浅谈平面向量、数系的扩充与复数的引入

1、21/21HYPERLINK /第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入(自我评估、考场亮剑，收获成功后进入下一章学习！)(时刻120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2009天津高考)i是虚数单位，eq f(5i,2i)()A12iB12iC12i D12i解析：eq f(5i,2i)eq f(5i(2i),(2i)(2i)12i.答案：D2已知向量a(5,6)，b(6,5)，则a与b ()A垂直 B不垂直也不平行C平行且同向 D平行且反向解析：已知向量a(5,6)，b(6,5)，ab30300，则a与

2、b垂直答案：A3(2010利辛模拟)已知向量a(2,3)，b(1,2)，若(mab)(a2b)，则实数m( )A.eq f(1,4) Beq f(1,2) C.eq f(r(3),6) D.eq f(r(3),4)解析：mabm(2,3)(1,2)(2m1,3m2)，a2b(2,3)2(1,2)(4，1)(mab)(a2b)12m(3m2)4.meq f(1,2).答案：B4如图，已知a，b，3，用a，b表示，则等于 ()Aaeq f(3,4)b B.eq f(1,4)aeq f(3,4)bC.eq f(1,4)aeq f(1,4)b D.eq f(3,4)aeq f(1,4)b解析：eq f

3、(3,4)eq f(3,4)()eq f(1,4)eq f(3,4)eq f(1,4)aeq f(3,4)b.答案：B5若在ABC中，|3，|5，|4，则|5| ()A4eq r(10) B2eq r(85) C2eq r(10) D.eq r(190)解析：依照三边边长易知ABC为直角三角形cos，eq f(3,5).|5|225|2|210|cos，160.|5|4eq r(10).答案：A6(2010鞍山模拟)已知复数z1i，则eq f(z22z,z1)等于 ()A2i B2i C2 D2解析：eq f(z22z,z1)eq f(1i)22(1i),1i1)eq f(2i22i,i)2i

4、.答案：A7已知命题：“若k1ak2b0，则k1k20”是真命题，则下面对a，b的推断正确的是 ()Aa与b一定共线 Ba与b一定不共线Ca与b一定垂直 Da与b中至少有一个为0解析：假设a与b共线，由已知得k1ak2b，假如a、b均为非零向量，与已知条件矛盾假如a、b中至少有一个非零向量，明显的与已知矛盾，排除A、D.把k1ak2b0两边平方得a2b22k1k2ab0，因为k1k20，因此ab不一定等于0，排除C.答案：B8若平面向量a(1,2)与b的夹角是180，且|b|3eq r(5)，则b的坐标为 ()A(3，6) B(3,6)C(6，3) D(6,3)解析：由题意设ba(1,2)由|

5、b|3eq r(5)得29.3.因为a与b的夹角是180.因此3.答案：A9(2010黄冈模拟)已知A、B、C是锐角ABC的三个内角，向量p(1sinA,1cosA)，q(1sinB，1cosB)，则p与q的夹角是 ()A锐角 B钝角 C直角 D不确定解析：锐角ABC中，sinAcosB0，sinBcosA0，故有pq(1sinA)(1sinB)(1cosA)(1cosB)0，同时易知p与q方向不相同，故p与q的夹角是锐角答案：A10已知非零向量，和满足0，且eq f(r(2),2)，则ABC为 ()A等边三角形 B等腰非直角三角形C非等腰三角形 D等腰直角三角形解析：、均为单位向量由0，得|

6、 |.由11cosCeq f(r(2),2)，得C45.故三角形为等腰直角三角形答案：D11如图，AB是半圆O的直径，C，D是弧AB的三等分点，M，N是线段AB的三等分点，若OA6，则的值为 ()A13 B26 C18 D36解析：()()66cos6062cos12062cos12022cos18026.答案：B12设a(a1，a2)，b(b1，b2)定义一种向量积：ab(a1，a2) (b1，b2)(a1b1，a2b2)已知meq blc(rc)(avs4alco1(2，f(1,2)，neq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)，0)，点P(x，y)在ysinx的图象上运动 ，点

7、Q在yf(x)的图象上运动，满足mn(其中O为坐标原点)，则yf(x)的最大值A及最小正周期T分不为 ()A2， B2,4 C.eq f(1,2)，4 D.eq f(1,2)，解析：设Q(x0，y0)，(x0，y0)，(x，y)，mn，(x0，y0)eq blc(rc)(avs4alco1(2，f(1,2)(x，y)eq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)，0)eq blc(rc)(avs4alco1(2x，f(1,2)y)eq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)，0)eq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,3)，f(1,2)y)，eq blcrc (avs

8、4alco1(x02xf(,3)，,y0f(1,2)y，)eq blcrc (avs4alco1(xf(1,2)x0f(,6)，,y2y0.)代入ysinx中得，2y0sineq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)x0f(,6)，因此最大值为eq f(1,2)，周期为4.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分将答案填写在题中的横线上)13已知复数z1m2i，z234i，若eq f(z1,z2)为实数，则实数m_.解析：eq f(z1,z2)eq f(m2i,34i)eq f(m2i)(34i),25)eq f(3m8(64m)i,25)是实数，64m0，故meq

9、 f(3,2).答案：eq f(3,2)14(文)若向量a(12，23)与b(4,1)共线，则_.解析：依题意得4(23)(12)0，由此解得eq f(1,2).答案：eq f(1,2)(理)已知a(3,2)，b(1,2)，(ab)b，则实数_.解析：(ab)b，(ab)babb2150，eq f(1,5).答案：eq f(1,5)15已知平面向量a，b，c满足abc0，且a与b的夹角为135，c与b的夹角为120，|c|2，则|a|_.解析：依照已知条件，组成以|a|，|b|，|c|为边长的三角形，由正弦定理得eq f(|a|,sin(180120)eq f(|c|,sin(180135)，

10、又|c|2，因此|a|eq r(6).答案：eq r(6)16在直角坐标系xOy中，i、j分不是与x轴，y轴平行的单位向量，若直角三角形ABC中，ij，2imj，则实数m_.解析：本题考查了向量的运算由已知可得i(m1)j.当A90时，(ij)(2imj)2m0，m2.当B90时，(ij)i(m1)j(1m1)m0，m0.当C90时，(2imj)i(m1)j2m(m1)m2m20，现在m不存在故m0或2.答案：0或2三、解答题(本大题共6小题，共74分解承诺写出文字讲明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分)已知复数z满足：|z|13iz，化简eq f(1i)2(34i)2,2z)解：设

11、zabi(a，bR)，而|z|13iz，即eq r(a2b2)13iabi0，则eq blcrc (avs4alco1(r(a2b2)a10,b30)，eq blcrc (avs4alco1(a4，,b3，)z43i.eq f(1i)2(34i)2,2z)eq f(2i(724i),2(43i)eq f(247i,43i)34i.18(本小题满分12分)如图，在平行四边形ABCD中，M，N分不为DC，BC的中点，已知c，d，试用c，d表示，.解：法一：设a，b，则ad(eq f(1,2)b)， bc(eq f(1,2)a)， 将代入得ad(eq f(1,2)c(eq f(1,2)a)aeq f

12、(4,3)deq f(2,3)c，代入得bc(eq f(1,2)(eq f(4,3)deq f(2,3)c)eq f(4,3)ceq f(2,3)d.故eq f(4,3)deq f(2,3)c，eq f(4,3)ceq f(2,3)d.法二：设a，b.因此eq f(1,2)b，eq f(1,2)a，因而eq blcrc (avs4alco1(cbf(1,2)a,daf(1,2)b)eq blcrc (avs4alco1(af(2,3)(2dc),bf(2,3)(2cd)，即eq f(2,3)(2dc)，eq f(2,3)(2cd)19(本小题满分12分)已知向量a(cos()，sin()，b(

13、cos(eq f(,2)，sin(eq f(,2)(1)求证：ab；(2)若存在不等于0的实数k和t，使xa(t23)b，ykatb，满足xy，试求现在eq f(kt2,t)的最小值解：(1)证明：abcos()cos(eq f(,2)sin()sin(eq f(,2)sincossincos0.ab.(2)由xy得：xy0，即a(t23)b(katb)0，ka2(t33t)b2tk(t23)ab0，k|a|2(t33t)|b|20.又|a|21，|b|21，kt33t0，kt33t.eq f(kt2,t)eq f(t3t23t,t)t2t3(teq f(1,2)2eq f(11,4).故当t

14、eq f(1,2)时，eq f(kt2,t)有最小值eq f(11,4).20(本小题满分12分)在ABC中，角A、B、C所对的边长分不为a、b、c，已知向量m(1,2sinA)，n(sinA,1cosA)，且满足mn，bceq r(3)a.(1)求角A的大小；(2)求sineq blc(rc)(avs4alco1(Bf(,6)的值解：(1)mn，1cosA2sin2A，即2cos2AcosA10，解得cosA1(舍去)，cosAeq f(1,2).又0A，Aeq f(,3).(2)bceq r(3)a，由正弦定理可得sinBsinCeq r(3)sinAeq f(3,2).又C(AB)eq

15、f(2,3)B，sinBsineq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)B)eq f(3,2)，即eq f(3,2)sinBeq f(r(3),2)cosBeq f(3,2)，sineq blc(rc)(avs4alco1(Bf(,6)eq f(r(3),2).21(本小题满分12分)已知向量a(cosx，sinx)，b(cosx，cosx)，c(1,0)(1)若xeq f(,6)，求向量a，c的夹角；(2)当xeq f(,2)，eq f(9,8)时，求函数f(x)2ab1的最大值解：(1)设a，c的夹角为，当xeq f(,6)时，cosa，ceq f(ac,|a|c|)eq f(

16、cosx,r(cos2xsin2x)r(1)202)cosxcoseq f(,6)coseq f(5,6).0a，c，a，ceq f(5,6).(2)f(x)2ab12(cos2xsinxcosx)12sinxcosx(2cos2x1)sin2xcos2xeq r(2)sin(2xeq f(,4)xeq f(,2)，eq f(9,8)，2xeq f(,4)eq f(3,4)，2，sin(2xeq f(,4)1，eq f(r(2),2)，当2xeq f(,4)eq f(3,4)，即xeq f(,2)时，f(x)max1.22(本小题满分14分)已知ABC的面积为S，满足eq r(3)S3，且6， 与的夹角为.(1)求角的取值范围；(2)求函数f()sin22sincos3cos2的最小值解：(1)由题意知，| | |cos6， Seq f(1,2)|sin()eq f(1,2)|sin， 由eq