证明不等式的基本方法课件

1、证明不等式的基本方法课件一.比较法:一.比较法:比商法,常用有幂式比大小练习1.已知a,b是正数,求证 ,当且仅当 时,等号成立. 练习.比较与的大小. ）.书P25页2（2）书P23页4比商法,常用有幂式比大小练习1.已知a,b是正数,求证 一.比较法证明不等式是最基本的方法也是最常用的方法。比较法的两种形式： 比差法：要证ab，只须证a-b0。 比商法：要证ab且b0，只须证 1说明：作差比较法证明不等式时， 通常是进行因式分解，利用各因式的符号进行判断，或进行配方，利用非负数的性质进行判断；一般地运用比商法时要考虑正负，尤其是作为除式式子的值必须确定符号；证幂指数或乘积不等式时常用比商法

2、，证对数不等式时常用比差法。 一.比较法证明不等式是最基本的方法也是最常用的方法。比较法二.分析法:二.分析法:证明不等式的基本方法课件三.综合法:三.综合法:例2.如果用akg白糖制出bkg糖溶液,则糖的质量分数为a/b.若在上述溶液中再添加mkg白糖,此时糖的质量分数增加到(a+m)/(b+m).将这个试试抽象为数学问题,并给出证明.证一：看书P22页证二：分析法例2.如果用akg白糖制出bkg糖溶液,则糖的质量分数为a/练习：书P25页：2（1）a,b,c0,求证：（ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c2)16abc练习：书P25页：三.综合法：利用某些已经证明过的不等式作为基础，再

3、运用不等式的性质推导出所要求证的不等式的方法。 在用基本不等式证明时要注意一正二定三相等的条件。 三.综合法：利用某些已经证明过的不等式作为基础，再运用不等式1。调和平均数几何平均数算术平均数平方平均数2。等号当且仅当a=b=c时成立3。一正二定三相等1。调和平均数几何平均数算术平均数平方平均数2。等号当 当且仅当 时取等号 当且仅当 时取等a,b同号右左边取“=”，a,b异号左右边取“=”当且仅当a1,a2,an0或a1,a2,an0取“=”a,b同号右左边取“=”，a,b异号左右边取“=”当且仅当a 假设命题结论的反面成立，经过正确的推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这

4、样的证明方法叫反证法.(正难则反)四.反证法: 例、已知 ，求证： 中至少有一个不小于 。 假设命题结论的反面成立，经过正确的推理,引出矛盾，因如、求证:五.构造函数法：构造函数用函数单调性，构造图形用数形结合方法。 如、求证:五.构造函数法：构造函数用函数单调性，构造图形用数六.放缩法：欲证AB，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得BB，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个解：（1）比差法或用数学归纳法证。先求和再放缩解：（1）比差法或用数学归纳法证。先求和再放缩证明不等式的基本方法课件证明不等式的基本方法课件七.导数法：移项，让一边为0，把其中一个字母作为变量，其它当常数，通过

5、求导求出最小值与0比较即可证。 n=1相等；n大于等于2，当x0增，0 x-2,导数小于0，为减，所以最小f(0)八。数学归纳法：格式问题呵七.导数法：移项，让一边为0，把其中一个字母作为变量，其它当九.换元法：换元法是指结构较为复杂、量与量之间关系不很明了的命题，通过恰当引入新变量，代换原题中的部分式子，简化原有结构，使其转化为便于研究的形式。用换元法证明不等式时一定要注意新元的约束条件及整体置换策略.主要是三角换元和均值换元。例7(1)设 三角换元九.换元法：换元法是指结构较为复杂、量与量之间关系不很明了的（2）设 ，且 ， 求证： ； （2）设 ，且 如、已知 ，求证： 都属于10。 “”法。如、已知 变式：设 且 求证：变式：设 如：（1）正数x ,y满足x+2y=1,则 改为x+2y=5又如何？（2） 11。逆代法如：11。逆代法例9已知i，m，n是正整数，且1imn (I)证明niAimmiAin； (2)证明(1+m)n(1+n)m 先放缩再求和例9已知i，m，n是正整数，且1imn先放缩再求和1。（1）提示：比差（2）先证 ，即得左边不等式即可得右边不等式1