2021-2022学年湖南省永州市石古源中学高三数学理期末试题含解析

1、2021-2022学年湖南省永州市石古源中学高三数学理期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若抛物线y=4x的焦点是F准线是l,则过点F和点M(4,4)且与准线l相切的圆有（ ）A 0个 B 1个 C 2个 D 4个 参考答案：C略2. 甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（ ）A. B, C. D.参考答案：C略3. 下列函数图像中，满足的只可能是（ ）AB CD参考答案：D解：，说明在定义域上不是单调递增或递

2、减，由图像排除，且项不符合，故选：4. 已知数列的前n项和为，且, 则等于 ( )A 4 B2 C1 D -2参考答案：A5. 若不等式的解集为，则的取值范围为、 、 、 、参考答案：D6. 已知球O与棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的各面都相切，则平面截球O所得的截面圆与球心O所构成的圆锥的体积为 （ ）A. B. C. D. 参考答案：C【分析】内切球的球心为正方体的体对角线交点，根据三棱锥为正三棱锥及各棱长，可求得点O到平面的距离；根据内切圆半径和圆心到平面的距离可求得切面的圆心半径，进而求得圆锥的体积。【详解】因为球与棱长为的正方体的各面都相切所以球O为正方体的内切球，则球O

3、的半径 球心O到A的距离为 底面为等边三角形，所以球心O到平面的距离为 所以平面截球所得的截面圆的半径为 所以圆锥的体积为 所以选C【点睛】本题考查了正方体的内切球性质，平面截球所得截面的性质，属于中档题。7. 已知为等差数列的前n项和，若，则（ ）A47 B73 C37 D74 参考答案：D由，得，整理，得，于是，故选D8. 设为虚数单位，则复数A. B. C. D. 参考答案：D法一：.法二：9. 集合M=，N=，则M、N关系为（ ）A. B. C. D. 参考答案：A10. 已知函数，则方程的不相等的实根个数为（ ）A5 B6 C7 D8参考答案：二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分

4、,共28分11. （几何证明选讲选做题）如图，切于点，割线经过圆心，弦于点已知的半径为3，则 参考答案：12. 的二项展开式中的常数项为160，则实数a=_参考答案：13. 的展开式中，含的项的系数为_.（用数字填写答案）.参考答案：70【分析】求得二项展开式的通项为，令，代入即可求解，得到答案【详解】由题意，二项式的展开式的通项为，令时，即的项的系数为14. 已知满足,则的最大值为 HYPERLINK / 参考答案：315. 一个几何体的三视图如右图所示，正视图是一个边长为2的正三角形，侧视图是一个等腰直角三角形，则该几何体的体积为 。参考答案：4 略16. 已知，若，则 参考答案：略17.

5、 函数的定义域是_ _参考答案：，或三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本小题共13分）已知函数是常数（）求函数的图象在点处的切线的方程；（）证明函数的图象在直线的下方； （）讨论函数零点的个数参考答案：（） 1分，所以切线的方程为，即 3分（）令则最大值6分，所以且，即函数的图像在直线的下方 8分（）令，. 令 ， 则在上单调递增，在上单调递减，当时，的最大值为. 所以若，则无零点；若有零点，则10分若，由（）知有且仅有一个零点.若，单调递增，由幂函数与对数函数单调性比较，知有且仅有一个零点（或：直线与曲线有一个交点）.若，解得，由函数的单

6、调性得知在处取最大值，由幂函数与对数函数单调性比较知，当充分大时，即在单调递减区间有且仅有一个零点；又因为，所以在单调递增区间有且仅有一个零点.综上所述，当时，无零点；当或时，有且仅有一个零点；当时，有两个零点. 13分19. （12分）已知点A、B分别是左焦点为（4，0）的椭圆C：=1（ab0）的左、右顶点，且椭圆C过点P（，）（1）求椭圆C的方程；（2）已知F是椭圆C的右焦点，以AF为直径的圆记为圆M，过P点能否引圆M的切线？若能，求出这条切线与x轴及圆M的弦PF所对的劣弧围成的图形面积；若不能，说明理由参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程【分析】（1）由题设知a2=b2

7、+16， +=1，由此能求出椭圆C的标准方程（2）由A（6，0），F（4，0），（，），则得=（，），=（，），所以=0，以AF为直径的圆M必过点P，因此，过P点能引出该圆M的切线，设切线为PQ，交x轴于Q点，又AF的中点为M（1，0），则显然PQPM，由此能求出所求的图形面积【解答】解：（1）由题意a2=b2+16，+=1，解得b2=20或b2=15（舍），由此得a2=36，所以，所求椭圆C的标准方程为=1（2）由（1）知A（6，0），F（4，0），又（，），则得=（，），=（，）所以=0，即APF=90，APF是Rt，所以，以AF为直径的圆M必过点P，因此，过P点能引出该圆M的切线，设切线

8、为PQ，交x轴于Q点，又AF的中点为M（1，0），则显然PQPM，而kPM=，所以PQ的斜率为，因此，过P点引圆M的切线方程为：y=（x），即x+y9=0令y=0，则x=9，Q（9，0），又M（1，0），所以S扇形MPF=，因此，所求的图形面积是S=SPQMS扇形MPF=【点评】本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化20. 在数列an中，且对任意的nN*，都有.（1）证明数列是等比数列，并求数列an的通项公式；（2）设，记数列bn的前n项和为Sn，若对任意的nN*都有，求实数m的取值范围.参考答案：（）由可得 又，所以.所以是首项为2，公比为2的等

9、比数列. 3分所以. 4分所以. 6分（）因为.8分所以. 10分又因为对任意的N*都有，所以恒成立，即,即当时，. 12分21. （本题满分12分）设函数（m，a为实数），(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若存在实数a，使得对任意恒成立，求实数m的取值范围.（提示：）参考答案：(1) ，, 单调递减，单调递增.4分(2) 5分若e-a0，可得h（x）0，函数h（x）为增函数，当x+时，h（x）+， 不满足h（x）0对任意xR恒成立；6分若e-a0，由h（x）=0，得，则， 当x时，h（x）0，当x时，h（x）0， 若f（x）g（x）对任意xR恒成立， 则0（ae）恒成立， 若存在实数a，使得0成立， 则ma， （ae），9分令F（a）， 则 当a2e时，F（a）0，当a2e时，F（a）0， 则 m 则实数m的取值范围是12分22. 如图，在四棱锥中，