2023届高考数学练习（湖南专版）-考点11 指数函数与对数函数提高题汇总（解析版）

1、考点11 指数函数与对数函数提高题汇总一、单选题（共15小题） 1.已知函数f（x），若函数yf（x）axb恰有4个零点，则（）Aa0，b0Ba0，b0Ca0，b0Da0，b0【解答】解：（1）令g（x）f（x）ax，则，则函数yf（x）axb恰有4个零点等价于方程g（x）b有4个实数根当x0时，其图象为开口向上、以直线为对称轴的抛物线的一部分，当x0时，g（x）ex（x+a+1），令g（x）0，得x（a+1）若a0，则g（x）在（，（a+1）上单调递减，在（a+1），0上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且g（a1）0，g（0）a0，当x时，g（x）0，故可作出函数g（x）的大致图象，如

2、图1所示，此时若方程g（x）b有4个实数根，则b0，故选项B正确；若1a0，则函数g（x）在（，（a+1）上单调递减，在（a+1），0上单调递增，在（0，+）上单调递增，且g（a1）0，g（0）a0，当x时，g（x）0，故可作出函数g（x）的大致图象，如图2所示，显然此时方程g（x）b不可能有4个实数根；若a1，分析可知函数g（x）在（，0上单调递增，在（0，+）上单调递增，且g（0）a0，x时，g（x）0，故可作出函数g（x）的大致图象，如图3所示，此时显然方程g（x）b不可能有4个实数根综上可知，选项A，C，D不正确，选项B正确，故选：B【知识点】函数的零点与方程根的关系 2.若函数f（x

3、）是定义在R上的奇函数，对任意xR，都有f（1x）f（1+x），且当x0，1时，f（x）2x1，若函数g（x）f（x）loga（x+2）（a0且a1）在（1，7）上恰有4个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A（0，）（7，+）B（0，）（9，+）C（0，）（7，+）D（0，）（9，+）【解答】解：函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x0，1时，f（x）2x1，当x1，0时，x0，1，函数f（x）f（x）2x+1，又对任意xR，都有f（1x）f（1+x），f（x）f（x+4），即函数f（x）的周期为4，又由函数g（x）f（x）loga（x+2）（a0且a1）在（1，7）上恰有4个不同的零点，得

4、函数yf（x）与yloga（x+2）的图象在（1，7）上有4个不同的交点，f（1）1，当a1时，由图1可得loga（5+2）1，解得a7；当0a1时，由图2可得loga（7+2）1，解得故选：C【知识点】函数的零点与方程根的关系 3.已知关于x的方程acos2|x|+2sin|x|a+20在x（2，2有四个不同的实数解，则非零实数a的取值范围为（）A（，0）（2，+）B（，0）（4，+）C（0，2）D（0，4）【解答】解：当x2时，原方程可化为20，显然不成立；令tsin|x|，作出在（2，2的图象，如图：由图象可得t0，1）（1，0），tsin|x|有四个实根当t1时，tsin|x|有两个实

5、根；当t（，1）（1，+）时，tsin|x|无实根；当t0时，tsin|x|有三个实根；原方程可化为a（1t2）+2ta+20，即at22t20，令f（t）at22t2（a0），当a0时，f（t）at22t2的图象为开口向下，对称轴为t的抛物线，由f（0）20，可得要使原方程有四个不等实根，函数f（t）在（1，0）有一个零点，只需f（1）a+22a0，即a0，显然与a0矛盾；当a0时，f（t）at22t2的图象为开口向上，对称轴为t的抛物线，由f（0）20，f（1）a+22a0，所以存在t（1，0），使得tsin|x|有四个实根要使原方程有四个实根，只需f（1）a220，即a4，所以0a4，综

6、上可得，a的范围是（0，4）故选：D【知识点】函数的零点与方程根的关系 4.已知函数f（x）ex+a，g（x）|lnx|，若x1，x2都满足f（x）g（x），则有（）Ax1x2eB1x1x2eC0 x1x2Dx1x21【解答】解：函数f（x）ex+a，g（x）|lnx|，若x1，x2都满足f（x）g（x），则两函数图象有两个交点，如图：f（x1）g（x1），f（x2）g（x2），不妨设0 x11，x21，即1lnx1x20，x1x21，故选：D【知识点】函数的零点与方程根的关系 5.已知函数f（x）|kx2|g（x）（k0）在（0，+）上有3个不同的零点，则k的取值范围是（）A（0，4）B（1

7、，+）C（0，1）（1，+）D（0，1）（1，4）【解答】解：因为函数f（x）|kx2|g（x）在（0，+）上有3个不同的零点，所以关于x的方程|kx2|g（x）在（0，+）上有3个不同的实数根 画出函数g（x）的图象，如图y|kx2|的图象恒过点（0，2），且与x轴的交点为当，即k4时，y|kx2|与g（x）的图象在（0，+）上仅有2个不同的交点，如图当，即1k4时，y|kx2|与g（x）的图象在上有1个交点，在上有2个交点，如图当，即0k1时，y|kx2|与g（x）的图象在上有3个交点，在上有0个交点，如图当，即k1时，y|kx2|与g（x）的图象在（0，+）上有2个交点，如图综上，可得k

8、的取值范围为（0，1）（1，4）故选：D【知识点】函数的零点与方程根的关系 6.已知函数与g（x）kx+1，若函数F（x）f（x）g（x）有n个零点x1，x2，xn，则F（x1）+F（x2）+F（xn）的值为（）A0B1CnD2n【解答】解：函数f（x）则数f（x）+f（x）+2即f（x）+f（x）2，可得f（x）关于（0，1）对称，直线ykx+1，直线恒过（0，1），f（x）与g（x）均关于（0，1）中心对称，可得f（x）+g（x）2，且g（x1）+g（xn）g（x2）+g（xn1）2，g（x1）+g（x2）+g（xn）；那么f（x）2g（x），F（x1）+F（x2）+F（xn）2n2g（x

9、1）+g（x2）+g（xn）2nnn故选：C【知识点】函数的零点与方程根的关系 7.设函数f（x）是定义在R上的周期为2的函数，且对任意实数x恒有f（x）f（x）0，当x1，0时，f（x）x2，若g（x）f（x）logax在x（0，+）上有三个零点，则实数a的取值范围为（）A（3，5）B（2，3）C（3，6）D（4，5）【解答】解：f（x）f（x）0，f（x）为偶函数，又函数f（x）是定义在R上的周期为2的函数，且当x1，0时，f（x）x2，作出函数f（x）的图象如图：g（x）f（x）logax在x（0，+）上有三个零点，yf（x）与ylogax在x（0，+）上有三个交点，解得3a5实数a的取

10、值范围是（3，5），故选：A【知识点】函数的零点与方程根的关系 8.已知函数f（x），若方程f（x）a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1x2x3x4，则x1+x2的取值范围是（）A（2，+）B（2，C（0，D2，【解答】解：作出f（x）的图象如图，由图象的对称性可知，x1+x24，又|log2x3|log2x4|，log2x3log2x4，则log2x3+log2x4log2（x3x4）0，x3x41，x1+x24+4+x3+x44+log2x4（0，2，x4（1，4，则x1+x24+（2，故选：B【知识点】函数的零点与方程根的关系 9.已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）f

11、（x），且当x1，1时，f（x）x2；令g（x）f（x）kxk，若在区间1，3内，方程g（x）0有4个不相等实根，则实数k的取值范围是（）A（0，+）BCD【解答】解：f（x）满足f（x+1）f（x），f（x+2）f（x+1）+1f（x+1）f（x）f（x），则f（x）是以2为周期的周期函数，当x1，1时，f（x）x2，由g（x）f（x）kxk0，得f（x）kx+kk（x+1），设yk（x+1），做出yf（x）在1，3上的函数图象如图所示：设直线yk1（x+1）经过点（3，1），则k1直线yk（x+1）经过定点（1，0），且直线yk（x+1）与yf（x）的图象有4个交点，0k，即实数k的取值范

12、围是（0，故选：C【知识点】函数的零点与方程根的关系 10.已知函数f（x），若h（x）f（x）a有5个零点，则这五个零点之和的取值范围是（）A（0，2）B（0，1）C（1，2）D（1，2）【解答】解：作出函数yf（x）的图象，则h（x）的零点即为直线ya与函数yf（x）的交点的横坐标，欲使h（x）有5个零点，则1a0，设此五个零点依次为x1，x2，x3，x4，x5，由ysinx和y4x24x的对称性可知x1+x21，x3+x41，而1x52，因此5个零点之和的取值范围是（1，2）故选：C【知识点】分段函数的应用、函数的零点与方程根的关系 11.设函数，若方程有六个不等的实数根，则实数a可取的

13、值可能是（）AB或1C1D或2【解答】解：当x0时，f（x）（x+1）ex，则f（x）（x+2）ex，当x2时，f（x）0，函数f（x）单调递减，当x2时，f（x）0，函数f（x）单调递增，故当x2时，函数取得极小值f（2），其函数大致图象如图所示：由图象可知，0f（x）1时，有3个不同的x与f（x）对应，设tf（x），则方程f（x）2af（x）+0有6个不同的实数根，所以t2at+0在t（0，1上有2个不等的实数根，设g（t）t2at+，则，解可得a，所以a的可取值是，1故选：B【知识点】函数的零点与方程根的关系 12.已知函数，若方程f（x）k有三个实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的

14、取值范围是（）A（2，3）B（1，2）C（0，2）D（0，1）【解答】解：作出函数的图象如图，不妨设x1x2x3，则x1（0，1），x2（1，2），x3（2，3），由f（x1）f（x2），得|log2x1|log2x2|，即log2x1log2x2，得log2（x1x2）0，则x1x21x1x2x3x3的取值范围是（2，3），故选：A【知识点】函数的零点与方程根的关系 13.若函数f（x）ex（exm）mx有两个不同零点，则实数m的取值范围是（）AB（1，+）CD（e，+）【解答】解：f（x）e2xmexmx，f（x）2e2xmexm2e2xm（ex+1），显然m0时，f（x）0，f（x）在（

15、，+）上单调递增，f（x）至多只有一个零点，不符合题意；m0时，yf（x）2e2xmexm，令tex，t0，则y2t2mtm，易知，函数yf（x）在（0，+）上有且仅有一个零点，记为t0，设，则，t（0，t0）时，y0，即x（，x0）时，f（x）0，t（t0，+）时，y0，即x（x0，+）时，f（x）0，f（x）在（，x0）上单调递减，在（x0，+）上单调递增，又x时，f（x）+；x+时，f（x）+f（x）有两个不同零点，又由得，代入式得：，即，记g（x）ex+2x1，g（x）ex+20，g（x）在R上单调递增，又g（0）0，x00，m的取值范围为（1，+）故选：B【知识点】函数的零点与方程根

16、的关系 14.已知定义在R上的函数f（x）满足条件f（x2）f（x），且函数yf（x+1）为偶函数当x0，1时，f（x）2x1，则方程在1，2上的实根之和为（）A4B3C2+log23D3log23【解答】解：由f（x2）f（x）得，f（x+2）f（x），则f（x）是周期为2的周期函数，又函数yf（x+1）为偶函数，函数yf（x+1）的图象关于y轴对称，函数yf（x）的图象关于直线x1对称，又当x0，1，f（x）2x1，作出函数yf（x）的图象如下图所示，函数f（x）的图象关于直线x1对称，方程在1，2上的实根之和为2加上方程在1，0上的实根，又x0，1时，f（x）2x1，由对称性可知，当x1

17、，2时，f（x）22x1，令x1，0，则x+21，2，故f（x）f（x+2）2x1（x1，0），令，即，解得x1log23，方程在1，2上的实根之和为2+1log233log23故选：D【知识点】函数的零点与方程根的关系、函数奇偶性的性质与判断 15.已知函数，若方程有3个不等的实根，则实数a的取值范围是（）ABCD【解答】解：令|2x1|t，则，即，亦即t2+（2a3）t+2a+10，作出函数|2x1|t的图象如下图所示，要使方程有3个不等的实根，由图象可知，方程t2+（2a3）t+2a+10必有两个解t1，t2，当t10，t2（0，1）时，代入可得不合题意；当t1（0，1），t21，+）时

18、，依题意，只需满足，即，解得故选：B【知识点】函数的零点与方程根的关系 二、填空题（共10小题） 16.已知yf（x）是奇函数，定义域为1，1，当x0时，f（x）|x|1（0，Q），当函数g（x）f（x）t有3个零点时，则实数t的取值范围是【解答】解：当x（0，1时，易知函数单调递减，且x0时，y2，x1时，其大致图象如下，f（x）|x|1在（0，1的大致图象如下，又函数f（x）是定义在1，1上的奇函数，故函数f（x）的图象如下，要使函数g（x）f（x）t有3个零点，只需函数yf（x）的图象与直线yt有且仅有3个交点，由图象可知，故答案为：【知识点】函数的零点与方程根的关系 17.设函数f（x

19、）|xa|+a，若关于x的方程f（x）1有且仅有两个不同的实数根，则实数a的取值构成的集合为【解答】解：由方程f（x）1，得有两个不同的解，令，则h（x）|xa|+a的顶点（a，a）在yx上，而yx与的交点坐标为（2，2），（1，1），联立得x2+（12a）x+20，由（12a）280，解得或，作出图象，数形结合，要使得有两个不同的解，则实数a的取值范围是或或2故答案为【知识点】函数的零点与方程根的关系 18.对于定义域为D的函数f（x），若存在x1，x2D且x1x2，使得f（x12）f（x22）2f（x1+x2），则称函数f（x）具有性质M，若函数g（x）|log2x1|，具x（0，a有性质

20、M，则实数a的最小值为【解答】解：设x1x2，由f（x12）f（x22）得，则，故，又，则，故，则实数a的最小值为故答案为：【知识点】函数的零点与方程根的关系 19.已知函数f（x）x|xa|+3x若存在a3，4，使得关于x的方程f（x）tf（a）有三个不相等的实数根，则实数t的取值范围是【解答】解：由题意f（x），且关于x的方程f（x）3at有三个不相等的实数根，（1）当3a3时，且，可得f（x）在（，+）上是单调递增函数，所以方程f（x）3at没有三个不相等的实数根，（2）当3a4时，可得f（x）在（，），（a，+）上是单调递增函数，在（，a）单调减增函数，（如图）当且仅当时，方程f（x）

21、3at没有三个不相等的实数根，可得，令g（a），a（3，4，可得g（a）在区间（3，4上单调递增函数，则t所以则实数t的取值范围是（1，）故答案为（1，）【知识点】函数的零点与方程根的关系 20.已知函数f（x），其中m0若f（x）在区间（0，+）上单调递增，则m的取值范围是；若存在实数b，使得关于x的方程f（x）b有三个不同的根，则m的取值范围是【解答】解：当m0时，函数f（x）的图象的大致形状如图，要使f（x）在区间（0，+）上单调递增，则m4mm2，解得0m3，又m0，0m3，则m的取值范围是（0，3；要使关于x的方程f（x）b有三个不同的根，则4mm2m，即m23m（m0），解得m3，

22、则m的取值范围是（3，+）故答案为：（0，3；（3，+）【知识点】函数的零点与方程根的关系 21.函数ya2x2+3（a0且a1）的图象恒过定点【解答】解：根据题意，数ya2x2+3中，令2x20，解可得x1，此时f（1）a22+34，即函数的图象恒过定点（1，4），故答案为：（1，4）【知识点】指数函数的图象与性质 22.已知函数f（x）是定义域在R上的偶函数，且f（x+1）f（x1），当x0，1时，f（x）x3，则关于x的方程f（x）|cosx|在，上所有实数解之和为【解答】解：因为f（x+1）f（x1），则f（x+2）f（x），所以f（x）的最小正周期为2，当x1，0时，x0，1，则f（

23、x）（x）3x3f（x），则f（x）x3，x1，0，又由f（x+2）f（x）得f（x）的图象关于x1对称，y|cosx|的图象也关于x1对称，作出函数yf（x）和y|cosx|在，上图象如图：由图象可得，yf（x）和y|cosx|在，上有7个交点，取x1外，两两关于x1对称，则所有实数解的和为23+17，故答案为：7【知识点】函数奇偶性的性质与判断、函数的零点与方程根的关系 23.已知函数若关于x的方程f2（x）+3af（x）+a250有9个不相等的实数根，则实数a的取值范围是【解答】解：首先将f（x）整理，去绝对值符号，可得f（x），作f（x）的图象如下，关于x的方程f2（x）+3af（x）

24、+a250有9个不相等的实数根，令f（x）t，则g（t）t2+3at+a250，由9a24（a25）20+5a20，可得方程g（t）0有两个不等实根，设为t1，t2，由图可知，要满足题意，则需0t11，t21，或t20，若0t11，t21时，则g（0）0，g（1）0，即a250，且a2+3a40，解得4a；若0t11，t20时，则g（0）0，g（1）0，即a250，且a2+3a40，解得a；综上可得，a的取值范围是a|4a或a故答案为：a|4a或a【知识点】函数的零点与方程根的关系 24.已知函数f（x）|4x3|+2，若函数g（x）f（x）22mf（x）+m21有4个零点，则m的取值范围是【

25、解答】解：g（x）f（x）22mf（x）+m210，即f（x）（m+1）f（x）（m1）0，解得f（x）m1或f（x）m+1由f（x）的图象，可得，解得3m4，即m的取值范围是（3，4）故答案为：（3，4）【知识点】函数的零点与方程根的关系 25.设f（x）是定义域在R上的偶函数，对xR，都有f（1x）f（1+x），且当x1，0时，f（x）（）x1，若在区间1，3内关于x的方程f（x）a（x1）20有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是【解答】解：由f（1x）f（1+x），得f（x）f（2+x），又f（x）是定义域在R上的偶函数，f（2+x）f（x）f（x），可得f（x）是周期为2的周期函数

26、当x1，0时，f（x）（）x1，作出函数f（x）在区间1，3内的图象如图，方程f（x）a（x1）20有4个不同的实数根，即yf（x）与ya（x1）2的图象在区间1，3内有4个不同交点当ya（x1）2过（3，1）时，解得a，又随着a的减小抛物线ya（x1）2的开口变大，可得若在区间1，3内关于x的方程f（x）a（x1）20有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是（0，故答案为：（0，【知识点】函数的零点与方程根的关系 三、解答题（共10小题） 26.已知函数g（x）lg（x）若g（x）是定义在R上的奇函数（1）求a的值；（2）判断函数的单调性，并给出证明，若g（bx2+2）g（2x+1）在2，3

27、上有解，求实数b的取值范围；（3）若函数f（x）12|x|，判断函数yff（x）g（x）在区间0，1上的零点个数，并说明理由【解答】解：（1）g（x）lg（x）是定义在R上的奇函数，g（0）lg（）0，即a1，当a1时，验证可知g（x）lg（x）是定义在R上的奇函数，故a1；（2）函数g（x）lg（x）在R上单调递减证明如下：令u（x）x，设x2x1，则x2x1，x2x10，又|x2|，|x1|，1，则10，u（x2）u（x1），即u（x）为R上的减函数，又ylgu为定义域内的增函数，由复合函数的单调性可得，函数g（x）lg（x）在R上单调递减由g（bx2+2）g（2x+1）在2，3上有解，得

28、bx2+22x+1，即bx22x1，也就是b在2，3上有解，令，则t，求得，则b；（3）g（x）lg（+x），f（x）12|x|，当x0，1时，f（f（x），f（f（0）g（0）0，f（f（）1，而g（）lg21，如图，函数yff（x）g（x）在区间0，1上有4个零点【知识点】函数单调性的性质与判断、函数的零点与方程根的关系 27.已知函数f（x）log4（4x+1）+kx与，其中f（x）是偶函数（）求实数k的值；（）求函数g（x）的定义域；（）若函数F（x）f（x）g（x）只有一个零点，求实数a的取值范围【解答】解：（）f（x）是偶函数，f（x）f（x），即（2k+1）x0对一切xR恒成立，

29、（）要使函数g（x）有意义，需，当a0时，解得，当a0时，解得，综上可知，当a0时，g（x）的定义域为，当a0时，g（x）的定义域为（）F（x）f（x）g（x）只有一个零点，方程有且只有一个实根，即方程有且只有一个实根，亦即方程有且只有一个实根，令t2x（t0），则方程有且只有一个正根，当a1时，不合题意；当a1时，因为0不是方程的根，所以方程的两根异号或有两相等正根由0有或3若，则t2不合题意，舍去；若a3，则满足条件，若方程有两根异号，则，a1，综上所述，实数a的取值范围是3（1，+）【知识点】函数的零点与方程根的关系、函数奇偶性的性质与判断 28.已知函数f（x）x22ax+9（）当a0

30、时，设g（x）f（2x），证明：函数g（x）在R上单调递增；（）若x1，2，f（2x）0成立，求实数a的取值范围；（）若函数f（x）在（3，9）有两个零点，求实数a的取值范围【解答】证明：（）g（x）f（2x）4x2a2x+9，设x2x1R，则，函数y2x在R上单调递增，即，又，得g（x2）g（x1），函数g（x）在R上单调递增；解：（）设t2x（1x2），则2t4，f（2x）0成立，即对任意2t4，都有t22at+90成立，即，令，由对勾函数的单调性，可得h（t）在（2，3）单调递减，在（3，4）单调递增，又，h（t）最大值为，则2a，即a，实数a的取值范围为，+）；（）函数f（x）在（3，

31、9）有两个零点且对称轴为xa，解得3a5故实数a的取值范围为（3，5）【知识点】函数的零点与方程根的关系、二次函数的性质与图象 29.某公司为调动员工工作积极性拟制定以下奖励方案，要求奖金y（单位：元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，奖金不超过90万元，同时奖金不超过投资收益的20%即假定奖励方案模拟函数为yf（x）时，该公司对函数模型的基本要求是：当x25，1600时，f（x）是增函数；f（x）90恒成立；f（x）恒成立（1）现有两个奖励函数模型：（）f（x）x+10；（）f（x）26试分析这两个函数模型是否符合公司要求？（2）已知函数f（x）a10（a2）符合公司奖励方案函数模型要

32、求，求实数a的取值范围【解答】解：（1）对于函数（），f（30）126，即函数（）不符合条件，函数f（x）x+10不符合公司奖励方案函数模型的要求；对于函数（），当x25，1600时，f（x）是增函数，且f（x）maxf（1600）24067490，f（x）90恒成立设h（x），5，40，当时，h（x）max10，得f（x）恒成立函数（）f（x）26符合公司要求（2）a2，函数g（x）满足条件，由函数g（x）满足条件得：，解得a，由函数g（x）满足条件得，对x25，1600恒成立，即a对x25，1600恒成立，当且仅当，即x50时等号成立，综上所述，实数a的取值范围是2，【知识点】根据实际问题

33、选择函数类型 30.根据市场调查，位于阳逻开发区的大明金属新产品投放市场的30天内，每件产品的销售价格P（单位：元）与时间t（单位：天）的关系如图，日销量Q（单位：件）与时间t之间的关系如表所示t/天5152030Q/件35252010（1）根据图示写出该产品每件的销售价格P与时间t的函数解析式（2）在所给的平面直角坐标系（如图）中，根据表中提供的数据描出实数对（t，Q）的对应点，并确定日销量Q与时间t的一个函数解析式（3）在这30天内，哪一天的日销售金额最大？（日销售金额每件产品的销售价格日销量）【解答】解：（1）根据题图知每件产品的销售价格P与时间t的函数解析式为P（2）描出实数对（t，Q

34、）的对应点如图所示从图中可以发现，点（5，35），（15，25），（20，20），（30，10）可能在同一条直线上，设它们所在直线l的解析式为Qkt+b（k，b为常数）将点（5，35），（30，10）代入方程，得，解得，所以Qt+40经检验，点（15，25），（20，20）也满足上式因此日销量Q与时间t的一个函数解析式为Qt+40（0t，30，tN*），（3）设日销售金额为y（单位：元），则即y，当0t20时，ymax1225，此时t5；当20t30时，y1000所以在这30天内，第5天的日销售金额最大【知识点】根据实际问题选择函数类型 31.某市为了刺激当地消费，决定发放一批消费券，已知每投

35、放a（0a4，aR）亿元的消费券，这批消费券对全市消费总额提高的百分比y随着时间x（天）的变化的函数关系式近似为y，其中f（x），若多次投放消费券，则某一时刻全市消费总额提高的百分比为每次投放的消费券在相应时刻对消费总额提高的百分比之和（1）若第一次投放2亿元消费券，则接下来多长时间内都能使消费总额至少提高40%；（2）政府第一次投放2亿元消费券，4天后准备再次投放m亿元的消费券，若希望第二次投放后的接下来两天内全市消费总额仍然至少提高40%，试求m的最小值【解答】解：（1）依题意，a2，y，要使y0.4，则f（x）2当0 x2时，得1x2；当2x7时，7x2，得2x51x5，即第一次投放2亿

36、元消费券，则接下来5天内都能使消费总额至少提高40%；（2）设再次投放m亿元消费券x天，则，0 x2，由0.4，得m，令t3+x，t3，5，tN*，则m，而，当且仅当，即t2，即x时，上式等号成立，m的最小值为20【知识点】根据实际问题选择函数类型、分段函数的应用 32.“金山银山，不如绿水青山，而且绿水青山就是金山银山”某乡镇为创建“绿色家园”，决定在乡镇范围内栽种某种观赏树木，已知这种树木自栽种之日起，其生长规律为：树木的高度f（x）（单位：米）与生长年限x（单位：年）满足关系f（x）（x0）树木栽种时的高度为米；1年后，树木的高度达到米（1）求f（x）的解析式；（2）问从种植起，第几年树

37、木生长最快？【解答】解：（1）f（x）（x0），由题意，f（0），f（1），得，解得k1，b4（x0）；（2）设g（x）为第x+1年内树木生长的高度，则g（x）f（x+1）f（x）令33xu（0u27），则h（u）令（u），则（u）在（0，）上单调递减，在（，27）上单调递增，当u时，（u）有最小值，得h（u）有最大值，由，得x，又xN，故x的值可能为3或4，又g（3），g（4），g（3）g（4），因此，从种植起，第4年或第5年树木生长最快【知识点】根据实际问题选择函数类型 33.新冠肺炎疫情的发生促进了医药科研的发展某医药研究所研发了一种治疗新冠肺炎的新药，经临床试验，该药物在病人血液中的含

38、量不低于2克时，它才能起到有效的治疗作用，且每服用m（1m4且mR）个单位的药剂，药剂在血液中的含量y（克）随着时间x（小时）变化的函数关系式近似为ymf（x），其中f（x）（1）若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达多少小时？（2）若病人第一次服用2个单位的药剂，在有效治疗时间末端再服用m个单位的药剂要使接下来的2小时中能够持续有效治疗，求m的最小值【解答】解：（1）m3，y3f（x），当0 x6时，2，当6x8时，由，解得x一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达小时；（2）当第一次服用2个单位的药剂时，y，此时，8x862，有效治疗时间末端为第6小时结束在有效治疗时间末端再服用m个单位的药剂，6x8，y2+m8x+，8x+2对x6，8恒成立，则m对x6，8恒成立，m且x6，8，y的对称轴为x4，y在6，8上单调递增，求得，即m，得m的最小值为【知识点】根据实际问题选择函数类型 34.已知函数f（x）ax2+bx+c（a0）满足f（0）1，对于任意xR，f（x）x，且