线性代数讲义(22)课件

1、第1节 齐次线性方程组的解空间与向量空间第2节 向量组的线性关系第3节 向量组的秩第4节 基、维数与坐标第5节 线性方程组的解的结构第 5 章 向量组与解空间 1第1节 齐次线性方程组的解空间与向量空间第 5 章 向量第3节 向量组的秩 由CH4.3知, 矩阵的秩, 是矩阵在初等变换下的 不变的指标.等价的矩阵有相同的秩, 对同型的矩阵秩相同时必等价. 向量组也有一个重要的指标秩, 它与矩阵的秩有密切联系.2第3节 向量组的秩 由CH4.3知, 矩阵的秩, 是矩阵定义5.3.1 设 1, 2, , m 是一个向量组, i1, i2, , ir ( r 0 ) 是它的一个部分组, 则称 i1,

2、i2, , ir 是向量组 1, 2, , m 的一个如果 (1) i1, i2, , ir 线性无关; (2) 对任意 j = 1, 2, , m, i1, i2, , ir, j 线性相关; 极大线性无关组.这里, r = 0 表示部分组是空集.于是, 极大线性无关组首先是线性无关的, 还要是极大的,极大性表现在 再添加向量进去 就不线性无关了, 即线性相关了. 3定义5.3.1 设 1, 2, , m 是一对向量组 1, 2, , m , 可以从一个线性无关的逐步扩充, 最后得到一个极大线性无关组. 如果这个向量组中全是零向量, 则它没有线性无关 的部分组, 此时, 认为空集是它的一个极

3、大线性无 关组, 极大线性无关组所含的向量个数为零. 以下假设向量组 1, 2, , m 中含有非零向量, 不妨设 1 0 , 则由 1 一个向量组成的向量组是线性无关的,如果添加每个向量 j 到 1 上得到的向量组 1, j 部分组出发, 都线性相关, 则 1 就是一个极大线性无关组; 4对向量组 1, 2, , m , 可以从一个线性无如果存在某个向量, 例如 2, 无关的, 则对 1, 2 进行类似讨论, 使得 1, 2 是线性 如此继续下去. 由于向量组 1, 2, , m 中只有有限多个向量, 所以这样的过程只能进行有限步, 最后可以找到一 个部分组, 例如 1, 2, , r, 使

4、得 1, 2, , r 线性 无关, 但对任意j 都有1, 2, , r, j 是线性相关的, 这样的部分组 1, 2, , r 就是向量组 1, 2, , m 的一个极大线性无关组. 注意到, 如果 1, 2, , m 是线性无关的, 则 1, 2, , m 本身就是 1, 2, , m 的一个极大线性无关组. 5如果存在某个向量, 例如 2, 无关的, 则对 1, 所以, 每个向量组都有极大线性无关组. 空集是极大线性无关组(此时认为它所含 的向量个数为0) 的充要条件是 这个向量组中的向量都是零向量.对同一个向量组, 它的不同的极大线性无关组中 所含的向量个数是否相同? 下面通过一个命题

5、和一个 定理解决这个问题. 6所以, 每个向量组都有极大线性无关组. 空集是极大线性无关组命题5.3.1 如果向量组 1, 2, , m 线性无关, 则以 1, 2, , m 为列向量的矩阵 A = (1 2 m ) 的秩为 m, 反之亦然. 证明 向量组 1, 2, , m 线性无关的充要条件是 齐次线性方程组这个齐次线性方程组只有零解x11 + x22 + + xmm = 0 只有零解.而根据推论4.3.1, 的充要条件是其系数矩阵 A 的秩等于 m. 7命题5.3.1 如果向量组 1, 2, , m 线定理5.3.1 如果向量组 i1, i2, , ir 是向量组 1, 2, , m 的

6、一个极大线性无关组, 证明 交换向量 1, 2, , m 的顺序, 则 r 就是以 1, 2, , m 为列向量的矩阵 A = (1 2 m ) 的秩. 不妨设 1, 2, , r 是一个极大线性无关组, 则 r+1, , m 中的每一个向量都可以由 1, 2, , r 线性表出. 于是, 将 A 的前 r 列的某些倍数加到第 r +1, , m 列上即可消去这后面的 m r 列, 例如, 若r+1 = k11 + k22 + + krr, 则将 A 的第 1 列的 k1倍, 第 2 列的 k2 倍, , 第 r 列的 kr 倍, 都加到第 r + 1 列上, 则第 r + 1 列就成为零向量

7、了. 8定理5.3.1 如果向量组 i1, i2, , i即, 对 A 作一系列的初等列变换可以将 A 化为 矩阵 A1 = (1 2 r 0 0 ), 而矩阵 A1 的秩与 矩阵 A2 = (1 2 r ) 的秩相同. 根据上面的命题4.3.1, 矩阵 A2 的秩就是 r, 所以矩阵 A 的秩为 r. 根据上面的定理4.3.1, 向量组 1, 2, , m 的任 意两个极大线性无关组都含有相同的向量个数, 称此 “个数” 为向量组 1, 2, , m 的秩.假设向量组 (I) 是向量组 (II) 的部分组, 则由于 (I) 的极大线性无关组可以扩充为 (II) 的极大线性无关组, 所以向量组

8、 (I) 的秩小于等于向量组 (II) 的秩. 9即, 对 A 作一系列的初等列变换可以将 A 化为 矩阵 推论5.3.1 设 A 是一个 n m 矩阵, 则 A 的秩等于其 列向量组的秩, 也等于其行向量组的秩. 证明 记 A 的列向量组为 1, 2, , m, 则由上面的定理5.3.1, 向量组 1, 2, , m 的秩等于 A 的秩. 另一方面, rank( A ) = rank( AT ), 而矩阵 AT 的列向量组就是 A 的行向量组, 对 AT 的利用上面的定理5.3.1, 即得 A 的行向量组的秩也等于 A 的秩. 注意: 上面命题中矩阵 A 的列向量是 n 维的, 但其行向量是

9、 m 维的. 10推论5.3.1 设 A 是一个 n m 矩阵, 则 命题5.3.2 如果向量组 1, 2, , s 可以由向量组 1, 2, , t 线性表出, 证明 令以 1, 2, , s 为列向量的矩阵为 A, 以下证明 rank( A ) rank( B ), 从而结论成立. 则1, 2, , s 的秩小于等 于 1, 2, , t 的秩. 以 1, 2, , t 为列向量的矩阵为 B, 因为 A 的列向量组是 ( A B ) 的列向量组的部分组, 由推论5.3.1及 p.89 l.8 的说明知 rank( A ) rank( A B ), 同理可得 rank( B ) rank(

10、A B ), 11命题5.3.2 如果向量组 1, 2, , s 可若向量组 1, 2, , s 可以由向量组 1, 2, , t 线性表出, 于是, ( A B ) 的前 s 列的每一列都是后 t 列的线性组合.则将后 t 列的适当倍数加到前 s 列的一列上, 就可以将这一列化为零.例如, 若1 = k1 1 + k2 2 + + kt t , 则将 ( A B ) 的第 s + 1 列 就把第 1 列变成了零. 的 k1倍, 第 s + 2 列的 k2 倍, , 第 s + t 列的 kt 倍, 都加到 第 1 列上. 这样的过程实际上是作一系列初等列变换. 所以对 ( A B ) 的作初

11、等列变换可以化为 ( 0 B ), 因此 rank( A B ) = rank( 0 B ) = rank( B ). 所以 rank( A ) rank( A B ) = rank( B ). 12若向量组 1, 2, , s 可以由向量组 1, 推论5.3.2 等价的向量组具有相同的秩. 例 1 rank( AB ) min rank( A ), rank( B ) . 证明 只需证明 rank( AB ) rank( A ). 类似方法可以证明 rank( AB ) rank( B ). 令 A = (1 2 n ), B = ( bij )nm, AB = (1 2 m ), 则 j

12、= b1j1 + b2j2 + + bnjn , j = 1, 2, , m.即 AB 的列向量组 (1 2 m ) 可以由 A 的列向量组(1 2 n ) 线性表出,由推论5.3.1, 这两个向量组的秩分别为 rank( AB ) 和 rank( A ), 再由命题5.3.2, rank( AB ) rank( A ). p.89 例1 13推论5.3.2 等价的向量组具有相同的秩. 例 1 ran例 2 rank( A + B ) rank( A ) + rank( B ) . 证明 令 A = (1 2 n ), B = ( 1 2 n ), 即 A + B 的列向量组可以由向量组线性表

13、出. 由命题5.3.2, 则 A + B = (1+ 1 2+ 2 n+ n ), 1, 2, , n , 1, 2, , n rank( A + B ) rank( 1, 2, , n , 1, 2, , n ) . 因为向量组 1, 2, , n , 1, 2, , n 可以由1, 2, , n 的极大线性无关组和 1, 2, , n 的极大线性 无关组线性表出.而两个无关组总共只有 rank( A ) + rank( B ) 个向量. p.90 例2 14例 2 rank( A + B ) rank( A ) 补充例1 证 设 A 为 n 阶矩阵, 证明rank( A + E ) + r

14、ank( A E ) n. ( A + E ) + ( E A ) = 2E,rank( A + E ) + rank( E A ) rank( 2E ) = n,由上例, 而 rank( A E ) = rank( E A ), rank( A + E ) + rank( A E ) n.15补充例1 证 设 A 为 n 阶矩阵, 证明 ( 推论5.3.1建立了向量组的秩与矩阵的秩的关系. 据此可以对矩阵的秩作进一步讨论.n 阶方阵 A 的秩等于 n 的充要条件是 | A | 0,再由推论5.3.1, 根据定理4.4.1和定理4.4.2, 这等价于 A 的行向量组线性无关, A 的列向量组也

15、线性无关.16推论5.3.1建立了向量组的秩与矩阵的秩的关系. 据此可以对定理5.3.2 设 A 是 n 阶方阵, 则下列结论等价: (1) A 为可逆矩阵; (2) rank( A ) = n; (3) | A | 0; (4) A 的行向量组线性无关; (5) A 的列向量组线性无关. 17定理5.3.2 设 A 是 n 阶方阵, 则下列结论等价:例 3 判别向量组 1 = , 2013 2 = , 2 1 0 3线性相关还是线性无关. p.90 例3 3 = , 21 12 说明 CH5.2 中通过验证齐次线性方程组 x11 + x22 + + xmm = 0 是否有非零解来判断 1,

16、2, , m 是否线性相关. 对于 n 个 n 维向量 组成的 向量组(构成 n 阶方阵 A ), 4 = , 2 1 0 4由定理5.3.2,可以用 | A | 是否为零来验证其线性相关性. 18例 3 判别向量组 1 = , 22 解 2 2 2 2 0 1 1 1 1 0 1 03 3 2 4 | A | = = = 以这 4 个向量作为列的行列式 2 0 2 1 1 1 3 5 4 = 2 0. 0 2 0 2 0 1 1 1 1 0 1 00 3 5 4 = 0 2 01 1 13 5 4 所以 1, 2, 3, 4 线性无关. 19解 2 2 2 2 | A | = =一般的矩阵是

17、否可以用行列式来求秩呢?这需要了解 “不同维数的向量的线性相关性” 的关系, 即 对 一个向量组中的向量 在相同位置添加分量 而得到的 一组同维数的新的高维数向量组, 对这两个向量组的线性相关性之间的关系. 20一般的矩阵是否可以用行列式来求秩呢?这需要了解 “不同维数的定理5.3.3 设 1, 2, , s 是一组 n 维向量, 证明 不妨假设 1, 2, , s 是由 1, 2, , s 添加 在1, 2, 后 r 个向量得到的. , s 的相同位置 添加 r 个分量 得到 n + r 维向量 1, 2, , s . 如果 1, 2, , s 线性无关, 则 1, 2, , s 也线性无关

18、. 考虑齐次线性方程组 x1 1 + x2 2 + + xs s = 0 , 它是由齐次线性方程组 x11 + x22 + + xss = 0 再 添加 r 个方程得到的. 根据假设, 1, 2, , s 是线性 无关的, 方程组 x11 + x22 + + xss = 0 只有零解. 方程组 x1 1 + x2 2 + + xs s = 0 也只有零解. 1, 2, , s 线性无关. 21定理5.3.3 设 1, 2, , s 是一组 n例4 则 1, 2, , s 与 1, 2, , s 具有相同的线性关系,用矩阵的方法求向量组的极大线性无关组. 设 1, 2, , s 是一组向量, 对

19、 A 作初等行变换(不能作列变换)变成 B = ( 1 2 s ). 于是, 1, 2, , s 中的一部分向量 线性相关 或 线性 无关 或 其中的一个向量是其余向量的线性组合 令矩阵 A = (1 2 s ), 即 ki1i1 + ki2i2 + kirir = 0 1, 2, , s 中对应序号的向量是 线性相关 或 线性无关 或 其中的一个向量是其余向量的线性组合. ki1 i1 + ki2 i2 + kir ir = 0. p.91 例4 22例4 则 1, 2, , s 与 1, 2, 对 A 作初等行变换(不能作列变换), 将它化成 行阶梯形, 则在台阶处的向量就构成一个极大线性

20、 无关组. 并可较方便地得到一个向量是此极大无关组的线性组合的表达形式. 例如, 对于例5.2.2 的 4 个向量 3 = , 2100 1 = , 112 1 2 = , 0 3 33 4 = 1 5 110 23对 A 作初等行变换(不能作列变换), 将它化成 行阶梯对其系数矩阵作初等变换 1 0 2 11 3 1 52 3 0 1 1 3 0 10 初等行变换1 0 0 90 3 0 190 0 1 5 0 0 0 0 所以 1, 2, 3 是一个极大线性无关组. 1, 2, 4 也是一个极大线性无关组. 而且还有 4 = 91 + 2 53 . 19 324对其系数矩阵作初等变换 1

21、0 2 1定义 在 m n 矩阵 A 中任取 r 行 r 列 ( r m, r n ), 位于这些行列交叉处的 r2 个元素, 不改变它们在 A 中所处的位置次序而得的 r 阶行列式, 称为矩阵 A 的 r 阶子式.m n 矩阵 A 的 r 阶子式共有 Cm Cn 个.r r25定义 在 m n 矩阵 A 中任取 r 行 r 列 引理5.3.1 设 A 是一个 m n 矩阵, 假设 A 有一个 r 阶 子式 M 不为零, 则 M 所在的行组成的行向量组是线性无关的, 所在的列组成的列向量组也是线性无关的.证明 不妨假设 M 处于 A 的左上角, 令 A 的左上角的 r r 矩阵为 A1, 则

22、M = | A1 |, 根据假设, | A1 | 0, 所以, A1 的行向量组线性无关, 列向量组也线性无关, 而 M 所在的行组成的行向量组是 A1 的行向量组添加 n r 个分量得到的. 根据定理5.3.3, M 所在的行组成行向量组是线性无关的. 同理, M 所在的列组成的列向量组也是线性无关的. 26引理5.3.1 设 A 是一个 m n 矩阵, 假设定理5.3.4 设 A 是一个 m n 矩阵, 则rank( A ) = max r | A 存在非零的 r 阶子式 . 证明 如果 A 有一个 r 阶子式 M 0, 则 M 所在的 r 个行组成的行向量组是线性无关的, 而 rank( A ) = A 的行向量组的秩, rank( A ) r . 为证明定理, 以下证明: 若 A 的所有 r 阶子式都等于零, 则 rank( A ) r. 只需证明 若 A 的所有 r 阶子式都等于零, 则 A 的任意 r 行都线性相关. 下面证明 A 的前 r 行 1, 2, , r 线性相关: 27定理5.3.4 设 A 是一个 m n 矩阵, 则r令 A1 是以 1, 2, , r 为行向量的矩阵, 则根据假设, A1