2023届高考数学专题破-专题九 解三角形及其应用（解析版）

1、专题九 解三角形及其应用一、单选题1设的内角，所对的边分别为，若，则的值为（ ）ABCD【答案】A【分析】直接运用正弦定理进行求解即可.【详解】由正弦定理可知：，故选：A2AB6CD【答案】A【分析】由余弦定理可得，由正弦定理可得，解得和的值，再由即可得解【详解】，.解得：，的面积为.故选：A.3已知的面积是（其中b，c为的边长），则的形状为（ ）A等边三角形B是直角三角形但不是等腰三角形C是等腰三角形但不是直角三角形D等腰直角三角形【答案】D【分析】利用三角形的面积公式化简已知条件，结合基本不等式判断出三角形的形状.【详解】依题意的面积是，则，由于，所以，由基本不等式可知，当且仅当时等号成立

2、，所以，三角形是等腰直角三角形.故选：D4在中，内角，所对的边分别为，若，则（ ）ABCD【答案】D【分析】根据条件，由正弦定理得，可令，再利用余弦定理求解.【详解】由正弦定理：得又因为，所以令所以故选：D.5如图是公元前约400年古希腊数学家泰特托斯用来构造无理数，的图形之一，此图形中的余弦值是（ ）ABCD【答案】C【分析】在BCD中，利用余弦定理求出,再在BAD中，利用余弦定理求出的余弦值.【详解】在ABC中，,在BCD中，在BAD中，.故选：C【点睛】方法点睛：解三角形需要三个条件，且至少有一个为边，对于未知的元素可以放到其它三角形中去求解.6如图，是半径为1的圆周上的点，且，则图中阴

3、影区域的面积为（ ）ABCD【答案】A【分析】设圆心为O，连接OA，OB，OC，BC，易得，在中，求得，然后在中，利用余弦定理结合，求得，然后由图中阴影区域的面积为求解.【详解】如图所示：设圆心为O，连接OA，OB，OC，BC，因为，所以，在中，由余弦定理得，因为，所以，解得，所以，扇形OBC的面积为：所以图中阴影区域的面积为，故选：A【点睛】关键点点睛：本题关键是由，分别求得，进而求得而得解.7在中，内角，所对的边分别为，且，设是的中点，若，则面积的最大值是（ ）ABCD【答案】A【分析】根据正弦定理、余弦定理、平面向量的加法的几何意义，结合三角形的面积公式、重要不等式进行求解即可.【详解】

4、所以，由余弦定理可知：，因此有，因为是的中点，所以有，平方得：，因为，所以，故选：A.【点睛】关键点睛：由是的中点得到是解题的关键.8在中，已知，的面积为2，则边的长有（ ）A最大值B最小值C最大值2D最小值2【答案】D【分析】设，则由已知条件可得，从而可得，再结合求得，由余弦定理可得，再结合基本不等式可得答案【详解】解：设，因为，所以，因为的面积为2，所以，即，所以，得，且，因为，解得，所以，所以由余弦定理得，所以，因为，当且仅当时，取等号，所以，所以的最小值为2，无最大值，即的最小值为2，无最大值，故选：D9在中，角、的对边分别为、，若，则角（ ）ABCD【答案】B【分析】由正弦定理结合已

5、知条件可得出，再利用余弦定理求得的值，结合角的取值范围可求得角的值.【详解】因为，由正弦定理可得，所以，由余弦定理可得，因此，.故选：B.【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要

6、用到三角形的内角和定理.10已知内角所对边的长分别为，则形状一定是（ ）A等腰直角三角形B等边三角形C等腰三角形D直角三角形【答案】D【分析】由余弦定理化简可得，即可判断.【详解】，余弦定理可得，则，则，所以为直角三角形.故选：D.11的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c若, 则c等于（ ）A1BCD2【答案】D【分析】计算，再利用正弦定理计算得到答案.【详解】由已知得，根据正弦定理： ，故.故选：D.12在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若ccosA+acosC=2，AC边上的高为，则ABC的最大值为（ ）ABCD【答案】B【分析】由余弦定理可求得，再由等面积关系可得，利

7、用余弦定理结合基本不等式得出，即可求得，再结合的范围即可得出结论.【详解】，由余弦定理可得，整理可得，又AC边上的高为，所以，即，当且仅当取等号，即，即，则，故ABC的最大值为.故选：B.【点睛】关键点睛：本题考查余弦定理的应用，解题的关键是等面积关系得，由基本不等式得.二、多选题13已知的内角所对边的长分别为，若满足条件的有两个，则的值可以是（ ）ABCD【答案】BC【分析】在中，由余弦定理建立起关于c的一元二次方程，利用这个方程有二不等的正根求出m的范围即可得解.【详解】在中，由余弦定理得：，即，依题意，关于c的一元二次方程有两个不等的正根，所以，并且，而m0，则，取或，选项B，C符合条件

8、.故选：BC14在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，给出下列命题，其中正确的命题为（ ）A若，则；B若，则满足条件的有两个；C若，则是钝角三角形；D存在角A，B，C，使得成立；【答案】ABC【分析】A.利用正弦定理判断该选项正确；B. 由于，因此满足条件的有两个，所以该选项正确；C. 可以证明， 是钝角三角形，所以该选项正确；D. 可以证明，所以该选项不正确.【详解】A.若，由正弦定理可得：，则，所以该选项正确；B. 若，则，因此满足条件的有两个，所以该选项正确；C. 若，则，是钝角三角形，所以该选项正确；D. 由于当时，所以该选项不正确.故选：ABC【点睛】关键点睛：解答本题的关键是

9、灵活利用和角的正切公式，只有灵活运用该公式才能简洁高效地判断后面两个选项的真假.第II卷（非选择题）三、解答题15从，这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中并解答.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，_，求的面积.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)【答案】答案见解析.【分析】先化简已知条件得，若选择，结合余弦定理解出，利用面积公式计算即可；若选择，利用同角三角函数的基本关系解出，结合正弦定理解出边，再利用余弦定理解出边，利用面积公式计算即可；若选择，先利用余弦定理解出边，再利用面积公式计算即可.【详解】解：由正弦定理得，.，.，即，故.若选择：由余弦定理得，整理得，即，解

10、得，；若选择：根据题意得，解得，在中，由正弦定理得，即，解得，由余弦定理得，整理得，即，解得(舍去)，；若选择：在中，由余弦定理得，即，化简为，解得(舍去)，.【点睛】思路点睛：一般地，解有关三角形的题目时，要有意识地根据已知条件判断用哪个定理更合适. 如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理.16已知锐角中，角，的对边分别为，且满足.（1）求角的大小；（2）求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由，根据正弦定理化简得，进而求得，即可求解；（2）由（1）得到，根据三角恒等变换的公式，化简，进而得到，得到的范围，

11、即可求解.【详解】（1）在中，由，利用正弦定理得，所以，即，因为，可得，所以，又因为，所以.（2）由（1）知，可得，可得，所以，因为为锐角三角形，所以，且，所以，所以故的取值范围为.17已知在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，（1）求角C的大小；（2）若，求的值【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由正弦定理将转化为，化简后结合余弦定理可得，从而可求出角C的大小；（2）由正弦定理将转化为，再由可得，从而可求出的值，进而可求得的值【详解】（1）由正弦定理得，即，又；（2）由正弦定理得， ，即， 18函数（1）求函数的最小正周期并求当时，函数的最大值和最小值；（2）已知的内角，的对边分别为，

12、若，且，求的面积.【答案】（1），最大值为1，最小值为；（2）.【分析】（1）根据同角三角函数关系式、正弦的二倍角公式、余弦诱导公式，结合辅助角公式、正弦型函数的最小正周期公式、单调性进行求解即可；（2）根据特殊角的三角函数值，结合正弦定理、余弦定理、三角形面积公式进行求解即可.【详解】（1），函数的最小正周期；因为所以，因为函数在单调递增，在上单调递减所以，所以函数的最大值为1，最小值为；（2），.，即，由正弦定理以及，可得，由余弦定理可得，可得，.19若是奇函数，求的值及的单调递增区间；（）设，中，内角，的对边分别为，.若，且的面积，求周长的取值范围.【答案】（），；（）.【分析】（）根据

13、奇函数的性质，结合正弦型函数的单调性进行求解即可；（）根据辅助角公式，结合特殊角的正弦函数值、三角形面积公式、正弦定理、正弦型函数的性质进行求解即可.【详解】（）由题意知，得，下面对进行检验：若，则，对任意都有，是奇函数，.又因为，由，所以得，的单调递增区间为，.（）当时，；得，由，的周长为： 的周长的取值范围为.20在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（I）求A；（）设D是线段的中点，若，求a【答案】（I）；（）【分析】（I）先由正弦定理，将所给条件化为，再由余弦定理，即可得出结果；（）根据题中条件，得到，推出，再由余弦定理得到，两式联立求出，进而可求出.【详解】（I）根据正弦定

14、理，由可得，即，由余弦定理可得，因为为三角形内角，所以；（）因为D是线段的中点，所以，则，所以，即，整理得；又，所以，解得或（舍），因此，所以【点睛】思路点睛：求解三角形中的边长或面积等问题时，一般需要根据正弦定理，或余弦定理，将题中条件进行转化，得出对应的方程求解即可.21在中，角所对的边分别为，已知.（1）求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）首先求出，然后由得到，然后结合平方关系可得答案；（2）首先求出，然后利用正弦定理求解即可.【详解】（1）因为，所以，因为所以，即，即因为，所以可解得（2）因为，所以22的内角，的对边分别为，已知.（1）求；（2）设，延长到点

15、使，求的面积.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据正弦定理可得，进而得，从而得解；（2）根据正弦定理解得，再根据同角关系和，得，再由可得解.【详解】（1）.由正弦定理，可得，可得：，可得：，化简可得：，.（2）由，可得，可得，所以，可得.23在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，（1）求A；（2）若，求的面积的最大值【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据题中条件的特点，将余弦转化为正弦，利用正弦定理转化为关于a,b,c的式子，用余弦定理求解即可.（2）结合以及，题目求的是面积的最大值，想到求bc的最大值，利用余弦定理及基本不等式求解.【详解】（1）由已知得：，由余弦定理得：（2）由

16、余弦定理得：，即，当且仅当时，等号成立面积最大值为.【点睛】（1）观察式子的特点，对正弦、余弦定理的特点要比较熟练.（2）注意题目的问题是面积的最大值，故联想基本不等式，余弦定理等知识点.24在中，角，的对边分别为，且.（1）求；（2）若，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据题设条件和利用正弦定理，化简得到，进而求得的大小.（2）由余弦定理得到，结合基本不等式，求得，利用面积公式，即可求解.【详解】（1）由题意，在中，满足，利用正弦定理得，即，即，可得，因为，可得，所以，即，又因为，所以.（2）在中，由余弦定理，可得，所以，即，当且仅当时取等号，所以的面积，所以面积的最大

17、值为.【点睛】对于解三角形问题的常见解题策略：对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，同时注意三角形内角和定理，三角形面积公式在解题中的应用.25在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.（1）求角A的大小；（2）求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理求出，又，即可求出A；（2）由余弦定理及三角形内角和定理把原文太转化为求在上的范围，利用三角函数即可求解.【详解】（1）由，结合正弦定理可得：整理得：，即又，所以，又，故.（2）由余弦定理知：，再结合内角和定理：从而又

18、因为，故，从而即的取值范围为.【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求最值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.26已知的内角，的对边分别为，且.（1）若，求；（2）若，求.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据两角差的正切公式，结合同角的三角函数关系式、正弦定理进行求解即可；（2）根据正弦定理、两角和的正弦公式，结合余弦定理进行求解即可.【详解】（1），则，又，.，.又，故.（2），即，则.，故.27在，的面积为，这三个条件中任选一个，补充在下面的

19、问题中，并加以解答（如果选择多个条件作答，则按所选的第一个条件给分）已知的内角，所对的边分别是，且_（1）求角的大小；（2）若且，求的面积【答案】条件选择见解析（1）；（2）【分析】（1）分别选择，根据正弦定理、余弦定理和三角恒等变换即可求出角；（2）运用正弦定理求出，再根据三角形面积公式即可求出.【详解】（1）若选条件，则，即，所以，又因为，所以（1）若选条件的面积为，则，即，所以，又因为，所以（1）若选条件，则，即，即，所以，又因为，所以（2）因为，所以，所以，又因为，所以，的面积为【点睛】思路点睛：（1）在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系；（2）题中若出

20、现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理；（3）应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用；（4）解决三角形问题时，注意角的限制范围.28已知的三个内角，的对边分别为，满足（1）求；（2）若，角的角平分线交边于点，求的长【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理将边化为角，即可化简得出答案.（2）利用角的余弦定理求出边，根据为角的平分线可求出，再在中利用一个正弦定理即可求出答案.【详解】（1）由正弦定理得，即故.（2）中，由余弦定理得，即.解得或（舍去）中，由是的角平分线，得，则.由正弦定理得，解得.【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形，属于基础题.熟练掌握正余弦

21、定理及其使用是解本题的关键.本类题型常用结论：在三角形中有：,.29在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且2b-c=2acosC（1）求A；（2）若ABC的面积，求a的取值范围【答案】（1）；（2）【分析】（1）由2b-c=2acosC，利用余弦定理化简得到b2+c2-a2=bc，然后利用余弦定理求解；（2）根据ABC的面积结合（1）求得bc，再利用余弦定理结合基本不等式求解.【详解】（1）2b-c=2acosC，化简得b2+c2-a2=bc，由余弦定理知，（2）ABC的面积，即bc=16，由（1）知，当且仅当b=c=4时，等号成立，a4，故a的取值范围为30若，求；（2）若，求的

22、值【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用三角形的面积比列方程，化简求得.（2）设，求得，利用余弦定理列方程，求得，从而求得.【详解】（1）设边上的高为h，而，.（2）设，则，在中，由余弦定理得：，.31在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知（1）求角A；（2）若，求BC边上的中线AD长度的取值范围【答案】（1）；（2）【分析】（1）由正弦定理化边为角，化简可得，即可求出；（2）由余弦定理可得，结合基本不等式可求出，再由余弦定理可得，即可求出范围.【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得因为，所以，即，即，即又，所以（2）由（1）得，所以因为，所以由基本不等式可得，所以，故设，则，所

23、以，所以，所以【点睛】关键点睛：本题考查正余弦定理的应用，解题的关键是化边为角得出，由余弦定理结合基本不等式得出.32的内角的对边分别为且边上的中线（1）求的值；（2）在；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.问题：若_，则是否存在？若存在，请求出的面积；若不存在，请说明理由.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）；（2）答案见解析.【分析】（1）化简可得可求解；（2）利用结合余弦定理可得.选，由基本不等式得出，再由余弦定理可求出可判断；选，余弦定理可得，即可求出面积；选余弦定理可得，即可求出面积.【详解】解：（1）因为，所以（2）因为，所以，所以；选当时，当

24、且仅当等号成立；由余弦定理，得到，所以解得与矛盾，此时不存在.选当，则即，选当，则即，.【点睛】关键点睛：本题考查数量积的运算，考查余弦定理的应用，解题的关键是利用结合余弦定理可得.33的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.（1）若，求；（2）当A取得最大值时，求的面积.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理求得的值，由此求得的值.（2）利用余弦定理求得，结合基本不等式求得的最大值，由此求得此时的面积.【详解】（1）由正弦定理，得，解得所以.（2）由余弦定理得.因为，当且仅当时，等号成立，所以，则，则A的最大值为.此时，的面积.34已知的内角，的对边分别为，且（1）求；（

25、2）若，求的取值范围【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用正弦定理与余弦定理将题中所给条件化简整理，即可求出，从而可得角；（2）先由题中条件，得到，再由正弦定理将所求式子化为，进而转化为关于的函数，即可求出结果.【详解】（1）由条件与正弦定理可得，即，由余弦定理得，所以，即由得，（2）由可知，由正弦定理可知，又知，所以，所以，故的取值范围为【点睛】方法点睛：求解三角形中有关边长、角、面积的最值（范围）问题时，常利用正弦定理、余弦定理与三角形面积公式，建立，之间的等量关系与不等关系，然后利用函数或基本不等式求解.35如图在锐角中，内角的对边分别是，若（1）求角；（2）若在线段上存在一点，使得，

26、为延长线上一点，求的面积【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用正弦定理角化边可得余弦定理形式，得到，由此求得，根据的范围可求得结果；（2）由长度关系可求得，从而得到，在中利用余弦定理可求得，由正弦定理求得；在中，利用正弦定理求得，由三角形面积公式可求得结果.【详解】（1）由正弦定理知：，即，；（2）在中，在中，由余弦定理知：，由正弦定理知：，即，为锐角，在中，由正弦定理知：，即，的面积.【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形的相关知识，解题关键是能够将所需的线段放入三角形中，利用正余弦定理求得所需的线段长度和角度.36在中，为边上一点，且（1）求；（2）若，求【答案】（1）；（2）【分析】（1

27、）在中，由余弦定理，即可求.（2）在中，由正弦定理，即可求.【详解】（1）在中，由余弦定理得：，（2）在中，由正弦定理得：，即，37的内角、所对的边分别为、.已知，.（1）若，求；（2）若，求的面积.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理求得的值，利用二倍角的余弦公式可求得的值；（2）利用余弦定理求出值，利用同角三角函数的平方关系求出的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积.【详解】（1）由正弦定理可得，所以，因此，；（2）由余弦定理可得，则为锐角，所以，因此，的面积为.38在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，（1）求B；（2）若，求的面积【答案】（1）；（2）【分析】（1）

28、利用正弦定理以及三角恒等变换公式变形可得，即，根据角的范围可得结果；（2）由结合余弦定理可得，再根据三角形的面积公式可求出结果.【详解】（1）由得由正弦定理得，即，在中，即，（2）由余弦定理得，即，又，即由（1）知，又，面积39若函数，的角，的对边分别为，且.（1）当取最大值时，判断的形状；（2）在中，为边的中点，且，求的长.【答案】（1）是等边三角形；（2）.【分析】（1）化简，由求得，根据正弦定理得到，从而判断取最大值时，B的取值，从而判断三角形形状；（2）取边的中点，在中，由余弦定理求得，从而在中由余弦定理求得.【详解】解：因为所以由得，因为，所以，所以，（1）因为，所以，所以当时，取最

29、大值，此时，所以，所以是等边三角形；（2）解：取边的中点，连接，则，且，在中，由余弦定理得解得，所以在中由余弦定理得【点睛】方法点睛：利用正弦定理进行边角转化，根据三角函数的最值情况来求得原表达式的最值，从而判断三角形形状；利用余弦定理解得三角形各边长.40在中，内角所对的边长分别为，是1和的等差中项（1）求角；（2）若的平分线交于点，且，求的面积【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据是1和的等差中项得到，再利用正弦定理结合商数关系，两角和与差的三角函数化简得到求解；（2）由和求得b，c的关系，再结合余弦定理求解即可.【详解】（1）由已知得，在中，由正弦定理得，化简得，因为，所以，所以；（2

30、）由正弦定理得，又，即，由余弦定理得，所以，所以【点睛】方法点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到41已知的内角，的对边分别为，面积为，且（1）求角的大小；（2）若，求的面积【答案】（1）；（2）【分析】（1）由余弦定理及面积公式求出，利用正切求角C（2）利用余弦定理求出，套用面积公式求面积.【详解】解：（1）由题意知，即，整理得，即，即又由，所以（2

31、），【点睛】在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考：(1)从题目给出的条件，边角关系来选择；(2)从式子结构来选择42在中，角，所对的边分别为，其外接圆半径为，已知（1）求角；（2）若边的长是该边上高的倍，求【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再利用余弦定理计算可得；（2）记边上的高为，不妨设，即可求出，再利用余弦定理求出，在中，记，根据锐角三角函数求出，最后根据，利用两角和的余弦公式计算可得；【详解】解：（1）由已知条件，所以，所以所以，由余弦定理可得，而，于是（2）记边上的高为，不妨设，则，所以，由余弦定理得，在中，记，则，所以43如图，是底部不可到

32、达的一个建筑物，为建筑物的最高点某学习小组准备了三种工具：测角仪（可测量仰角与俯角）、米尺（可测量长度)、量角器（可测量平面角度）（1）请你利用准备好的工具（可不全使用），设计一种测量建筑物高度的方法，并给出测量报告；注：测量报告中包括你使用的工具，测量方法的文字说明与图形说明，所使用的字母和符号均需要解释说明，并给出你最后的计算公式（2）该学习小组利用你的测量方案进行了实地测量，并将计算结果汇报给老师，发现计算结果与该建筑物实际高度有误差，请你针对误差情况进行说明【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析【分析】（1）底部不可到达，因此可用解三角形思想求解，测量出相应的线段长和角度，然后由三

33、角形的知识进行计算我们选用解直角三角形，注意到测角仪的高度，构建解析中的图形，测量两点处的仰角，长，同时测得测角仪高度，然后解直角三角形可得（2）误差产生的原因很多，如工具误差，两次测量时位置不完全一样（每个数据都可能出现误差）【详解】（1）选用测角仪和米尺，如图所示，选择一条水平基线（如图），使三点共线；在两点用测角仪测得的仰角分别为，用米尺测量得，没得测角仪的高为经计算建筑物（或者写成）（2）测量工具问题；两次测量时位置的间距差；用身高代替测角仪的高度【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形的应用，不可及测量问题，可通过构造三角形（最好是直角三角形），确定解此三角形所需要的元素，测了这些元素，

34、然后求解44在中，角，的对边分别为，（1）求角的大小；（2）若，垂足为，且，求的最大值【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据角的余弦定理化简原式，由此求解出的值，则的值可求；（2）根据三角形的面积公式可知，然后用表示出，再结合余弦定理以及基本不等式求解出的最大值.【详解】（1）因为，所以，又因为，所以，所以且，所以且，所以；（2）因为，所以，又因为，所以，又，所以，所以，所以，取等号时，所以的最大值为.【点睛】关键点点睛：解答本题第二问的关键在于将三角形面积的两种计算方法联系在一起，将的最值问题转化为的最值问题；本例中，除了可以利用正弦定理以及基本不等式求解的最大值，还可以通过余弦定理将化

35、为角的形式并借助三角恒等变换的公式完成求解.45求的值；（2）若，且的面积，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用余弦定理化简已知条件，求得的值，求得的值，进而求得的值.（2）利用正弦定理化简已知条件，得到，结合三角形的面积公式求得.【详解】（1）因为，所以.因为，所以.所以.（2）因为，由正弦定理得，所以.因为的面积为，即，所以.所以.46在，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求出的值；若问题中的三角形不存在，说明理由问题：在中，角，的对边分别为，已知，_注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【答案】答案不唯一，具体见解析【分析】若选，则由正弦

36、定理可得，化简后可求出角或，再由求出，然后由可求出的值；若选，则由正弦定理得，即可得，再利用余弦定理可求得，从而可求出角，再由求出，然后由可求出的值；若选，由结合辅助角公式和基本不等式可得，则可求出，而利用基本不等式时有，从而可得三角形为等边三角形，与相矛盾，则可得问题中的三角形不存在【详解】选：因为，由正弦定理得，所以，所以，所以，又，所以或，即或因为，所以当时，当时，因此的值为或选：因为，由正弦定理得，因为，所以，所以，因为，所以因为，所以，所以，因此的值选：因为，所以，因为，于是，即；且，即，注意到，因此，即，于是为等边三角形，因此与相矛盾，故不存在【点睛】关键点点睛：此题考查正弦定理和

37、余弦定理的应用，考查三角函数恒等变换公式的应用，解题的关键是利用正弦定理进行边角互化，从而可求出角的值，再结合三角函数恒等变换公式求出的值，考查计算能力，属于中档题47已知在中，（1）求边的长；（2）设为边上一点，且的面积为，求【答案】（1）5；（2）【分析】（1）利用三角形内角和定理，将角转化为角，化简已知条件求得角，然后求得角，利用等腰三角形求得的长.（2）利用三角形面积列方程，求得的值，利用余弦定理求得的值，利用正弦定理求得的值.【详解】解：（1）由及，得，整理得，即，又，所以所以，即，所以（2）由，解得在，有余弦定理得，所以，在中，由正弦定理得，即，所以48的内角A，B，C所对的边分别

38、是a，b，c已知（1）求角C的大小；（2）若，求的值【答案】(1) ；(2)【分析】(1)将等式化简，再利用正弦定理及余弦定理，即可求出角；(2)利用正弦定理求出，再根据，可知，进而可根据同角三角函数关系，求出，再利用两角差的余弦公式可求得答案.【详解】(1)由化简， 得，由正弦定理，得，由余弦定理得，又，所以.(2)因为，所以由正弦定理，得，因为，所以，所以，所以所以【点睛】易错点睛：本题在利用同角三角函数求时，需要注意利用大边对大角确定角的范围.49在中，内角的对边分别为，且，求：（1）的值；（2）的面积.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据，利用正弦定理转化为求解；（2）结合，利用

39、余弦定理得到，然后利用三角形面积公式求解.【详解】（1），由正弦定理得，因此，.（2）由余弦定理可得，即，的面积.【点睛】方法点睛：有关三角形面积问题的求解方法：(1)灵活运用正、余弦定理实现边角转化；(2)合理运用三角函数公式，如同角三角函数的基本关系、两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式等50如图，在中，D为AC边上一点且，.（1）若，求的面积；（2）求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）在中，利用正弦定理求得，进而通过二角和差公式求出，再通过面积公式得到答案；（2）由正弦定理求出、的表达式，求出的代数式，在运用角的关系和范围求的取值范围.【详解】（1），在中，解得：，；（2）在中，得：，在中，得：，整理得：，故的取值范围为.【点睛】思路点睛：解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利