱

9、相等，从而将其补体为长方体，利用长方体的外接球的直径就是该长方体的对角线，利用相应的公式求得结果.4、B【解析】由题意可得双曲线的渐近线方程为，根据圆心到切线的距离等于半径，求出 的关系，进而得到双曲线的离心率，得到答案【详解】由题意，根据双曲线的渐近线方程为根据圆的圆心到切线的距离等于半径1，可得，整理得，即，又由，则，可得 即双曲线的离心率为故选：B【点睛】本题考查了双曲线的几何性质离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：求出 ，代入公式；只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)5、C【解析】先求得函数的定义域，然后

10、利用导数求得函数的单调递增区间.【详解】依题意，函数的定义域为，故当时，所以函数的单调递增区间为，故选C.【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调递增区间，考查导数的运算，属于基础题.6、B【解析】根据散点图的趋势，选定正确的选项.【详解】散点图呈曲线，排除A选项，且增长速度变慢，排除选项C、D，故选B【点睛】本小题主要考查散点图，考查回归直线方程等知识，属于基础题.7、C【解析】结合函数的图像可知过点的切线的倾斜角最大，过点的切线的倾斜角最小，又因为点的切线的斜率，点的切线斜率，直线的斜率，故，应选答案C点睛：本题旨在考查导数的几何意义与函数的单调性等基础知识的综合运用求解时充分借助题设中

11、所提供的函数图形的直观，数形结合进行解答先将经过两切点的直线绕点逆时针旋转到与函数的图像相切，再将经过两切点的直线绕点顺时针旋转到与函数的图像相切，这个过程很容易发现，从而将问题化为直观图形的问题来求解8、B【解析】作函数的图像，方程有4个不同的实数根，从而得到，的范围，代入化简，再利用函数的单调性即可得到取值范围。【详解】作函数的图像如下：由图可知：，故 ；由在单调递减，所以的范围是 ，即的取值范围是；故答案选B【点睛】本题考查分段函数的运用，主要考查函数单调性的运用，运用数形结合的思想方法是解题的关键。9、D【解析】求出图象变换的函数解析式，再结合正弦函数的单调性可得出结论【详解】由题意f

12、(x)=sin2k-k-故选D【点睛】本题考查三角函数的平移变换，考查三角函数的单调性解题时可结合正弦函数的单调性求单调区间10、A【解析】分析：先把抛物线的方程化成标准方程，再求其焦点坐标.详解：由题得，所以抛物线的焦点坐标为.故答案为A.点睛：（1）本题主要考查抛物线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)研究圆锥曲线时，首先一般把曲线的方程化成标准方程再研究.11、D【解析】由题设可得，令可得，所以，则，应选答案D12、B【解析】求出，代入回归方程可求得【详解】由题意，所以，故选：B.【点睛】本题考查回归直线方程，掌握回归直线方程的性质是解题关键回归直线一定过中心点二、填

13、空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】先做出二面角的平面角，再运用余弦定理求得二面角的余弦值【详解】取正三棱锥的底边的中点，连接和,则在底面正中，且边长为，所以，在等腰中，边长为，所以且，所以就是侧面与底面所成二面角的平面角，所以在中，故得解.【点睛】本题考查二面角，属于基础题.14、【解析】根据空间点、线、面之间的位置关系,逐一判断,即可得到答案.【详解】对于,根据平行公理,可知过一点有且仅有一条直线与已知直线平行,在立体几何中也正确,故正确.对于,在平面几何中,过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直.在立体几何中,过直线外一点可以做一个平面和直线垂直,即平面内所有直线和其垂

14、直.故错误.对于,根据平行的传递性,平行于同一条直线的两直线平行,在立体几何中也正确,故正确.对于,平面几何中,垂直于同一条直线的两直线平行.在立体几何中,垂直于同一条直线的两直线可以是异面直线,故错误.对于,平面几何中两组对边分别相等的四边形是平行四边形.在立体几何中,两组对边分别相等,可构成空间四边形,故错误.故答案为:.【点睛】本题考查了命题真假的判定,平面几何和立体几何中线与线位置关系, 掌握点线面关系的性质是解题关键,属于基础题.15、【解析】分析：圆的内接矩形中，以正方形的面积最大，当边长等于时，类比球中内接长方体中，以正方体的体积最大，棱长为详解：圆的内接矩形中，以正方形的面积最

15、大，当边长时，解得时，类比球中内接长方体中，以正方体的体积最大，当棱长, 解得时，正方体的体积为点睛：类比推理，理会题意抓住题目内在结构相似的推导过程，不要仅模仿形式上的推导过程。16、63【解析】回归方程过样本中心点，则：，即：，解得：.点睛：(1)正确理解计算的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键(2)回归直线方程必过样本点中心三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、【解析】【试题分析】先分别确定命题“方程表示双曲线”中的的取值范围和“命题点在圆的内部”中的取值范围，再依据建立不等式组求解：解：因为方程，表示双曲线，故，所以或，因为点在圆的内部，故，解得：，所

16、以，由为假命题，也为假命题知假、真，所以的取值范围为：.18、（1）（2）【解析】（1）求导得到，得到切线方程.（2），讨论，三种情况，得到函数单调区间，判断是否有极值，计算极值解不等式得到答案.【详解】(1)当时，则，所以切线方程为.(2) ，当时，在上单调递减，无极值；当时在上单调递增，在上单调递减，所以当时取得极小值，所以；当时，令或，设，当，当，当时在上单调递增，在上单调递减，所以在时取得极大值，设，从而，所以在上单调递减，所以不符合题意.当时在上单调递增，此时在上无极值，不合题意.综上：取值范围是.【点睛】本题考查了函数的切线方程，极值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.19

17、、（）,；（）.【解析】分析：（）利用椭圆的几何性质求椭圆的焦距及离心率. （）设（，），先求出四边形面积的表达式，再利用基本不等式求它的最大值.（）在椭圆：中，所以，故椭圆的焦距为，离心率（）设（，），则，故所以，所以，又，故因此由，得，即，所以，当且仅当，即，时等号成立.点睛：本题的关键在于求此的表达式和化简，由于四边形是不规则的图形，所以用割补法求其面积，其面积求出来之后，又要利用已知条件将其化简为，再利用基本不等式求其最小值.20、（1），；合格等级的概率为；（2）中位数为；（3）【解析】由题意求出样本容量，再计算x、y的值，用频率估计概率值；根据频率分布直方图，计算成绩的中位数即可；

18、由茎叶图中的数据，利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值【详解】由题意知，样本容量，；因为成绩是合格等级人数为：人，抽取的50人中成绩是合格等级的概率为，即估计该校高一年级学生成绩是合格等级的概率为；根据频率分布直方图，计算成绩的中位数为；由茎叶图知，A等级的学生有3人，D等级的学生有人，记A等级的学生为A、B、C，D等级的学生为d、e、f、g、h，从这8人中随机抽取2人，基本事件是：AB、AC、Ad、Ae、Af、Ag、Ah、BC、Bd、Be、Bf、Bg、Bh、Cd、Ce、Cf、Cg、Ch、de、df、dg、dh、ef、eg、eh、fg、fh、gh共28个；至少有一名是A等级的基本事件是：AB、AC、Ad、Ae、Af、Ag、Ah、BC、Bd、Be、Bf、Bg、Bh、Cd、Ce、Cf、Cg、Ch共18个；故所求的概率为【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率问题，是基础题21、 (1) (2) 【解析】（1）推导出PAAB，PAAD以A为原点，AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，利用向量法能求出异面直线DP与CQ所成角的余弦值(2) 设平面法向量，与平面所成角,由得出，代入即可得解.【详解】（1）以A为原点，AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系