Laplace 算子极坐标式全证明

1、【续前证明杂合项的计算】O杂合项的计算与二有关的杂合项计算杂合项飞込二=5：16cus6cu5- Qtt : B;2=+ 2=+ sin0cosOcos2p杂合项=玄，己3=*：C； 4= -丄：H：HU _杂合项=J 玄1=| CuS - BcuS - Cf ：2：2=r十阳衍杂合项=b - F 3 = * 51HO：uSQt7 : C； 2 = _存品心急 杂合项=左1=半三二_ 口/ ；2： 2= J： My 匹口 _ _ _ 杂合项=F -1- 3=右:二gExi： 三:E：4=-存專is巳加 ii2臺劳关戈杂合项计算杂合项玄，L 二=* 二iE：h：丈二：E： _2_ = 5：:iB

2、cusBr 杂合项=卜.-勺二=-s:r 壬：2 ； 2 = | smecusGT用三昙有羔戈三仝克汁算杂合项=玄” E 二=E：h：eEm】i-口 ：E：: 2 = *e二E：h：eEm】-o 杂合项=玄己 3 = * 二i:工：C： 三 =s:io-:qso 杂合项=t - S 二=cqs-Bs:a-_2_ = s:iE：hpE匚】i -o ：二计杂合项=3 =4s:iqcusq；C;三=右；春汀1*疋买冷杂合项=- 二=*m-(D寸3；：工=三二30：_计 杂合项=-1 3 =右：二事山9丘:E；：三=右二尹二心3刁戻iii. 平方项遗留的杂合偏微分 其中可以知道每个项的玄.玄项计算是不

3、会产生复合偏微分的(a )与兰有关的复合项2(b)与羔有芫犬复合项2(b)与羔有芫犬复合项r2sin26 dtp2。处理结果的求和现在我们要把上述的各组结果加起来，就可以得到Laplace算符的极坐标表达式。我们为了进一步使求和的结果一目了，我 们把上述结果按照偏微分操作符后缀的种类再划分为三大类：复合项复合项(C)与有关的复合项3z2复合项=t 复合项=t =岂三三二:E;r2胪 d胪 d2_即为示定肓为空邈三女。平方项的计算平方项的和可以简写如下：平方项Csin29cos2tp + sin2esin2cp + cos29) + cos30cos2tp+cos2 9sin2p+sin3& &

4、2r2dQ2+ 打1：-申一 :申 d - 二阶连续偏微分项召项系数=sin26(sin2p + cos2(p) + cos26 = 1项系数=吉cos2S(sin2p + cos2p) + sin2S = 土二阶不连续偏微分项即为以（注：三种算符各自可以对易，例如有d即为以（注：三种算符各自可以对易，例如有d2d2-项系数-3-16CUS6 - s.aBcc-sB - =：一阶偏微分项即为雋仝及系慕(我们在上面用了 “A”标记)|(coss0sin:cp + cos2tp + sin20 + sin2cp + cos:0cos2p)=-(sin2 9 + cosz0 + 1)=-2及系藝（我

5、们在上面用了 “B”标记）旦二亍系其（我们在上面用了 “C”标记）综上所述，可以得到 Laplace 算符的极坐标展开式如下：2_（2 d d21（ d d2 1 d2而+间+巨严丽+丽广隔丽硏在现有的网上能找到的Laplace算符也写作如下（非完全展 开） _ r2 dr （F 8r） * rsinGae阳）* rsinG Bep?后记Laplace算子的巨大威力得到 Laplace 算子的极坐标表达式之后，我们可以将薛定谔方 程中的波函数龙（x,y,z ）用屮（二匕D代替，之后可以把解一个 复杂二阶偏微分方程转换成解三个常微分方程：类氢原子薛定谔方程 ： （扫卩2恥）=其中V =代入 Laplace 算子得到：令有经过微分运算，移项之后得到如下：1 d2Osin26 d /dRxsin d(d02mn n-=-r r2sin0-7sin eC- dcp2R dr xdr/ 0 d6d0/因为式子的左边不含变量丁印右边不含变量，所以欲使左右两边相等，必须等于同一个常数。令这一个常数为，代入 有：对于上面的第二个方程，等号左右两边含的变量也不同，于是 也必须相当于同一个个常数。令常数为D 貝口 |5