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文档简介

1、二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质平顶柱体体积=底面积高曲顶为平顶.求曲顶柱体的体积 V =？曲顶柱体的体积一、实例曲顶柱体:平面上的有界闭区域D为底，以侧面是以D的边界曲线为准线,母线平行 轴的柱面所围成的图形.以连续曲面为顶，以连续曲面为顶，例如平顶柱体体积=底面积高曲顶为平顶.求曲顶柱体的体积 V =曲顶柱体体积 V 求法如下：（1）分割:分别以这些小区域的边界曲线为准线，D曲顶柱体体积 V 求法如下：（1）分割:分别以这些小区域的边D(2)求每个小曲顶柱体的体积近似值： ,),(为高以iifhxD(2)求每个小曲顶柱体的体积近似值： ,),(为高以iif(3)求近似和：（4）取极

2、限：(3)求近似和：（4）取极限：求平面薄片的质量将区域 D任意 分成若干 个小区域，（如右图）求法步骤如下：（1）分割：且表示该区域的面积。（2）求近似：求平面薄片的质量将区域 D任意 分成若干 个小区域，（如（3）求和：将求得的 n 个小薄片质量相加，便得到整个薄片质量 M 的近似值：（4）求极限：将区域 D 无限细分，和式的极限就是薄片的质量 抽去上述两个问题的实际意义，归纳它们的相同点，给予定义如下：（3）求和：将求得的 n 个小薄片质量相加，便得到整个薄片质二、二重积分的概念定义：如果当各小区域直径最大值此和式的极限存在，则称此极限值为函数二、二重积分的概念定义：如果当各小区域直径最

3、大值此和式的极限面积微元积分变量积分区域被积函数积分和式二重积分中各种符号的称呼：由二重积分定义，可以得出：曲顶柱体的体积 V平面薄片的质量 M二重积分号面积微元积分变量积分区域被积函数积分和式二重积分中各种符号的对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义 当被积函数大于零时，二重积分是曲顶柱体的体积 当被积函数小于零时，二重积分是曲顶柱体的体积的负值对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义 当被 在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域 D，如右图。故二重积分（在直角坐标系下）可写为D即面微积元为在二重积分的定义中，对区域 D 的划分是任意的，因此，可对区域 D 进行特殊划分， 这样面积

4、微元 可以记作 ，如图 在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线三、二重积分的性质性质当 为常数时，性质（二重积分与定积分有类似的性质）常数可以提到积分号之外。三、二重积分的性质性质当 为常数时，性质（二重积分与定积性质(对区域具有可加性)性质（如图1）图1图2性质(对区域具有可加性)性质（如图1）图1图2性质若在D上则有性质若在D上则有性质（二重积分估值不等式）特殊地所以性质（二重积分估值不等式）特殊地所以性质（二重积分中值定理）性质的几何意义是：性质（二重积分中值定理）性质的几何意义是：解故 解故 解练习解练习解故 解故 1. 二重积分的定义3. 二重积分的性质（7个性质）2. 二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）

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