空间两直线夹角公式

1、空间向量运算的坐标表示一、向量的直角坐标运算设aa1a2a3bb1b2b3则aba1b1a2b2a3b3aba1b1a2b2a3b3aa1a2a3Raba1b1a2b2a3b3a/ba1b1a2b2a3b3Ra1/b1a2/b2a2/b2.aba1b1a2b2a3b30已知3-24，-25-3，则ab_ab_3a5b_ab_2aba2b_二、距离与夹角1.距离公式（1）向量的长度（模）公式2aaaa12a22a322bbbb12b22b32注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。（2）空间两点间的距离公式终点坐标减在空间直角坐标系中，已知Ax1起点坐标y1z1、Bx2y2z2，则AB

2、x2x1y2y1z2z1ABABABx2x12y2y12z2z12dABx2x1y2y1z2z12222.两个向量夹角公式aba1b1a2b2a3b3cosababa1a2a3b1b2b3222222注意：（1）当cosab1时，与b同向；a（2）当cosab1时，与ab反向；（3）当cosab0时，ab。思虑：当0cosab1及1cosab0时，的夹角在什么范围内？练习一：1.求以下两个向量的夹角的余弦：1a233b1002a111b1012.求以下两点间的距离：1A110B1112C315D023.三、应用举例例1已知A331、B105，求：AM（1）线段AB的中点坐标和长度；B解：设Mx

3、yz是AB的中点，则113OOMOAOB331105232223点M的坐标是23.2dAB（2）到A、B两点距离相等的点Pxyz的坐标xyz满足的条件。解：点Pxyz到A、B的距离相等，则x32y32z12x12y02z52化简整理，得4x6y8z70即到A、B两点距离相等的点的坐标xyz满足的条件是4x6y8z70例2如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，1E1BA1B1D1F14，求BE1与DF1所成的角的余弦值。z解：设正方体的棱长为1，如图建D1F1C1立空间直角坐标系Oxyz，则A1E1B13B110E1114Dy1OCD000F10，1.4AB31xBE1111100144例2

4、如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，1E1BA1B1D1F14，求BE1与DF1所成的角的余弦值。z11D1F1DF10，10000，1.44C1A1E1B11115BE1DF1001144161717DOCyBE1DF1.4415ABBEDF11615xcosBE1DF11.BE1DF117171744练习二：正方体A1B1C1D1ABCD，E、F分别是C1CD1A1的中点，求ABEF12求点A到直线EF的距离。用向量方法）D1C1FA1B1EDCAB练习三：如图：直三棱柱ABCA1B1C1底面ABC中，CACB1，BCA90，棱AA12，M、oN分别为A1B1、AA1的中点，1求BN的长；C12求cosBA1CB1的值；A1B1M3求证：A1BC1M。NCAB四、课堂小结：1.基本知识：（1）向量的长度公式与两点间的距离公式；（2）两个向量的夹角公式。2.思想方法：用向量计算或证明几何问题时，可以先建立直角坐标