年高考第一轮复习数学三角函数的图象与性质三

1、三角函数的图象与性质（三）知识梳理1.能利用“五点法”作三角函数的图象，并能依据图象求分析式.2.能综合利用性质，并能解相关问题.点击双基1.（2003年春天上海）对于函数f（x）=sin2x（2）|x|+1，有下边四个结论，其32中正确结论的个数为f（x）是奇函数当x2003时，f（x）1恒建立f（x）的最大值是322f（x）的最小值是12分析：明显f（x）为偶函数，结论错.对于结论，当x=1000时，x2003，sin21000=0，f（1000）=1（2）1000231，所以结论错.2又f（x）=1cos2x（2）|x|11cos2x（2）|x|，1cos2x1，2+2=1332111c

2、os2x3.222故11cos2x（2）|x|3，即结论错.232而cos2x，（2）|x|在x=0时同时获得最大值，所以f（x）=11cos2x（2）|x|在323x=0时可获得最小值1，即结论是正确的.2答案：A2.（2004年天津，12）定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数.若f（x）的最小正周期是，且当x0，时，f（x）=sinx，则f（5）的值为23A.1B.1C.3D.32222分析：f（5）=f（52）=f（）=f（）=sin=3.333332答案：D3.（2004年全国，10）函数y=xcosxsinx在下边哪个区间内是增函数A.（，3）B.（，2）22C.（3，5）

3、D.（2，3）22分析：用清除法，可知B正确.答案：B4.（2004年全国，11）函数y=sin4x+cos2x的最小正周期为A.B.C.42分析：y=sin4x+cos2x=（1cos2x）2+1cos2x22cos21cos4x=2x3=2+3444=1cos4x+7.88故最小正周期T=2=.42答案：B=5sin（2x+）的图象对于y轴对称，则=_.分析：y=f（x）为偶函数.答案：=k+（kZ）2典例分析【例1】判断下边函数的奇偶性：f（x）=lg（sinx+1sin2x）.分析：判断奇偶性第一应看定义域能否对于原点对称，而后再看f（x）与f（x）的关系.解：定义域为R，又f（x）+

4、f（x）=lg1=0，即f（x）=f（x），f（x）为奇函数.评论：定义域对于原点对称是函数拥有奇偶性的必需（但不充分）条件.【例2】求以下函数的单一区间：（1）y=1（2x）；（2）y=sin（x+）.2344分析：（1）要将原函数化为y=1sin（2x）再求之.（2）可画出y=|sin（x+）2344|的图象.解：（1）y=1sin（2x）=1sin（2x）.243234故由2x2k+3x3k+92k3423k（kZ），为单一减区间；288由2k+2x2k+39x3k+21（kZ），为单一增区间.234288递减区间为3k3，3k+9，88递加区间为3k+9，3k+21（kZ）.88（2）

5、y=|sin（x+）|的图象的增区间为k，k+，减区间为k+，4444k+3.4深入拓展（2）不用图象能求解吗?1cos（2x提示：y=sin2x2）=1sin2x.（）4=2242【例3】（2003年春天北京）已知函数f（x）=6cosx5cosx1，求f（x）的cos2x定义域，判断它的奇偶性，并求其值域.分析：本题便于下手，求定义域、判断奇偶性靠定义即可解决，求值域要对函数化简整理.解：由cos2x0得2xk+，解得xk+（kZ）.224所以f（x）的定义域为x|xR且xk+，kZ.24由于f（x）的定义域对于原点对称，且42x）1f（x）=6cos（x）5cos（）cos2x=6cos

6、4x5cos2x1=f（x），cos2x所以f（x）是偶函数.又当xk+（kZ）时，24f（x）=6cos4x5cos2x1（2cos2x1）（3cos2x1）2cos2x=cos2x=3cosx1，所以f（x）的值域为y|1y1或1y2.22评论：本题主要考察三角函数的基本知识，考察逻辑思想能力、分析和解决问题的能力.闯关训练夯实基础1.（2005年北京海淀区高三期末练习）函数y=xsinx+cosx在下边哪个区间内是增函数A.（，3）B.（，2）22C.（3，5）D.（2，3）22分析：仿前面第3小题挨次清除A、B、D.答案：C2.为了使y=sinx（0）在区间0，1上起码出现50次最大值

7、，则的最小值是B.197C.19922分析：491T1，即19721，44197.2答案：B思虑：若条件改为在x0，x0+1上起码出现50次最大值呢？3.（2004年福建，11）定义在R上的函数f（x）知足f（x）=f（x+2），当x3，5时，f（x）=2|x4|，则sin）f（cos）66sin1）f（cos1）cos2）f（sin2）33cos2）f（sin2）分析：由f（x）=f（x+2）知T=2，又x3，5时，f（x）=2|x4|，可知当3x4时，f（x）=2+x.当4x5时，f（x）=6x.其图以下，故在（1，0）上是增函数，在（0，1）上是减函数.又由|cos2|sin2|，f（c

8、os2）f（sin2）.答案：D4.若f（x）拥有性质：f（x）为偶函数，对随意xR，都有f（x）=f（+x），则f（x）的分析44式能够是_.（只写一个即可）答案：f（x）=a或f（x）=cos4x或f（x）=|sin2x|等.5.给出以下命题：正切函数的图象的对称中心是独一的；y=|sinx|、y=|tanx|的周期分别为、；2若x1x2，则sinx1sinx2；若f（x）是R上的奇函数，它的最小正周期为T，则f（T）=0.2此中正确命题的序号是_.答案：6.当（0，）时，求y=1sin21sin2.解：y=（sin22cos）（sincos）=sincossin+cos.（1）当（0，时

9、，有sincos，sin+cos0，4y=cossinsincos=2sin.（2）当（，3）时，sincos，sin+cos0，4y=sincossincos=2cos.（3）当（3，）时，有sincos，sin+cos0，y=sincos+sin+cos4=2sin.培育能力7.设x0，f（x）=sin（cosx），g（x）=cos（sinx），求f（x）、g（x）的最2大值.解：在x0，上，y=cosx是单一递减的，且cosx0，1，而y=sinx是2单一递加的，且sinx0，1，f（x）=sin（cosx）0，sin1，g（x）=cos（sinx）cos1，1.f（x）的最大值是sin

10、1，g（x）的最大值是1.8.若logcossinlogsincos（为锐角），求的取值范围.解：为锐角，0cos1，0sin1，logcossin0，logsincos0.原式就是logcossinlogsincoslogcossin1（logcos2logsincossin）1logcossin1sincos0.4研究创新9.已知P（1，cosx），Q（cosx，1），x，.44（1）求向量OP和OQ的夹角的余弦用x表示的函数f（x）；（2）求的最值.解：（1）OPOQ=2cosx，|OP|OQ|=1+cos2x，f（x）=cos=2cosx.1cos2x2cosx=2，（2）cos=co

11、s21xcosx1cosxx，cosx2，1.4422cosx+132，22f（x）1，即22cos1.cosx233max=arccos22，min=0.3思悟小结1.函数的单一性是在定义域或定义域的某个子区间上考虑的，要比较两三角函数值的大小一般先将它们化归为同一单一区间的同名函数再由该函数的单一性来比较大小.2.当函数的定义域为对于原点对称的区间时，判断函数的奇偶性一般运用奇偶性的定义，有时亦可应用与定义等价的命题，如f（x）f（x）=1（f（x）0），则f（x）为偶函数，若f（x）f（x）=1（f（x）0），则f（x）为奇函数，或由f（x）f（x）=0来判断奇偶性.3.判断y=Asin

12、（x+）（0）的单一区间，只要求y=Asin（x+）的相反区间即可，一般常用数形联合.而求y=Asin（x+）（0）单一区间时，则需要先将x的系数变成正的，再想法求之.（读者考虑为何）教师下载中心教课点睛本节是图象和性质的综合应用的内容，例题解说要突出数形联合思想、化归转变思想、分类议论等数学思想方法，并注意三角知识的载体作用，注意和其余知识间的关系.拓展题例【例1】判断f（x）=1sinxcosx的奇偶性.1sinxcosx正确解法：取x=，f（x）存心义，取x=，f（x）没存心义，故定义域对于原22点不对称.f（x）是非奇非偶函数.常有错误及诊疗：一些学生不分析定义域能否对于原点对称，而急于函数变形，极易致使错误的结论.要注意判断奇