高中数学课件抛物线

1、第 二 章圆锥曲线与方程本章内容2.1 曲线与方程2.2 椭圆2.3 双曲线2.4 抛物线第二章 小结2.4 抛物线2.4.1 抛物线及其标准方程2.4.2 抛物线的简单几何性质(第一课时)2.4.2 抛物线的简单几何性质(第二课时)复习与提高2.4.1抛物线及其标准方程返回目录1. 抛物线是什么样的点的轨迹? 2. 抛物线的标准方程是怎样的? 开口方向不同时, 方程有什么变化? 3. 抛物线标准方程中的字母常数的几何意义是什么?学习要点 问题 1. 我们知道二次函数的图象是抛物线, 它的几何特征是什么? 它是什么样的点的轨迹? 我们用细绳画了椭圆和双曲线, 你知道用细绳怎样画抛物线吗?定义:

2、 我们把平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 点 F 叫做抛物线的焦点, 直线 l 叫做抛物线的准线.如图:Fl根据定义我们用细绳画抛物线.MD|MF| = |MD| (1) 抛物线上任一点到焦点的距离等于这点到准线的距离; (2) 抛物线的顶点在焦点与准线的垂线段的中点.【抛物线的标准方程】 问题2. 根据抛物线的定义, 你能求出抛物线的方程吗? 你认为怎样建立坐标系恰当?设焦点 F 到准线 l 的距离为 p (p0), 以过点 F, 且垂直于 l 的直线为 x 轴, F 到 l 的垂线段的中点为原点, 建立直角坐标系(如图).xyo则点 F 的坐标为直线

3、 l 的方程为根据定义得 |MF| = d,设点 M(x, y) 到直线 l 的距离为 d,d代入点的坐标得p化简方程得y2=2px.FlM抛物线的标准方程 问题3. 抛物线的标准方程中, p 的几何意义是什么? 抛物线的顶点在什么位置? 焦点的坐标是多少?准线的方程是怎样的? 在 y2=8x 中, 焦点的坐标是多少? 焦点到准线的距离是多少?y2=2px (p0)xyodpFlMp: 焦点到准线的距离.顶点: 原点 (0, 0).焦点:准线:y2=8x 中:2p=8,焦点坐标: (2, 0).焦点到准线的距离 p=4.准线方程: x= -2.抛物线的标准方程 问题4. 如果抛物线的开口向左,

4、 方程又是怎样的呢? 如果开口向上、下, 焦点放在 y 轴上, 方程又会是怎样?y2=2px (p0)xyodpFlMxyoFlxyoFl【几种不同位置的抛物线的标准方程】图 形yxoFlyxoFlyxoFlyxoFly2=2px(p0)y2=-2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p0)焦点坐标准线方程标准方程焦点到准线的距离为 p 例1. (1) 已知抛物线的标准方程是 y2=6x, 求它的焦点坐标和准线方程; (2) 已知抛物线的焦点是 F(0, -2), 求它的标准方程.解:由方程知抛物线的焦点在2p=6, 抛物线的焦点是准线方程是x 正半轴,(1) 例1. (1) 已知抛

5、物线的标准方程是 y2=6x, 求它的焦点坐标和准线方程; (2) 已知抛物线的焦点是 F(0, -2), 求它的标准方程.解:由焦点坐标知焦点在y 轴负半轴,则 2p=8, 抛物线的方程是x2 = -8y.(2) 问题1. 根据抛物线的定义, 抛物线上的点有什么特点? 已知抛物线 y2=2px (p0) 上一点 P 的 x 坐标为 a, 则这点到焦点的距离是多少? 抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离相等.xyoFlPDBP(x, y),|BP|=x=a,|PF| = |DP|=|DB|+|BP| 例(补充). 已知抛物线 y2=8x (p0)上一点 M 与焦点 F 的距离 | MF |

6、 = 6, 求点 M 的坐标.解:如图,又 |MD| = |MF| = 6,将 x 的值代入抛物线方程得 点M的坐标为6FlxyoMD由方程得 xM=6-2=4,练习: (课本67页)第 1、2、3 题.练习: (课本67页)1. 根据下列条件写出抛物线的标准方程: (1) 焦点是 F(3, 0); (2) 准线方程是 (3) 焦点到准线的距离是 2.解:由焦点坐标知焦点在 x 正半轴上, 且得 2p=12, 抛物线标准方程为y2=12x.(2)由准线方程知且焦点在 x 正半轴上,得 2p=1, 抛物线标准方程为y2=x.(1)练习: (课本67页)1. 根据下列条件写出抛物线的标准方程: (

7、1) 焦点是 F(3, 0); (2) 准线方程是 (3) 焦点到准线的距离是 2.解:由题设知 p=2,则 2p=4,焦点在 x 轴正负半轴时, 方程分别为y2=4x,焦点在 y 轴正负半轴时, 方程分别为x2=4y.(3)2. 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程: (1) y2=20 x; (2) x2= y; (3) 2y2+5x=0; (4) x2+8y=0.解:焦点在 x 正半轴, 2p=20, 焦点坐标为 (5, 0),准线方程为x = -5.焦点在 y 轴正半轴, 焦点坐标为准线方程为(2)(1)2. 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程: (1) y2=20 x; (2) x2= y

8、; (3) 2y2+5x=0; (4) x2+8y=0.解:(3)焦点在 x 轴负半轴上, 焦点坐标为准线方程为方程变为标准形式2. 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程: (1) y2=20 x; (2) x2= y; (3) 2y2+5x=0; (4) x2+8y=0.解:(4)2p=8,焦点在 y 轴 负半轴上, 焦点坐标为(0, -2),准线方程为y = 2.方程变为标准形式 x2=-8y,3. 填空: (1) 抛物线 y2=2px (p0)上一点M到焦点的距离是 a (a ), 则点 M 到准线的距离是 , 点 M的横坐标是 ; (2) 抛物线 y2=12x上与焦点的距离等于 9 的点的

9、 坐标是 .a2p=12,=9-3=6,解:如图,(2)xM = |MN|-3= |MF|-3将 x 坐标代入抛物线方程解得(1)aFxyoMN|MN| = |MF| = a.有两点 M, 坐标为【课时小结】1. 抛物线的定义 平面内到定点 F 和到定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 点 F 叫做抛物线的焦点, 直线 l 叫做抛物线的准线.Fl【课时小结】2. 抛物线的标准方程y2=2px (p0)xyodpFlMp: 焦点到准线的距离.顶点: 原点 (0, 0).焦点:准线:【课时小结】3. 不同开口方向的抛物线及标准方程图 形yxoFlyxoFlyxoFlyxoFly2=2px(

10、p0)y2=-2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p0)焦点坐标准线方程标准方程习题 2.4A 组第 1、2 题.1. 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程: (1) x2=2y; (2) 4x2+3y=0; (3) 2y2+x=0; (4) y2-6x=0.解:2p=2,焦点在 y 轴正半轴, 焦点坐标为准线方程为(1)习题 2.4A 组1. 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程: (1) x2=2y; (2) 4x2+3y=0; (3) 2y2+x=0; (4) y2-6x=0.解:焦点在 y 轴负半轴上, 焦点坐标为准线方程为(2)方程化为标准形式习题 2.4A 组1. 求下列抛物

11、线的焦点坐标和准线方程: (1) x2=2y; (2) 4x2+3y=0; (3) 2y2+x=0; (4) y2-6x=0.解:(3)焦点在 x 轴负半轴上, 焦点坐标为准线方程为方程化为标准形式习题 2.4A 组1. 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程: (1) x2=2y; (2) 4x2+3y=0; (3) 2y2+x=0; (4) y2-6x=0.解:(4)方程化为标准形式为 y2=6x,2p=6,焦点在 x 轴正半轴上, 焦点坐标为准线方程为习题 2.4A 组2. 填空题. (1) 准线方程为 x=2 的抛物线的标准方程是 ; (2) 抛物线 y2=8x 上到焦点的距离等于 6 的点

12、的坐标是 .解:(1)由准线方程知焦点在 x 轴负半轴.由 得 2p=8,所以抛物线方程为 y2= -8x.y2= -8x(2)由抛物线方程得准线方程 x= -2,抛物线上到焦点为 6 的点, 到准线的距离也为 6,即 x-(-2)=6,得 x=4,代入抛物线方程得2.4.2抛物线的简单几何性质第一课时返回目录1. 抛物线有哪些几何性质? 2. 抛物线的离心率是怎样定义的? 与椭圆和双曲线比较有什么不同? 3. 抛物线标准方程中的字母常数 p 的大小变化使抛物线的形状发生什么样的变化?学习要点由定义和方程, 可以得到抛物线的简单几何性质.Fxyoly2 = 2px (p0)1. 范围x0, y

13、R.2. 对称性以 -y 代 y, 方程不变,抛物线关于 x 轴对称,3. 顶点抛物线与它的轴的交点叫抛物线的顶点,4. 离心率 抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离之比叫抛物线的离心率, 离心率 e=1.抛物线的对称轴叫抛物线的轴.顶点坐标 (0, 0). 问题1. 双曲线的离心率的大小能引起开口大小的变化, 抛物线的率心率有这个特性吗? 引起抛物线开口大小变化的是抛物线方程中的什么数?抛物线的离心率是个定值, e=1, 没有变化.我们观察几条抛物线(练习第2题):y2=xy2=2xy2=4xxy444424x41oy2-2-44-11y2=xy2=2xy2=4xx 的系数大, 抛物线开

14、口大.xyop 抛物线 y2=2px (p0), p 逐渐增大, 抛物线的开口逐渐增大.Fl 例3. 已知抛物线关于 x 轴对称, 它的顶点在原点, 并且经过点 M(2, ), 求它的标准方程.xoyM2解:如图,由点 M 的位置知抛物线的焦点在 x 轴正半轴点上, 可设抛物线的方程为y2=2px (p0), 抛物线经过点M, 所以有解得 p=2, 抛物线的方程为y2=4x. 例 2. 一种卫星接收天线的轴截面如图所示, 卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线, 经反射聚集到焦点处. 已知接收天线的口径 (直径) 为 4.8 m, 深度为 0.5 m, 求抛物线的标准方程和焦点坐标

15、.xyOABF解:因为轴截面是抛物线,如图, 以抛物线的轴为 x 轴, 抛物线顶点为原点建立平面直角坐标系.则A点的坐标为 A(0.5, 2.4).设抛物线的方程为 y2=2px.将点A的坐标代入方程解得p=5.76,抛物线的方程为y2=11.52x,焦点的坐标为(2.88, 0).练习: (课本72页)第 1 题.练习: (课本72页)1. 求适合下列条件的抛物线的标准方程: (1) 顶点在原点, 关于 x 轴对称, 并且经过点 M(5, -4); (2) 顶点在原点, 焦点是 F(0, 5); (3) 顶点在原点, 准线是 x = 4; (4) 焦点是 F(0, -8), 准线是 y =

16、8.解:由M的位置知, 焦点在 x 轴正半轴上,设抛物线方程为y2=2px (p0),将点 M(5, -4) 代入方程得16=2p5, 抛物线的方程为(1)练习: (课本72页)1. 求适合下列条件的抛物线的标准方程: (1) 顶点在原点, 关于 x 轴对称, 并且经过点 M(5, -4); (2) 顶点在原点, 焦点是 F(0, 5); (3) 顶点在原点, 准线是 x = 4; (4) 焦点是 F(0, -8), 准线是 y = 8.解:(2)由焦点坐标知焦点在 y 轴正半轴上, 抛物线的方程为得 2p=20,x2=20y.练习: (课本72页)1. 求适合下列条件的抛物线的标准方程: (

17、1) 顶点在原点, 关于 x 轴对称, 并且经过点 M(5, -4); (2) 顶点在原点, 焦点是 F(0, 5); (3) 顶点在原点, 准线是 x = 4; (4) 焦点是 F(0, -8), 准线是 y = 8.解:(3)由准线方程知焦点在 x 轴负半轴上, 抛物线的方程为得 2p=16,y2 = -16x.练习: (课本72页)1. 求适合下列条件的抛物线的标准方程: (1) 顶点在原点, 关于 x 轴对称, 并且经过点 M(5, -4); (2) 顶点在原点, 焦点是 F(0, 5); (3) 顶点在原点, 准线是 x = 4; (4) 焦点是 F(0, -8), 准线是 y =

18、8.解:(4)焦点在 y 轴负半轴上, 抛物线的方程为得 2p=32,x2 = -32y.由焦点坐标与准线方程知抛物线顶点在原点,【课时小结】1. 抛物线的几何性质y2 = 2px (p0), x0, yR.(1) 范围y2 = -2px (p0), x0, yR.x2 = 2py (p0), y0, xR.x2 = -2py (p0), y0, xR.【课时小结】1. 抛物线的几何性质(2) 对称性y2 = 2px (p0),抛物线关于 x 轴对称.x2 = 2py (p0),抛物线关于 y 轴对称.抛物线的对称轴叫抛物线的轴.【课时小结】1. 抛物线的几何性质(3) 顶点抛物线与它的轴的交

19、点叫抛物线的顶点,标准方程中, 抛物线的顶点是原点.(4) 离心率 抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离之比叫抛物线的离心率, 离心率 e=1.【课时小结】2. 抛物线方程的系数 p(1) 焦点到准线的距离等于 p.(2) p 增大时, 抛物线开口增大;p 减小时, 抛物线开口减小.习题 2.4A 组第 3、4、5、7、8 题. 3. 抛物线 y2=2px (p0)上一点 M 与焦点 F 的距离 | MF | = 2p, 求点 M 的坐标.解:2p2pFlxyoM如图, | MF | =2p, xM =代入抛物线方程得解得 y = 点M的坐标为习题 2.4A 组xoy-6 4. 根据下列条

20、件, 求抛物线的方程, 并画出图形: (1) 顶点在原点, 对称轴是 x 轴, 并且顶点与焦点的距离等于 6; (2) 顶点在原点, 对称轴是 y 轴, 并经过点P(-6, -3).解:由题设知, 焦点在 x 轴正半轴或负半轴上,则 2p=24, 抛物线的方程为y2 = 24x,或 y2 = -24x.6y2 = 24x,y2 = -24x,-1212前一条抛物线过点(6, 12) 与 (6, -12),后一条抛物线与前一条反方向.(1) 4. 根据下列条件, 求抛物线的方程, 并画出图形: (1) 顶点在原点, 对称轴是 x 轴, 并且顶点与焦点的距离等于 6; (2) 顶点在原点, 对称轴

21、是 y 轴, 并经过点P(-6, -3).解:(2)由点 P 的坐标知, 焦点在 y 轴负半轴上, 抛物线方程可设为x2 = -2py,将点 P 的坐标代入方程得(-6)2 = -2p(-3),解得 p=6, 抛物线方程为x2 = -12y.xoy-3-6即得 2p=12, 5. 如图, M是抛物线 y2 = 4x 上一点, F是抛物线的焦点, 以 Fx 为始边, FM 为终边的角xFM=60, 求 |FM|.FxyoMlKHB解:如图, 作准线 l 交 x 轴于K,由抛物线定义知|FM| = |MH|= |KB|= |KF| + |FB|= p + |FM|cosxFM,则 |FM|=2+|

22、FM|cos60, MBx 轴于B, MHl 于H,由题设得 p=2, xFM=60,解得 |FM|=4. 7. 如图, 吊车梁的鱼腹部分AOB是一段抛物线, 宽 7 m, 高为 0.7 m, 求这条抛物线的方程.70.7AOBxy解:以抛物线的轴为 y 轴,以顶点为原点建立坐标系,于是, 抛物线方程可为x2 = 2py,由题设知, 抛物线过点B(3.5, 0.7),代入方程得3.52=1.4p,解得 p = 8.75, 所求抛物线的方程为x2 = 17.5y (0y0.7). 8. 图中是抛物线形拱桥, 当水面在 l 时, 拱顶离水面 2 m, 水面宽 4 m, 水下降 1 m 后, 水面宽

23、多少?l24解:以抛物线的轴为 y 轴,以顶点为原点建立坐标系.于是, 抛物线方程可为x2 = -2py,由题设知, 抛物线过点 (2, -2),将点的坐标代入方程解得 p = 1,于是得拱桥抛物线的方程为x2 = -2y.xyo水面下降 1 m 时, y = -3,当 y= -3 时解得答: 水下降 1m后, 水面宽是这时, 水面的宽为2.4.2抛物线的简单几何性质第二课时返回目录1. 抛物线与直线有些什么关系? 2. 过抛物线焦点的直线有什么特殊性? 常与抛物线的什么联系解决这类问题?学习要点 例4. 斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y2=4x 的焦点F, 且与抛物线相交于A、B 两点

24、, 求线段 AB 的长.FxyoBA分析:如果求得 A, B 两点的坐标,即可求线段AB的长.求曲线交点的坐标, 需解方程组.求得直线AB的方程为 y=x-1,解方程组 得再由两点间的距离公式即可求得.然而, 此题根据抛物线的定义求较为简便.解:抛物线的焦点是 F(1, 0),由点斜式得直线AB的方程为y = x-1,x2-6x+1=0,|AB| = |AA| + |BB|= x1+1 + x2+1= x1+x2+2= 6+2= 8.如图, 由抛物线知定义得解方程组 得FxyoBAAB 例4. 斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y2=4x 的焦点F, 且与抛物线相交于A、B 两点, 求线段

25、AB 的长.(应用了抛物线的定义和二次方程根与系数的关系) 练习(补充). 一直线过抛物线 y2=2px (p0) 的焦点, 与抛物线交于 A, B 两点, 根据下列情况求弦长 |AB|. (1) AB 垂直于轴; (2) AB 不垂直轴.FxyoBAAB解:(1)如图, 当AB垂直轴时,分别过 A, B 作准线的垂线 AA, BB.则 |AB|=|AA|+|BB|=p+p=2p. 练习(补充). 一直线过抛物线 y2=2px (p0) 的焦点, 与抛物线交于 A, B 两点, 根据下列情况求弦长 |AB|. (1) AB 垂直于轴; (2) AB 不垂直轴.FxyoBAAB解:(2)当AB不

26、垂直轴时,分别过 A, B 作准线的垂线 AA, BB.则 |AB|=|AA|+|BB|设 AB 的方程为代入抛物线方程整理得|AB|= 练习(补充). 一直线过抛物线 y2=2px (p0) 的焦点, 与抛物线交于 A, B 两点, 根据下列情况求弦长 |AB|. (1) AB 垂直于轴; (2) AB 不垂直轴.FxyoBAAB过焦点的弦叫焦点弦.垂直于轴的焦点弦叫通径.用抛物线定义求焦点弦长.焦点弦长 |AB|=xA+xB+p. 例5. 过抛物线焦点 F 的直线交抛物线于 A, B 两点, 通过点 A 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点 D, 求证: 直线 DB 平行于抛物线的对称轴.

27、xoyFA DB思路:要使命题成立, 需B、D的y 坐标相等.由直线AO交准线得点D的 y 坐标;由直线AF交抛物线得点B的 y 坐标.这些坐标都由点A的坐标确定.又因为点A在抛物线上,所以点A的 x 坐标可由 y 坐标确定. 例5. 过抛物线焦点 F 的直线交抛物线于 A, B 两点, 通过点 A 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点 D, 求证: 直线 DB 平行于抛物线的对称轴.xoyFA DB证明:设抛物线的方程为 y2=2px,则可设点A的坐标为于是可写出AO的方程由直线AO与准线 相交于D得设过 的直线AB为将抛物线方程 代入直线AB的方程并整理得xoyFA DB 例5. 过抛物线

28、焦点 F 的直线交抛物线于 A, B 两点, 通过点 A 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点 D, 求证: 直线 DB 平行于抛物线的对称轴.证明:设抛物线的方程为 y2=2px,则可设点A的坐标为于是可写出AO的方程由直线AO与准线 相交于D得设过 的直线AB为将抛物线方程 代入直线AB的方程并整理得ky2-2py-kp2=0,则 yAyB= -p2,由得 yD=yB,DB 平行于抛物线的对称轴. 例6. 已知抛物线的方程为 y2=4x, 直线 l 过定点P(-2, 1), 斜率为 k. 当 k 为何值时, 直线 l 与抛物线y2=4x: 只有一个公共点; 有两个公共点; 没有公共点?解:

29、由点斜式得直线 l 的方程为y-1=k(x+2).解方程组将 代入 y-1=k(x+2) 得ky2-4y+8k+4=0.(1) 当 k=0 时, 方程 为一次方程, y 只有一解,此时 l 平行于 x 轴, 与抛物线只有一个公共点.(2) 当 k0 时, 方程 为二次方程,=-16(2k-1)(k+1). 例6. 已知抛物线的方程为 y2=4x, 直线 l 过定点P(-2, 1), 斜率为 k. 当 k 为何值时, 直线 l 与抛物线y2=4x: 只有一个公共点; 有两个公共点; 没有公共点?解:由点斜式得直线 l 的方程为y-1=k(x+2).解方程组将 代入 y-1=k(x+2) 得ky2

30、-4y+8k+4=0.(1) 当 k=0 时, 方程 为一次方程, y 只有一解,此时 l 平行于 x 轴, 与抛物线只有一个公共点.(2) 当 k0 时, 方程 为二次方程,=-16(2k-1)(k+1).当=0 时, 方程 只有一根, 直线与抛物线解得 或 k=-1.(3) 当0 时, 方程 有两不等实根, 直线与相切.抛物线有两交点.解得(4) 当0)上各点向 x 轴作垂线段, 求垂线段中点的轨迹方程, 并说明它是什么曲线.MFA解:如图,设 A(x0, y0) 是抛物线上任一点,M(x, y)是垂线段AB的中点,则 x = x0,即 x0=x,y0=2y,代入抛物线方程得(2y)2=2

31、px,即得BB 组 2. 正三角形的一个顶点位于坐标原点, 另外两个顶点在抛物线 y2=2px (p0)上, 求这个正三角形的边长.xyoAB解:如图, AOB是正三角形,因为抛物线关于 x 轴对称,所以 AB 被 x 轴垂直平分,yA= |OA|sin30则 xA= |OA|cos30代入抛物线方程得解得这个正三角形的边长为 3. 已知点 A, B 的坐标分别是 (-1, 0), (1, 0), 直线 AM, BM 相交于点 M, 且直线 AM 的斜率与直线 BM 的斜率的差是 2, 求点 M 的轨迹方程.解:设点 M 的坐标为 (x, y),由题设得 kAM-kBM=2,用坐标表示上式得整

32、理得 x2= -(y-1).MxyoAB1-1M当 x=1 时 y=0,点 M 与 A, B 重合, 不合题意.点 M 的轨迹方程是x2= -(y-1) (x1).轨迹是去掉 A, B 两点的一条抛物线, 顶点是(0, 1).1复习与提高复习与提高返回目录知识要点1. 抛物线及其标准方程 到定点与到定直线的距离相等的点的轨迹. 定点 F 叫焦点, 定直线叫准线.标准方程: y2=2px (p0)p: 焦点到准线的距离.顶点: 原点 (0, 0).焦点:准线:xyoDpFlM|MF| = |MD|.知识要点2. 不同开口方向的抛物线图 形yxoFlyxoFlyxoFlyxoFly2=2px(p0

33、)y2=-2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p0)焦点坐标准线方程标准方程知识要点3. 抛物线的几何性质y2 = 2px (p0), x0, yR.(1) 范围y2 = -2px (p0), x0, yR.x2 = 2py (p0), y0, xR.x2 = -2py (p0), y0, xR.知识要点3. 抛物线的几何性质(2) 对称性y2 = 2px (p0),抛物线关于 x 轴对称.x2 = 2py (p0),抛物线关于 y 轴对称.抛物线的对称轴叫抛物线的轴.知识要点3. 抛物线的几何性质(3) 顶点抛物线与它的轴的交点叫抛物线的顶点,标准方程中, 抛物线的顶点是原点.

34、知识要点3. 抛物线的几何性质(4) 离心率 抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离之比叫抛物线的离心率, 离心率 e=1.知识要点3. 抛物线的几何性质(5) 开口大小 p 增大时, 抛物线开口增大;p 减小时, 抛物线开口减小.由方程中 p 的大小确定开口大小:知识要点4. 过抛物线焦点的直线直线被抛物线截得的线段叫抛物线的弦.过焦点的弦叫焦点弦.垂直于轴的焦点弦叫通径.用抛物线定义求焦点弦长.焦点弦长 |AB|=xA+xB+p.通径的长等于 2p.知识要点5. 直线与抛物线直线方程与抛物线方程联列方程组:(1) 方程组无解时,(2) 方程组只有一解时,直线与抛物线相离.直线平行抛物线的

35、轴, 或与抛物线相切.(3) 方程组有两解时,直线与抛物线相交得两个交点.例题选讲返回目录 例1. 已知抛物线关于 x 轴对称, 它的顶点在坐标原点, 并且经过 M(2, y0), 若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3, 则 |OM|= ( ) (A) (B) (C) 4 (D)分析:由点 M 知抛物线的开口向右.求出点 M 的坐标即可得 |OM|.MxyOF2由 |MF|=3 得 p=2.则抛物线方程为y2=4x.当 x=2 时, y=即得B(抛物线定义求得 p) 例2. 已知直线 l1: 4x-3y+6=0, 和直线 l2: x= -1, 抛物线 y2=4x 上一动点 P 到直线 l1 和

36、直线 l2 的距离之和的最小值是 ( ) (A) 2 (B) 3 (C) (D)xyOF-1Pl1l2AB分析:如图,两距离为 |PA|, |PB|.若 A, P, B 共线, 则|PA|+|PB| 最小.考虑转换线段:|PB|=|PF|.则 |PA|+|PB|=|PA|+|PF|.过点 F 作 l1 的垂线段 PA 交抛物线于 P,垂线段 FA 的长即为 |PA|+|PB| 的最小值.AP由点到直线的距离得=2.A (构造共线线段, 和最小)B 例3. 设抛物线 y2=2x 的焦点为 F, 过点 M( 0)的直线与抛物线相交于 A, B 两点, 与抛物线的准线相交于点 C, |BF|=2,

37、则BCF与ACF的面积之比 等于 ( ) (A) (B) (C) (D)MxyOFCBA分析:以 F 到直线 AB 的距离 h为两三角形的高, 转换面积的比:=2,则得由 B, M 两点得直线 AB 的方程: 例3. 设抛物线 y2=2x 的焦点为 F, 过点 M( 0)的直线与抛物线相交于 A, B 两点, 与抛物线的准线相交于点 C, |BF|=2, 则BCF与ACF的面积之比 等于 ( ) (A) (B) (C) (D)MxyOFCBA分析:以 F 到直线 AB 的距离 h为两三角形的高, 转换面积的比:=2,则得由 B, M 两点得直线 AB 的方程:与抛物线联列解方程组得A(2, -

38、2).(1) 面积比转换为线段比; (2) 线段比转换为相似比;(3) 相似比转换为坐标比. 例4. 已知抛物线 C: y2=4x, 的焦点为 F, 过点 K (-1, 0) 的直线 l 与 C 相交于 A, B 两点, 点 A 关于 x 轴的对称点为点 D. 求证: 点 F 在直线 BD 上.BxyOFD-1KA思路: 写出AB方程, 斜率 k 待定. 与抛物线解交点. 得点 D 的坐标. 写出 BD 的方程. 检验 F 的坐标满足 BD 方程得证. 例4. 已知抛物线 C: y2=4x, 的焦点为 F, 过点 K (-1, 0) 的直线 l 与 C 相交于 A, B 两点, 点 A 关于

39、x 轴的对称点为点 D. 求证: 点 F 在直线 BD 上.BxyOFD-1KA证明:设 AB 的方程为y=k(x+1).代入抛物线方程解交点:(发现解交点计算量很大)(换个角度思考:不直接求根,考虑根与系数的关系)k2x2+(2k2-4)x+k2=0.y= 例4. 已知抛物线 C: y2=4x, 的焦点为 F, 过点 K (-1, 0) 的直线 l 与 C 相交于 A, B 两点, 点 A 关于 x 轴的对称点为点 D. 求证: 点 F 在直线 BD 上.BxyOFD-1KA证明:设 AB 的方程为y=k(x+1).代入抛物线方程解交点:k2x2+(2k2-4)x+k2=0.点 D 的坐标为

40、(xA, -yA).BD方程:即 例4. 已知抛物线 C: y2=4x, 的焦点为 F, 过点 K (-1, 0) 的直线 l 与 C 相交于 A, B 两点, 点 A 关于 x 轴的对称点为点 D. 求证: 点 F 在直线 BD 上.BxyOFD-1KA证明:设 AB 的方程为y=k(x+1).代入抛物线方程解交点:k2x2+(2k2-4)x+k2=0.点 D 的坐标为(xA, -yA).BD方程:即y=0 时 BD 与 x 轴相交, 解 x:=1.即 BD 与 x 轴的交点为(1, 0).此点恰是焦点 F 的坐标.点 F 在直线 BD 上.(根与系数的关系是解直线与圆锥曲线的一种技法)练习

41、共 8 题返回目录 1. 过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A, B 两点, |AF|=2, 则 |BF| = . 2. 过抛物线 x2=2py (p0) 的焦点 F 作倾斜角为 30 的直线, 与抛物线分别交于 A, B 两点(点 A 在 y 轴左侧), 则 3. 已知 F 为抛物线 C: y2=4x 的焦点, 过 F 且斜率为 1 的直线交 C 于 A, B 两点, 设 |FA|FB|, 则|FA| 与 |FB| 的比值等于 . 4. 圆 C 与圆 x2+(y-3)2=1 外切, 与直线 y=0 相切,则 C 的圆心轨迹为 ( ) (A) 抛物线 (B) 双曲线 (C) 椭圆 (D) 圆 5. 已知抛物线 y2=2px (p0) 的准线与圆 x2+y2-6x-7=0 相切, 则 p 的值为 ( ) (A) (B) 1 (C) 2 (D) 4 6. 已知点 P 是抛物线 y2=2x 上的一个动点, 则点P 到 (0, 2) 的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( ) (A) (B) 3 (C) (D) 7. 已知抛物线 y2=2px (p0), 过其交点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A