线性代数矩阵讲义课件

1、线性代数线性代数1上1下4上更新线性代数线性代数1上1下4上更新2022/9/252第二章 矩阵一、矩阵定义（数表）2022/9/242第二章 矩阵一、矩阵定义（数表）（一）矩阵与行列式的区别：2.矩阵： 1.行列式：（一）矩阵与行列式的区别：2.矩阵： 1.行列式：（二）特殊矩阵 1.零阵：2.行（列）矩阵：（二）特殊矩阵2.行（列）矩阵：2022/9/2553.负矩阵4.三角阵（方阵）上三角阵下三角阵2022/9/2453.负矩阵4.三角阵（方阵）上三角阵下三2022/9/2565.对角阵、单位阵、数量阵（均为方阵）对角阵（方阵）单位阵（方阵）数量阵（方阵）2022/9/2465.对角阵、

2、单位阵、数量阵（均为方阵）对2022/9/2576.对称矩阵、反对称矩阵（方阵） 反对称阵（方阵）主对角线元素为零对称阵（方阵）2022/9/2476.对称矩阵、反对称矩阵（方阵） 反对称二、 矩阵运算1.转置矩阵：（注意与行列式对比学习；与实际问题对应。）二、 矩阵运算1.转置矩阵：（注意与行列式对比学习；与实际问2.矩阵相等：两矩阵完全一样，称为相等。3.矩阵加法：同型矩阵才能相加。2.矩阵相等：两矩阵完全一样，称为相等。3.矩阵加法：同型矩2022/9/25104.数乘矩阵：数k遍乘矩阵的所有元素。注意：数乘行列式只乘某一行（列）。2022/9/24104.数乘矩阵：数k遍乘矩阵的所有元

3、素。2022/9/25115.加法与数乘的性质：例1：2022/9/24115.加法与数乘的性质：例1：解：例2：解：解：例2：解：2022/9/2513 6. 矩阵乘法：注意：（1）左列=右行，可乘。否则无意义。（2）运算=左行右列；（3）结果=左行右列。2022/9/2413 6. 矩阵乘法：注意：（1）左列=右2022/9/25142022/9/2414不相等不相等2022/9/25162022/9/24162022/9/2517例注意：（1）AB=BA，称A、B可交换； 乘法一般不满足交换律。 （2）AB=0，称A、B互为零因子； 但AB=0不一定能推出A=0或B=0。（3）由AB=A

4、C，A0，不能推出B=C。2022/9/2417例注意：（1）AB=BA，称A、B可交线性代数矩阵讲义课件线性代数矩阵讲义课件三、矩阵表示法销售收入： 某企业有m种产品，一年12个月中各产品销售量各不相同，若第j产品售价为pj,求一年各月收入及年总收入。三、矩阵表示法销售收入： 某企业有m种产品，1. 线性方程组1. 线性方程组 真简洁！ 真简洁！2022/9/25232.线性函数的矩阵表示法：3.线性变换的矩阵表示法：其中，2022/9/24232.线性函数的矩阵表示法：3.线性变换设则设则线性代数矩阵讲义课件线性代数矩阵讲义课件1.性质2.(反)对称矩阵的等价定义例：证明：证四、 转置矩阵

5、的性质1.性质2.(反)对称矩阵的等价定义例：证明：证四、 转置矩28五、方阵的幂及其行列式（一）方阵的幂（1）性质：（2）幂等阵：注意：（1）28五、方阵的幂及其行列式（一）方阵的幂（1）性质：（2）幂（二）方阵的行列式：（2）注意与数的幂运算区别：非零阵的幂可能为零阵；非单位阵的幂可能为单位阵。（1）性质（2）定理注意：可推广至有限项！（二）方阵的行列式：（2）注意与数的幂运算区别：非零阵的幂可线性代数矩阵讲义课件线性代数矩阵讲义课件2022/9/2532注意：（1）A、B、E必为同阶方阵；（2）不是方阵必不可逆；（3）A、B的地位对等，即A、B互为逆矩阵。一、 逆矩阵定义（方阵）1.定义

6、：2022/9/2432注意：（1）A、B、E必为同阶方阵；一例2例1例2例1例3：单位阵可逆，且例4：零矩阵不可逆。二、逆矩阵的性质（用定义证明）性质1 若A可逆，则A的逆阵唯一。性质2 若A可逆，则A的逆阵也可逆。且性质3 若A可逆，则A的转置也可逆。且性质4 若方阵A、B可逆，则AB也可逆。且例3：单位阵可逆，且例4：零矩阵不可逆。二、逆矩阵的性质（用2022/9/2535性质4可推广： 性质5 若A可逆，则 性质6 若A可逆，则kA也可逆，且 注意：可逆阵的乘积、数量乘积都可逆；但可逆 阵的和差不一定可逆，即使可逆，一般地 2022/9/2435性质4可推广： 性质5 若A可逆，则定理

7、2 若AB=AC，且A可逆，则B=C。三、逆矩阵求法伴随矩阵（1）实例定理2 若AB=AC，且A可逆，则B=C。三、逆矩阵求法2022/9/2537解：设有方阵使得由矩阵乘法和相等定义，可得三个线性方程组：即2022/9/2437解：设有方阵使得由矩阵乘法和相等定义，2022/9/2538方程组（1）（2）（3）的系数行列式均为：2022/9/2438方程组（1）（2）（3）的系数行列式均2022/9/2539由克莱姆法则，得第一个方程组的解：2022/9/2439由克莱姆法则，得第一个方程组的解：2022/9/2540其中同理，第二个方程组的解为：同理，第三个方程组的解为：其中2022/9/

8、2440其中同理，第二个方程组的解为：同理，第2022/9/2541得2022/9/2441得（2）定义：（3）定理3：其中证明：（2）定义：（3）定理3：其中证明：定义13 定义13 （4）例 判断下列矩阵是否可逆， 若可逆求出逆矩阵。（4）例 判断下列矩阵是否可逆，解：（1）A不是方阵，故A不可逆。解：（1）A不是方阵，故A不可逆。例：设求例：设求注意：此结论对一般的对角阵均成立。例解：注意：此结论对一般的对角阵均成立。例解：定理4 若A、B为n阶方阵, AB=E, 则A、B均可逆。 且证明：定理4 若A、B为n阶方阵, AB=E, 则A、B均可逆。证注意：（1）伴随矩阵求逆法的计算量大，

9、 适用于求较低阶矩阵的逆以及理论证明； 后面还要介绍矩阵的初等变换求逆法。 （2）要会灵活应用求逆公式的各种变形：四、小结：矩阵运算全了：加减乘除（逆），将 其视为黑箱（字母）与数的运算比较，注意 其差异点；掌握正确的运算规则和性质。注意：（1）伴随矩阵求逆法的计算量大，四、小结：矩阵运算全了2022/9/25501.矩阵分块：将矩阵分块与分块矩阵2.分块矩阵：将分为若干小块的一种方法。用横、竖线分为若干子块，视子块为元素进行运算，则 称为分块矩阵。如2022/9/24501.矩阵分块：将矩阵分块与分块矩阵2.3.常用分块矩阵： a. 2 2阶分块矩阵； b. 行（列）分块矩阵； c. 对角、

10、三角分块矩阵。注意：对角、三角分块矩阵中，主对角线上的 子块必为方阵。1.加、减：与普通矩阵运算相同；2.数乘：与普通矩阵运算相同；3.乘法：视子块为元素，与普通矩阵乘法运算规则相同。 A.分块法：AB=C，左列=右行 左行、右列无限制运算及对分块要求行同，列同无限制3.常用分块矩阵：1.加、减：与普通矩阵运算相同；2.数乘：2022/9/2552 例（左列分=右行分）2022/9/2452 例（左列分=右行分）2022/9/2553分块矩阵的逆阵（四种22阶特殊矩阵）2022/9/2453分块矩阵的逆阵2022/9/2554 例2022/9/2454 例2022/9/2555分块对角方块的运

11、算2022/9/2455分块对角方块的运算2022/9/25562022/9/2456线性代数矩阵讲义课件例 设求例 设求2022/9/2559解：2022/9/2459解：2022/9/25602022/9/2460引例：解线性方程组的三种等价变换矩阵的初等变换引例：解线性方程组的三种等价变换矩阵的初等变换线性代数矩阵讲义课件2.定义：2.定义：3.几个矩阵乘法：3.几个矩阵乘法：初等矩阵：对单位阵施行一次初等变换而得。 i行 j行 i行初等矩阵：对单位阵施行一次初等变换而得。 i行 j行 i行注意：初等阵均可逆，且逆阵仍为初等阵。 i行 j行注意：初等阵均可逆，且逆阵仍为初等阵。 i行 j

12、行4.定理 一次初等变换结果等于乘对应初等矩阵三、矩阵的标准形1.定义16：mn阶矩阵的标准形4.定理 一次初等变换结果等于乘对应初等矩阵三、矩阵的标准形定理 任何矩阵A均可经有限次初等变换化为标准形D。定义 若矩阵A经有限次初等变换化为矩阵B，则称A与B等价。记为注：任何矩阵A与其标准形D等价。定理 任何矩阵A均可经有限次初等变换化为标准形D。定义 矩阵等价关系的性质：（1）反身性：（2）对称性：（3）传递性：例 化A为标准形：解：矩阵等价关系的性质：（1）反身性：（2）对称性：（3）传递性线性代数矩阵讲义课件证明：定理 A可逆的充要条件是A可经有限次初等 变换（包括行、列变换）化为单位阵E

13、。证明：定理 A可逆的充要条件是A可经有限次初等定理说明了矩阵可经初等变换直接判定 是否可逆： 一般地，对矩阵进行初等变换，由不同类型的矩阵会得到不同的等价矩阵。如1、方阵2、非方阵三角阵、对角阵阶梯形标准形标准形（不可逆）单位阵（可逆）定理说明了矩阵可经初等变换直接判定 一般地，对矩阵进行初等变换求逆法1.定理 A可逆的充要条件为A可表为若干 初等阵之积。2.推论 A可逆，则A 仅由初等行变换可化为 单位阵。3.求逆方法：初等变换求逆法1.定理 A可逆的充要条件为A可表为若干22022/9/254. 例 解：2022/9/244. 例 解： 例解： 全为零，A不可逆。 例解： 全为零，2022/9/2576五、利用初等行变换解矩阵方程、线性