年高考第一轮复习数学充要条件与反证法

1、充要条件与反证法知识梳理1.充分条件：假如pq，则p叫q的充分条件，原命题（或逆否命题）建立，命题中的条件是充分的，也可称q是p的必需条件.2.必需条件：假如qp，则p叫q的必需条件，抗命题（或否命题）建立，命题中的条件为必需的，也可称q是p的充分条件.3.充要条件：假如既有pq，又有qp，记作pq，则p叫做q的充分必需条件，简称充要条件，原命题和抗命题（或逆否命题和否命题）都建立，命题中的条件是充要的.4.反证法：当直接证明有困难时，常用反证法.点击双基bc2是ab建立的A.充分而不用要条件B.充要条件C.必需而不充分条件D.既不充分也不用要条件分析：abac2bc2，如c=0.答案：A2.

2、（2004年湖北，理4）已知a、b、c为非零的平面向量.甲：ab=ac，乙：b=c，则甲是乙的充分条件但不是必需条件B.甲是乙的必需条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必需条件分析：命题甲:ab=aca（bc）=0a=0或b=c.命题乙:b=c，因此乙甲，但甲乙.故甲是乙的必需条件但不是充分条件.答案：B3.（2004年浙江，8）在ABC中，“A30”是“sinA1”的2A.充分而不用要条件B.必需而不充分条件C.充分必需条件D.既不充分也不用要条件分析：在ABC中，A300sinA1sinA1，sinA130A15022A30.“A30”是“sinA1”的

3、必需不充分条件.2答案：B4.若条件p:a4，q:5a6，则p是q的_.分析：a45a6，如a=7固然知足a4，但明显a不知足5a6.答案：必需不充分条件5.（2005年春天上海，16）若a、b、c是常数，则“a0且b24ac0”是“对随意xR，有ax2”的+bx+c0A.充分不用要条件B.必需不充分条件C.充要条件D.既不充分也不用要条件分析：若a0且b24ac0，则对随意xR，有ax2+bx+c0，反之，则不必定建立.如a=0，b=0且c0时，也有对随意xR，有ax2所以应选A.+bx+c0.答案：A典例分析【例1】使不等式2x25x30建立的一个充分而不用要条件是001，3，51或x32

4、分析：2x25x30建立的充要条件是x12时2x25x30.同理其余也可用特别值考证.或x3，对于A当x=13答案：C【例2】求证：对于x的方程ax2+bx+c=0有一根为1的充分必需条件是a+b+c=0.证明：（1）必需性，即“若x=1是方程ax2+bx+c=0的根，则a+b+c=0”.x=1是方程的根，将x=1代入方程，得a12+b1+c=0，即a+b+c=0.（2）充分性，即“若a+b+c=0，则x=1是方程ax2+bx+c=0的根”.把x=1代入方程的左侧，得a12+b1+c=a+b+c.a+b+c=0，x=1是方程的根.综合（1）（2）知命题建立.深入拓展求ax2+2x+1=0（a0

5、）起码有一负根的充要条件.证明：必需性：（1）方程有一正根和一负根，等价于44a0 x1x21a0.a0（2）方程有两负根，等价于44a02a00a1.1a0综上可知，原方程起码有一负根的必需条件是a0或0a1.充分性：由以上推理的可逆性，知当a0时方程有异号两根；当0a1时，方程有两负根.故a0或0a1是方程ax2+2x+1=0起码有一负根的充分条件.答案：a0或0a1.【例3】以下说法对不对?假如不对，分析错误的原由.（1）x2x2是xx2=x2的充分条件；（2）x2x2是xx2=x2的必需条件.解：（1）x2=x+2是xx2=x2的充分条件是指x2=x+2xx2=x2.但这里“”不建立，

6、因为x=1时，“”左侧为真，但右侧为假.得犯错误结论的原由可能是应用了错误的推理：x2=x+2x=x2x2=xx2.这里推理的第一步是错误的（请同学增补说明详细错在哪里）.（2）x2=x+2是xx2=x2的必需条件是指xx2=x2x2=x+2.但这里“”不建立，因为x=0时，“”左侧为真，但右侧为假.得犯错误结论的原由可能是用了错误的推理:xx2=x2x2=xx+2=x2.这里推理的第一步是错误的（请同学增补说明详细错在哪里）.评论：本题的解答比较着重逻辑推理.事实上，也能够从真值会合方面来分析：x2=x+2的真值会合是1，2，xx2=x2的真值会合是0，2，1，20，2，而0，21，2，所以

7、（1）（2）两个结论都不对.闯关训练夯实基础1.（2004年重庆，7）已知p是r的充分不用要条件，s是r的必需条件，q是s的必需条件，那么p是q建立的A.充分不用要条件B.必需不充分条件C.充要条件D.既不充分也不用要条件分析：依题意有pr，rs，sq，prsq.但因为rp，qp.答案：A2.（2003年北京高考题）“cos2=3”是“=k+5，kZ”的212A.必需不充分条件B.充分不用要条件C.充分必需条件D.既不充分又不用要条件分析：cos2=3552=2k=k.2612答案：A3.（2005年海淀区第一学期期末练习）在ABC中，“AB”是“cosAcosB”的A.充分不用要条件B.必需

8、不充分条件C.充要条件D.既不充分也不用要条件分析：在ABC中，ABcosAcosB（余弦函数单一性）.答案：C4.命题A：两曲线F（x，y）0和G（x，y）=0订交于点P（x0，y0），命题B：曲线F（x，y）+G（x，y）0（为常数）过点P（x0，y0），则A是B的_条件.答案：充分不用要5.（2004年北京，5）函数f（x）=x22ax3在区间1，2上存在反函数的充分必需条件是（，12，+）C.1，2（，12，+）分析：f（x）=x22ax3的对称轴为x=a，y=f（x）在1，2上存在反函数的充要条件为1，2（，a或1，2a，+），即a2或a1.UB）的充要条件是答案：D6.已知数列an

9、的前n项和Sn=pn+q（p0且p1），求数列an成等比数列的充要条件.分析：先依据前n项和公式，导出使an为等比数列的必需条件，再证明其充分条件.解：当n=1时，a1=S1=p+q；当n2时，an=SnSn1=（p1）pn1.因为p0，p1，当n2时，an是等比数列要使n（N*）是等比数列，.an则a2=p，即（p1）p=p（p+q），q=1，即an是等比数列的必需条件是p0且a1p1且q=1.再证充分性：当p0且p1且q=1时，Sn=pn1，an=（p1）pn1，an=p（n2），an1an是等比数列.培育能力7.（2004年湖南，9）设会合U=（x，y）xR，yR，A=（x，y）|2xy

10、+m0，B=（x，y）|x+yn0，那么点P（2，3）A（1，n51，n51，n51，n5分析：UB=（x，y）nx+y，将P（2，3）分别代入会合A、B取交集即可.选A.答案：A8.已知对于x的一元二次方程mx24x+4=0，x24mx+4m24m5=0.求使方程都有实根的充要条件.解：方程有实数根的充要条件是1=（4）216m0，即m1；方程有实数根的充要条件是2=（4m）24（4m24m5）0，即m5.4方程都有实数根的充要条件是5m1.49.已知a、b、c是互不相等的非零实数.求证：三个方程ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0起码有一个方程有两个相异实

11、根.证明：反证法：假定三个方程中都没有两个相异实根，则1=4b24ac0，2=4c24ab0，3=4a24bc0.相加有a22ab+b2+b22bc+c2+c22ac+a20，（ab）2+（bc）2+（ca）20.由题意a、b、c互不相等，式不可以建立.假定不建立，即三个方程中起码有一个方程有两个相异实根.研究创新10.若x、y、z均为实数，且a=x22y+，b=y22z+，c=z22x+，则a、b、c236中能否起码有一个大于零？请说明原由.解：假定a、b、c都不大于0，即a0，b0，c0，则a+b+c0.而a+b+c=x22y+y22z+z22x+=（x1）2+（y1）2+（z1）2+3，23630，且不论x、y、z为什么实数，（x1）2+（y1）2+（z1）20，a+b+c0.这与a+b+c0矛盾.所以，a、b、c中起码有一个大于0.思悟小结1.要注意一些常用的“结论否认形式”，如“起码有一个”“至多有一个”“都是”的否认形式是“一个也没有”“起码有两个”“不都是”.2.证明充要性要从充分性、必需性两个方面来证明.教师下载中心教课点睛1.掌握常用反证法证题的题型，如含有“起码有一个”“至多有一个”等字眼多用反证法.2.重申反证法的第一步，要与否命题分清.3.要证明充要性应从充分性、必需性两个方面来证.拓展题例【例题】指出以下命题中