电磁场与电磁波课后1

1、电磁场与电磁波(杨儒贵第二版)课后答案-1电磁场与电磁波(杨儒贵第二版)课后答案-1电磁场与电磁波(杨儒贵第二版)课后答案-1第一章矢量解析重点和难点关于矢量的定义、运算规则等内容可让读者自学。应重视讲解梯度、散度、旋度的物理看法和数学表示，以及格林定理和亥姆霍兹定理。至于正交曲面坐标系一节可以略去。考虑到高年级同学已学过物理学，讲解梯度、散度和旋度时，应结合电学中的电位、积分形式的高斯定律以及积分形式的安培环路定律等内容，阐述梯度、散度和旋度的物理看法。详细的数学推演可以从简，仅给出直角坐标系中的表达式即可。讲解无散场和无旋场时，也应以电学中介绍的静电场和恒定磁场的基本特色为例。至于格林定理

2、，证明可免，仅给出公式即可，但应介绍格林定理的用途。前已指出，该教材的特色之一是以亥姆霍兹定理为依照逐一介绍电磁场，因此该定理应重视介绍。但是由于证明过程较繁，还要涉及函数，若是学时有限可以略去。由于亥姆霍兹定理严格地定量描述了自由空间中矢量场与其散度和旋度之间的关系，因此应该重视说明散度和旋度是产生矢量场的源，而且也是独一的两个源。因此，散度和旋度是研究矢量场的首要问题。其他，还应重申自由空间可以存在无散场或无旋场，但是不可以能存在既无散又无旋的矢量场。这种既无散又无旋的矢量场只能存在于局部的无源区中。重要公式直角坐标系中的矢量表示：AAxexAyeyAzez矢量的标积：代数定义：ABAxB

3、xAyByAzBz几何定义：AB|A|B|cosexeyez矢量的矢积：代数定义：ABAxAyAzBxByBz几何定义：ABez|A|B|sin标量场的梯度：exeyyezxz矢量场的散度：AxAyAzAyzx高斯定理：AdVAdSVSexeyez矢量场的旋度：Ayz；xAxAyAz斯托克斯定理：(A)dSAdlSl无散场：(A)0；无旋场：()0格林定理：第一和第二标量格林定理：(2)dV()dSVS(22)dVSdSV第一和第二矢量格林定理：(P)(Q)PQdVSPQdSVQ(P)P(QdVPQQPdSVS亥姆霍兹定理：F(r)(r)A(r)，式中(r)1F(r)A(r)1F(r)VdVV

4、dV4rr4rr三种坐标系中矢量表示式之间的变换关系：Arcossin0AxAsincos0AyAz001AzArsincossinsincosAxAcoscoscossinsinAyAsincos0AzArsin0cosArAcos0sinAA010Az题解第一章题解1-1已知三个矢量分别为Aex2ey3ez；B3exey2ez；C2exez。试求|A|,|B|,|C|；单位矢量ea,eb,ec；AB；AB；(AB)C及(AC)B；(AC)B及(AB)C。解AAx2Ay2Az212223214BBx2By2Bz232122214CCx2Cy2Cz22202125eaAA1ex2ey3ezA1

5、414ebBB13exey2ezB1414ecCC1ezC52ex5ABAxBxAyByAzBz3261exeyezexeyezABAxAyAz1237ex11ey5ezBxByBz312exeyezABC711511ex3ey22ez201exexexexeyez因ACAxAyAz1232ex5ey4ezCxCyCz201exeyez则ACB2546ex8ey13ez312ACB235113215ABC7205119。1-2已知z0平面内的地址矢量A与X轴的夹角为，地址矢量B与X轴的夹角为，试证cos()coscossinsin证明由于两矢量位于z0平面内，因此均为二维矢量，它们可以分别表示

6、为AexAcoseyAsinBexBcoseyBsin已知ABABcos，求得cosABcoscosABsinsinAB即cos()coscossinsin1-3已知空间三角形的极点坐标为P1(0,1,2)，P2(4,1,3)及P3(6,2,5)。试问：该三角形是否是直角三角形；该三角形的面积是多少解由题意知，三角形三个极点的地址矢量分别为P1ey2ez；P24exey3ez；P36ex2ey5ez那么，由极点P1指向P2的边矢量为P2P14exez同理，由极点P2指向3的边矢量由极点3指向1的边矢量分别为PPPP3P22exey8ezP1P36exey7ez因两个边矢量(P2P1)(P3P2

7、)0，意味该两个边矢量相互垂直，因此该三角形是直角三角形。因P2P1421217P3P222128269，因此三角形的面积为1P1P3P20.51173SP221-4已知矢量Aexyeyx，两点P1及P2的坐标地址分别为P1(2,1,1)及P2(8,2,1)。若取P1及P2之间的抛物线x2y2或直线P1P2为积分路径，试求线积分p1Adl。p2解积分路线为抛物线。已知抛物线方程为x2y2,dx4ydy，则P1AdlP1ydxxdyP14y2dy2y2dyP16y2dy2y3114积分路线为直线。P2P2P2P22因P1,P2两点位于z211平面内，过P1,P2两点的直线方程为y1x2，即6yx

8、4，82dx6dy，则PP14yAdl6ydy6y4dy12y214。P2P221-5设标量xy2yz3，矢量A2ex2eyez，试求标量函数在点(2,1,1)处沿矢量A的方向上的方导游数。解已知梯度exxeyyezzexy2ey(2xyz2)ez3yz2那么，在点(2,1,1)处的梯度为ex3ey3ez因此，标量函数在点(2,1,1)处沿矢量A的方向上的方导游数为Aex3ey3ez2ex2eyez26311-6试证式（1-5-11），式（1-5-12）及式（1-5-13）。证明式（1-5-11）为，该式左边为exxeyyezzexxxeyyyezzzexeyezexeyezxyzxyz即，。

9、依照上述复合函数求导法规同样可证式（1-5-12）和式（1-5-13）。1-7已知标量函数sinxsinyez，试求该标量函数在点P(1,2,3)处的最大变化率23及其方向。解标量函数在某点的最大变化率即是函数在该点的梯度值。已知标量函数的梯度为exxeyyezz那么ex2cosxsinyezeysinxcosyezezsinxsinyez2332323将点P(1,2,3)的坐标代入，得333点的最大变化率为Pey6eez2e。那么，在PPeye3ez3e3e3227626P点最大变化率方向的方向余弦为cos0；cos；272cos272271-8若标量函数为x22y23z2xy3x2y6z试

10、求在P(1,2,1)点处的梯度。解已知梯度exxeyez，将标量函数代入得yzex2xy3ey4yx2ez6z6再将P点的坐标代入，求得标量函数在P点处的梯度为P3ex9ey1-9试证式（1-6-11）及式（1-6-12）。证明式（1-6-11）为CACA，该式左边为CACAxCAyCAzCAxAyAzCA即CACAyxyzxz式（1-6-12）为AAA，该式左边为AxAxyAyzAzAxAxAyAyAzxxyAzzzyAA；即AAA1-10试求距离|r1r2|在直角坐标、圆柱坐标及圆球坐标中的表示式。解在直角坐标系中r1r2x2x12y22z22y1z1在圆柱坐标系中，已知xrcos，yrs

11、in，zz，因此r1r2r2cos2r1cos12r2sin2r1sin12z2z12r22r122r2r1cos21z2z12在球坐标系中，已知xrsincos,yrsinsin,zrcos,因此r1r2r2sin2cosr1sin1cos2r2sin2sinr1sin1sin2r221212cos2r1cos1r22r122r2r1sin2sin1cos21cos2cos11-11已知两个地址矢量r1及r2的终点坐标分别为(r1,1,1)及(r2,2,2)，试证r1与r2之间的夹角为cossin1sin2cos(12)cos1cos2证明依照题意，两个地址矢量在直角坐标系中可表示为r1ex

12、r1sin1cos1eyr1sin1sin1ezr1cos1r2exr2sin2cos2eyr2sin2sin2ezr2cos2已知两个矢量的标积为r1r2r1r2cos，这里为两个矢量的夹角。因此夹角为cosr1r2r1r2式中r1r2r1r2(sin1cos1sin2cos2sin1sin1sin2sin2cos1cos2)r1r2r1r2因此，cossin1sin2(cos1cos2sin1sin2)cos1cos2sin1sin2cos(12)cos1cos21-12试求分别满足方程式f1(r)r0及f2(r)r0的函数f1(r)及f2(r)。解在球坐标系中，为了满足f1rrf1rrf

13、1rrrf1r3f1r0rdf1r0df1r3dr，求得即要求r3f1rf1rrdrlnf1r3lnrlnC即f1rCr3在球坐标系中，为了满足f2rrf2rrf2rr0由于f2rr0，r0，即上式恒为零。故f2r可以是r的任意函数。1-13试证式（1-7-11）及式（1-7-12）。证明式（1-7-11）为CACA（C为常数）令AAxexAyeyAzez，CACAxexCAyeyCAzez，则exeyezexeyezCAxyzCyzCAxCAxCAyCAzAxAyAz式（1-7-12）为AAA令AAxexAyeyAzez，AAxexAyeyAzez，则exeyezAyzyAzzAyexxAx

14、AyAzxAzzAxeyxAyyAxezAzAyexxAzAxeyxAyAxezyzzyAzAyexAzAxeyAyAxezyzxzxyAA若将式（1-7-12）的右边张开，也可证明。1-14试证r0，r0及r0。rr3证明已知在球坐标系中，矢量A的旋度为ereer2sinrsinrArArrArsinA关于矢量r，因Arr，A0，A0，代入上式，且因r与角度，没关，那么，由上式获知r0。关于矢量r，因Ar1，A0，A0，显然r0。rr关于矢量r3，因Ar12，A0，A0，同理获知rrr0。r31-15若C为常数，A及k为常矢量，试证：eckrCkeckr；(Aeckr)CkAeckr；(Ae

15、ckr)CkAeckr。证明证明eCkrCkeCkr。利用公式FF，则eCkreCkrCkrCeCkrkr而krkxxkyykzzexkxeykyezkzk求得eCkrCkeCkr。证明AeCkrCkAeCkr。利用公式AAA，则AeCkrAeCkreCkrAAeCkr再利用的结果，则AeCkrCkAeCkr证明AeCkrCkAeCkr。利用公式AAA，则AeCkreCkrAeCkrAeCkrA再利用的结果，则AeCkrCkAeCkr。1-16试证2ekrk2ekr，式中k为常数。rr证明已知在球坐标系中21r2112rsinr2rr2sinr2sin22则2ekr1r2ekr1r21ekrk

16、krrr2rrr2rr2err12r即1-17证明ekrkrekr1kekr1krkekrk2ekrrr2r2ekrk2ekrrr试证(E)E(E)E1|E|22利用公式ABABBAABBA令上式中的ABE，则E22EE2EE2EE2EE将上式整理后，即得EEE1E2E。21-18已知矢量场F的散度Fq(r)，旋度F0，试求该矢量场。解依照亥姆霍兹定理，FrrAr，其中1Fr1FrrVdV；ArVdV4rr4rr当F0时，则Ar0，即Frr。那么因Fqr，求得r1qrdVq4Vrr4r则Frrqerr241-19已知某点在圆柱坐标系中的地址为4,2,3，试求该点在相应的直角坐标系及圆3球坐标系

17、中的地址。解已知直角坐标系和圆柱坐标系坐标变量之间的变换关系为xrcos，yrsin，zz因此，该点在直角坐标下的地址为22x4cos2;y4sin23;z=333同样，依照球坐标系和直角坐标系坐标变量之间的变换关系，rx2y2z2；arctanx2y2；arctanyzx可得该点在球坐标下的地址为r5；arctan453；12031-20已知直角坐标系中的矢量Aaexbeycez，式中a,b,c均为常数，A是常矢量吗试求该矢量在圆柱坐标系及圆球坐标系中的表示式。解由于A的大小及方向均与空间坐标没关，故是常矢量。已知直角坐标系和圆柱坐标系坐标变量之间的变换关系为rx2y2；arctany；zz

18、x求得ra2b2；arctanb；zcasinb；cosaa2b2b2a2又知矢量A在直角坐标系和圆柱坐标系中各个坐标重量之间的变换关系为Arcossin0AxAsincos0AyAz001Az将上述结果代入，求得ab0Ara2b2a2b2aa2b2Aba0b0a2b2a2Azb2cc001即该矢量在圆柱坐标下的表达式为Aera2b2ezc直角坐标系和球坐标系的坐标变量之间的变换关系为rx2y2z2；arctanx2y2；arctanyzx由此求得ra2b2c2；arctana2b2；arctanbca矢量A在直角坐标系和球坐标系中各个坐标重量之间的变换关系为Arsincossinsincos

19、AxAcoscoscossinsinAyAsincos0Az求得Arsincossinsincosaa2b2c2Acoscoscossinsinb0Asincos0c0即该矢量在球坐标下的表达式为Aera2b2c2。1-21已知圆柱坐标系中的矢量Aaerbecez，式中a,b,c均为常数，A是常矢量吗试求A及A以及A在相应的直角坐标系及圆球坐标系中的表示式。解由于固然a,b,c均为常数，但是单位矢量er和e均为变矢，因此A不是常矢量。已知圆柱坐标系中，矢量A的散度为A11AAzrrrArzr将Aaerbecez代入，得1aArar00矢量A的旋度为rrerezereezrerrrbArzrzr

20、ezArrAAzarbc已知直角坐标系和圆柱坐标系坐标变量之间的变换关系为xrcos;yrsin;zzcosxy2x;sinx2yyx2ay2a又知矢量A在直角坐标系和圆柱坐标系中各个坐标重量之间的变换关系为Axcossin0ArAysincos0AAz001Az将上述接结果代入，得xyxb0yAxaaaabxAyyx0byAzaaca001c即该矢量在直角坐标下的表达式为Axbyexybxeycez，其中x2y2a2。aa矢量A在圆柱坐标系和球坐标系中各个坐标重量之间的变换关系Arsin0cosArAcos0sinAA010Az以及sina，cosc，求得rraca2c20ArrrarrAc

21、ab000rArcbb010即该矢量在球坐标下的表达式为Arerbe。1-22已知圆球坐标系中矢量Aaerbece，式中a,b,c均为常数，A是常矢量吗试求A及A，以及A在直角坐标系及圆柱坐标系中的表示式。解由于固然a,b,c均为常数，但是单位矢量er，e，e均为变矢，因此A不是常矢量。在球坐标系中，矢量A的散度为A1r2Ar1sinA1Ar2rrsinrsin将矢量A的各个重量代入，求得A2abcot。矢量A的旋度为rrereer2sinrsinrArArrArsinAereer2sinrsinrberrarbrsinc利用矢量A在直角坐标系和球坐标系中各个坐标重量之间的变换关系Axsinc

22、oscoscossinArAysinsincossincosAAzcossin0Acosxsinx2y2x2y2x2y2x2y2z2a以及，求得该矢量在直角坐标下的表达式为yzzsincosx2y2x2y2z2aAxbxzcyexybyzcxax2y2x2y2ax2y2x2eyy2zbx2y2eza利用矢量A在圆柱坐标系和球坐标系中各个坐标重量之间的变换关系Arsincos0Arrz0arbzaaaA001A001bcAzcossin0Azr0czbaara求得其在圆柱坐标下的表达式为Arbzercezbrez。aa1-23若标量函数1(x,y,z)2z，2(x,z)rzsin，3(r,)si

23、n2，2及xyr2，试求122。322222xz2xz解111100 x2y2z2211222r222rr22z2rr1rzsin1rzsin0rrr221r211233sin33r2rrr2sinr2sin221rr22sin1sincos0r2r3r2sinr22sincos2sin21r4r4sinr4sin1-24若A(x,y,z)xy2z3exx3zeyx2y2ezA(r,z)err2cosezr3sinA(r,)errsine1sine12cosrr试求A，A及2A。解AAxAyAz2z300y2z3；xyzyexeyezexeyezAxyzxyzAxAyAzxy2z3x3zx2y22x2