人教版高中数学选修46第二讲同余与同余方程五拉格朗日插值和孙子定理名师课件【集体备课】

1、知识回顾学过的函数： 一次函数 f（x）=ax+b+c 二次函数 f（x）=ax2+bx+cf（1）= a+b+cf（-1）= a-b+cf（2）= 4a+2b+c方程组：导入新课 今有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？你能算出来吗？ 今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？ 这四句话的意思是：有若干 只鸡兔同在一个笼子里，从 上面数，有35个头；从下面 数，有94只脚.求笼中各有几只鸡和兔 .你知道有多少只鸡吗？ 你能够解决以上的问题，求出数值吗？要解决以上的问题穷举法显然是不可能的，这就涉及到我们今天要学习的知识，拉格朗日插值法、孙子定理.第五节

2、 拉格朗日插值和孙子定理第二讲 同余与同余方程教学目标知识与能力1.理解一次同余式组的概念. 2.理解拉格朗日插值公式的建立过程及推导孙子定理的过程.3.掌握用孙子定理法求一次同余式组的解.过程与方法情感态度与价值观1.通过算法案例的学习，了解中国古代数学家对世界数学发展的伟大贡献，增强民自豪感和自信心. 2.在学习的同时，学会做有爱国心，品格高尚的人，树立远大理想和目标. 1.先阅读案例，探究解决问题的算法. 2.研读算法，体会算法思想，能解决具体问题.教学重难点重点1.理解拉格朗日插值公式的建立过程. 2.孙子定理的推导过程. 3.用孙子定理解一次同余方程.难点建立拉格朗日插值公式和推导孙

3、子定理. 孙子算经翻译：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，问这个数是几? m=3x+2 x2（mod3）相当于解方程组 m=5y+3 即 x3（mod5） m=7z+2 x2（mod3）同余方程组 为了能更方便的求解方程组我们将学习拉格朗日插值法. 我们知道，在二次函数f（x）=ax2+bx+c中只要我们知道其上的三个值如（x1，f（x1）， （x2，f（x2）， （x2，f（x2），就能得到要求的多项事.一种更一般的拉格朗日插值法. 1）求多项式p（x）,使p（x1）=1,p(x2)=0,p(x3)=0 2）求多项式q（x）,使q（x1）=0,q(x2)=1,q(x3)=0 3）求多

4、项式r（x）,使r（x1）=0,r(x2)=0,r(x3)=1 若选取p（x）=c（x-x2）（x-x3），其中c为常数.显然p(x2)=0,p(x3)=0 再代入p（x1）=1,可求得c为 (x1 - x2)（ x1 x3）的倒数. 求得 同理得设a，b，c两两不同那么满足f(a)=e，f(b)=f ， f（c）=g的一个多项式可用f(x)=e p(x)+f q(x)+ g r(x) () 其中 （）上面的公式（）和（）叫做拉格朗日公式.用类似方法解决孙子算经的物不知其数问题. 1）求整数p,使p1（mod3）, p 0（mod5）, p0（mod7）. 求整数q,使q0（mod3）, q

5、1（mod5）, q0（mod7）. 求整数r,使r0（mod3）, r 0（mod5）, r1（mod7）.2）作整数k=2p+3q+2r，这个k使同余式都成了.此时xk（mod357）现在的焦点就是如何求p、q、r. 由于p0（mod5），p 1（mod7） 故 5p，7p，于是p=57c，c为整数再由p1（mod3）即57c 1（mod3） 若c=2，则p=70.同理求得q=21，r=15. 所以k=233，x 23323（mod105）. 此求同余方程组的方法即孙子定理.孙子定理 设a，b，c为两两互素的正整数，e，f，g为任意整数，则同余方程组 xe（moda）， xf（modb），

6、仅有一解： xg（modc） xebcc1+facc2+gabc3（modabc），其中c1，c2，c3分别满足同余式：bcc11（moda） acc2 1（modb）,abc3 1（moda）的整数.课堂小结一、一次同余式组：xe（moda）xf（modb）xg（modc）二、拉格朗日插值公式： f(x)=e p(x)+f q(x)+ g r(x) 三、孙子定理：设a，b，c为两两互素的正整数，e，f，g为任意整数，则同余方程组 xe（moda） xf（modb），仅有一解： xg（modc） xebcc1+facc2+gabc3（modabc），其中c1，c2，c3分别满足同余式：bcc1

7、1（moda） acc2 1（modb）,abc3 1（moda）的整数.针对性练习1、已知函数f（x）=x2+2x+alnx当t1时, 不等式f(2t1) 2f(t)3恒成立, 求实数a的取值范围.证明:当t1时，f(2t1)2f(t)3 恒成立. 即（2t-1）2+2（2t-1）+aln（2t-1）2t2+4t+2alnt-3当t1恒成立. 即alnt2-ln（2t-1） 2（t-1）2h(x)=lnx,由拉格朗日定理知, 使得 成立 故 所以 即实数取值范围（-,2当t=1时，不等式恒成立,此时aR. 当t1时，由于t2-（2t-1）=（t-1）20， 所以 lnt2ln（2t-1） 故

8、 当t1时恒成立.2、已知函数 ， f（x）的导数是f（x），任意两个不等正数x1，x2证：若a4， f（x1）- f（x2） x1- x2 ，证明：要证f（x1）- f（x2） x1- x2 只要证 由拉格朗日定理，总存在 使 故只要证明 只要证令 ，则 令 故当a4时f（x1）- f（x2） x1- x2 3、已知函数 且存在x0(0, ) ,使f(x0)=x0. 证明： 证明： 因为 由拉格朗日中值定理知: 总存在 使得 由于 又 当 故得证 1、求整数n，它被3，5，7除的余数分别是1，2，3,则该整数最小为（ ）.2、解同余方程组 则x为( ). 课堂练习5221531056 4、一

9、个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是（ ）.3、有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余（ ）.A.5 B. 7 C.8 D.9AA.274 B. 40 C.34 D.36C解析：若4人一组多1人，6人一组少3人,则加3人为4和6的公约数=12K，12K-3能被5整除,根据5和2的倍数特征规律:124-3=45，所以至少有45人.5、若4人一组多1人，5人一组正好分完，6人一组少3人，最少有几人？6、每9人一排多6人，每7人一排多2人，每5人一排多3人，问至少有多少人 ？解：由于9,7,5互素,故同样可用孙子定理. 解1 75c1 =35c11(mod9) 得 c1 8(mod9), 解2 95c2 =45c21(mod7) 得 c2 5(mod7), 解3 97c3 =63c31(mod5) 得 c3 2(mod5), 于是,选取c1=2， c2=3， c3=11 得x6758+2955+3972 303(mod305) 是同余方程的解.所以至少303人.解：由于3,7,11互素,故同样可用孙子定理. 解1 711c1 =77c11(mod3) 得 c1 2(mod2), 解2 311c2 =33c21(m