湖北省华中师大附中2022年高三第五次模拟考试数学试卷含解析

1、2021-2022 高考数学模拟试卷考生须知：1全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用 2B字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。 2请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。已知直线ly2x10 x2a2y2 b21a 0,b 0的一个焦点且与其中一条渐近线平行，则双曲线的方程为（）A x2 y2 1B x2 y2 1C x2 y2 1D x2 y2 15202

2、05169916执行如图所示的程序框图，如果输入t 2，e2 ，则输出S 属于（）22D3，e2设ia1bi，其中a，b是实数，则a （）A1z B2C 3D 54i，则z 对应的点在复平面内位于（）1i第二象限D函数f(x)2cos2 x(sinxcosx)2 2的一个单调递增区间是（）A ,B 3 , C,D, 4488 88 88 6ay x2 a 在区间 2, 内单调递增的概率是（ ）xA4B3C2D155557已知向量a (3,1), b (3,3) ，则向量b 在向量a 方向上的投影为（）A3B 3C1D18f x Asin（A0， 0， 2）的部分图象如图所示，则, 的值分别为（

3、）A2，0B2，4C2， 3D2， 6已知函数f(x)asinx3cosx的图像的一条对称轴为直线x5f (x f (x4x x的最小值为()A 3B0C361212D3若双曲线C: x2 y21的焦距为45 ，则C的一个焦点到一条渐近线的距离为（）4m2A2B4C 19D 2 1911设alog 3，blog 6，c50.1，则（）24abcb acCcabDcba12以 A3,1， B2,2为直径的圆的方程是Ax2 y2 xy80Cx2 y2 xy80Bx2 y2 xy90Dx2 y2 xy90二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在棱长为2ABCD ABC D 中，

4、EBBCC 的中心，M 为C D AM 的平面 与111111111DE 垂直，则平面 ABCD A B C 所得的截面面积为.1111F为椭圆C : x2 y21在椭圆CPF的内心 I 的轨迹方程为124312 如图，直线l平面，垂足为O，三棱锥ABCD的底面边长和侧棱长都为4，C在平面内，B是直线l上的动点，则点B到平面ACD的距离，点O到直线AD 的距离的最大值为.25x2 的展开式中x4项的系数为x三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）在 ABC中，角,B,C的对边分别为a,b,c，且ccosBab求角C的大小；f(x2sin2x mcos2x

5、(mRx C 且f 6 cos(2 C)6 2 25的值18（12分2019 年12 毒性肺炎肺部感染，后被命名为新型冠状病毒肺炎CoronaVirusDiseas201，COVI1，简称新冠肺炎下图2020 1 15 1 24 .为了预测在未釆取强力措施下，后期的累计确诊人数，建立了累计确诊人数 y 与时间变量 t 的两个回归模型，根据 115 1 24 日的数据（t 1，2，10）y cdt y a b.（ycdt与yab1.t哪一个适宜作为累计确诊人数y 与时间变量t （给出判断即可，不必说明理由）（2 根据（1）的判断结果及附表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程；（3）以下是 1

6、月 25 日至 1 月 29 日累计确诊人数的真实数据，根据（2）的结果回答下列问题：时间时间1 25 日1 26 日1 27 日1 28 日1 29 日累计确诊人数的真实数据197527444515597471111 25 1 27 3 （模型预测数据与真实数据差值的绝对值与真实数据的比值0.1则认为模型可靠，请判断（2）的回归方程是否可靠？1 24 新冠肺炎5天后，真实数据明显低于预测数据，则认为防护措施有效，请判断预防措施是否有效？附：对于一组数据 ，u ,，u , v，其回归直线v a u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为nu uv vi ni1u ui， v u .参考数据：其中i

7、1.5ti ， 1 10 .10ii1tty10 t2ii110 2ii110 t yiii110 yiii 11.5111.5121.5131.5141.5155.53901938576403152515470010015022533850719（12分）在孟德尔遗传理论中，称遗传性状依赖的特定携带者为遗传因子，遗传因子总是成对出现例如，豌豆携A a AA 为开Aa 和aA aa 1含一个父系的遗传因子和一个母系的遗传因子，而因为生殖细胞是由分裂过程产生的，每一个上一代的遗传因子以2的概率传给下一代，而且各代的遗传过程都是相互独立的可以把第n 代的遗传设想为第n Aa A a 1 2AA A

8、a(aA)aa在父系和母系中以同样的比例：uvw(uvw1)出现，则在随机杂交实验中，遗Ap u v ，遗传因子a 被选中的概率是q w v p ，q 分别为父系和母系中遗传因子22Aa p q 实际上是父系和母系中两个遗传因子的个数之比基于以上常识回答以下问题：AaAAAa(aA)aa的概率各是多少？对某一植物，经过实验观察发现遗传性状aa AAAa(aA)Ap a 被选中的概率为q ，p q 1AAAa(aA)aa 所占的比例u v w 111继续对aa的个体假设得到的第n3种遗传AA，Aa(aA所占比例分别为uvwnnnnv wn 设第n A 和a p 和nvnu nvvn 1 qn，已

9、知有以下公式pn2 ,q2, n 1,2,证明 q 是等差数列n1wn1wn n 求u v wnn的通项公式，如果这种剔除某种遗传性状的随机杂交实验长期进行下去，会有什么现象发生？20（12分）已知a 是各项都为正数的数列，其前n项和为S ，且S 为a 与1 的等差中项nnnnan求证：数列 S 2n为等差数列；设b (1)n，求的前100 项和Tnann10021（12分）在 ABC中，角A，C的对边分别为abcacb2 c2 a2 cos(B C).bcsinCcosC（1）求角C 的值；2（2）若c45a272D AC AD 2BD 的最小值.22（10分）已知函数f(x)axlnxx2

10、a(a0)是减函数.a 的值；已知数列 ln1T a a aa N*ln1 n .nnn11 2 3nn2参考答案125601、A【解析】根据直线l ： y 2x 10 过双曲线b 2a ，再求双曲线方程.【详解】因为直线ly2x10F5,0，所以c5，又和其中一条渐近线平行， 所以b 2a ，a2 5 b2 20 ，x2 y2 a2b2x2 y2 a2b2 1a 0,b 0的一个焦点，得c 5 ，又和其中一条渐近线平行，得到 1a 0,b 0的一个焦点，x2y2所以双曲线方程为 1.520A.【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 2、B【解析】t2 tt

11、由题意，框图的作用是求分段函数lte2的值域，求解即得解.【详解】由题意可知，t2 tt框图的作用是求分段函数lte2的值域，当t 2,1),S 4,0) ；当t 1,e2S 0,2综上：S2.故选：B【点睛】3、D【解析】根据复数相等，可得 a, b ，然后根据复数模的计算，可得结果.【详解】由题可知：1ia 1bi，a ai 1bi ，所以a 1,b 112 225则a2bi12i12 225故选：D【点睛】本题考查复数模的计算，考验计算，属基础题. 4、A【解析】利用复数除法运算化简 z ，由此求得 z 对应点所在象限.11 ii2，对应点为，在第一象限.故选 A.【点睛】本小题主要考查

12、复数除法运算，考查复数对应点的坐标所在象限，属于基础题. 5、D【解析】利用同角三角函数的基本关系式、二倍角公式和辅助角公式化简 f xf x.【详解】f(x2cosx (sin x cos x)2 21cos2x1sin2x2 2 sin2xf(x2 2x 2k （kZ，解得4242k xk （kZ，当k 1时，D选项正确.C选项是递减区间，B.88故选：D【点睛】本小题考查三角函数的恒等变换，三角函数的图象与性质等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，数形结合思想，应用意识.6、Byx2 a 在区间2,y1 a xx2x2 a x2 0 2,a x2 在2,恒成立，a4，ayx2 a在

13、区间2,413，x615故选 B.7、A【解析】b cos ab，利用数量积运算即可得到结论.a【详解】3设向量a与向量b的夹角为 由题意，得ab33133 23， a 312 2，所以，向量b在向量ab cos ab a23 .323故选：A.【点睛】8、D【解析】A1由题意结合函数的图象，求出周期T ，根据周期公式求出，求出，根据函数的图象过点 6 ，求出，即可求得答案【详解】3T由函数图象可知： 41264T ， 1函数的图象过点6111sin2 ，6 2，则 6故选 D【点睛】y Asin 期、最值，代入已知点坐标求出结果9、D【解析】运用辅助角公式，化简函数 f x的解析式，由对称轴

14、的方程，求得a 的值，得出函数 f x的解析式，集合正弦函数的最值，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数f(x)asinx3cosxa23sin(x)(为辅助角) ，5由于函数的对称轴的方程为 xf) a 3 ，6622a232a232a2 3即，解得a1，所以f(x)2sin(x)，3又由 f (x ) f (x1) 4 ，所以函数必须取得最大值和最小值， 2k , Z ，x 2k ,k Z ，11612262x 2k 2k , k Z，12123k k1 0 时， x12x的最小值23，故选 D.【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象与性质，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简函数的解

15、析式，合理利用正弦函数的对称性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.10、B【解析】根据焦距即可求得参数m .【详解】因为双曲线Cx2 y251的焦距为4，54m24m2525，解得m2 16 ，不妨取m 4 ；又焦点F 25,0，其中一条渐近线为y2x，455由点到直线的距离公式即可求的d 455B.【点睛】 4 .本题考查由双曲线的焦距求方程，以及双曲线的几何性质，属综合基础题. 11、A【解析】2 为底利用对数函数单调性可比较ab,1 .【详解】a log ，b log 6 log242【点睛】 3c50.1 0,1，因此a b c，故选：A.626本题主

16、要考查了利用对数函数和指数函数的单调性比较大小,属于基础题. 12、A【解析】设圆的标准方程，利用待定系数法一一求出a,b, r ，从而求出圆的方程.【详解】设圆的标准方程为(x a)2 y b)2 r2 ， 由题意得圆心O(a,bA B 的中点，321121根据中点坐标公式可得a ，b，2222(3 2)2 (1 2)234又r(3 2)2 (1 2)234222，所以圆的标准方程为：11(x)2 y)2 x2 y2 xy8011222所以本题答案为 A.【点睛】本题考查待定系数法求圆的方程，解题的关键是假设圆的标准方程，建立方程组，属于基础题.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，

17、共 20 分。13、26【解析】A MCN 即为平面 A MCN .11【详解】ABCD A B C AB N MC,CNNA ，11111AMCN 即为平面 1由正方体的性质可知，AMNC，则AM ,CNN 四点共面，11记CC F DF DF MC EF EF MC，1所以MC平面DEF，则DE MC同理可证，DE NC，NCMC C，则DE平面AMCN ，1A MCN 即平面 A MCN 即平面 ABCD A B C 所得的截面111111因为正方体的棱长为2 A MCN 是菱形，1123 MN 22S12223 262故答案为：26【点睛】本题考查了正方体的截面面积，意在考查学生的空间

18、想象能力和计算能力.14x2 3y2 1(y 0)【解析】x2考查更为一般的问题：设 P 为椭圆 C:y21a0,b0F为椭圆的两个焦点， I 为 PF F 的a2b21212内心，求点 I 的轨迹方程1解法一：如图，设内切圆I与F1F2的切点为半径为且 =x+z，ca2 b2 1y z 2c2x y z 2a .1直线IF 与IF 的斜率之积：k1IFIF12IH2FH r2，Hyz，121PFF 的面积为xyzr1xa cxyzx y z因此有kkIFIF1.xyza c再根据椭圆的斜率积定义，可得 I 点的轨迹是以 F1F2 为长轴，a ce满足e21a的椭圆，x2 y2 1y 0其标准

19、方程为c2aac.c21P(a cosb sin，则sin 0PF F 1S 12cbsin 12ar，22其中 r 为内切圆的半径，解得r ac y.bc bc sin另一方面，由内切圆的性质及焦半径公式得：xIxIc PF1PF2 (accos)(accos),x ccos I 的轨迹方程为：Ix2 c2y2 ac acc2 1y 0.a2,c1x23y21y 0.215、462223【解析】A BCD 4，所以B ACD 的投影为ACDB ACDOBOC，可得点OBC为直径的球面上的点，所以OAD的距离为以BC AD 的距离，最大距离为分别过 BC 和 AD 的两个平行平面间距离加半径，

20、即可求出结论.【详解】3ACD边长为4 ，则中线长为4，31616423 232 点B 到平面ACD的距离为 46，3点OBC 为直径的球面上的点，所以O AD BC AD BC AD .A BCD4，BCAD的两个平行平面间距离， BCAD EF BFCFEF BF CFEF BCEF AD， EFEM /ADFN /BC ，直线 BC, EM 确定平面 ，直线 AD, FN 确定平面 ，则EF FN ,FNAD FEF ，同理EF ，/,EF 为所求， CF 16 423，EF 12 4 22，所以O到直线AD 最大距离为22 2.故答案为:46；22 2.3【点睛】本题考查空间中的距离、

21、正四面体的结构特征，考查空间想象能力，属于较难题. 16、40【解析】根据二项定理展开式，求得r 的值，进而求得系数【详解】根据二项定理展开式的通项式得Crx2r5r 2x 5r 25所以10 4 ，解得r25所以系数C2 5 40【点睛】本题考查了二项式定理的简单应用，属于基础题三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）C （）2 C） 7【解析】325由已知利用三角函数恒等变换的应用，正弦定理可求cosC1 ，即可求C的值2利用三角函数恒等变换的应用，可得fx3sin2x1cos2x，根据题意，得到f0f2，解得 3 m 2，得到函数的解析式，进而求得si

22、n 的值，利用三角函数恒等变换的应用可求cos2C的值66【详解】由题意，根据正弦定理，可得2sinCcosB2sinAsinB，A B C，所以 sinB C ，2sinCcosB2sinBcosC2cosBsinCsinB，即2sinBcosCsinB0B0, ，则0，可得cosC 1，C 0, ，C 2 23由（1）可得fx2sin2x1mcos2x2sin2xcos2cos2xsinmcos2x3sin2x1cos2x，所以函数 f x的图象的一条对称轴方程为x ，3f0f2，得m13sin4 1cos4，即m2，33336 fx3sin2x cos2x 2sin 2x 6 2sin2

23、sin 6，sin 3265652 cos 2-2 cos 2-cos2 2sin2 1 7336625【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题18（）yab1.t适宜（y10201.t （）回归方程可靠（）防护措施有效【解析】.ya设 1.5t，则，求出bya（）利用表中数据，计算出误差即可判断回归方程可靠（）当t 15 时，y 10150判断有效.【详解】（1）根据散点图可知：y a b y 与时间变量t 的回归方程类型；y y a y y y 10 y（2）设 1.5t ，则，b i1iiiii1 154700 1

24、019390 20 ，740 10192a y 390 2019 10 ， y 10 201.5t ；（）t 1时，y 2010，10i119752i2010 1975 2010 197510i12 102i当t 12 时， y 3010，3010 3010 2744 0.1，4510 4515当t 13时，y 4510，4510 45154515所以（2）的回归方程可靠：（）当t 15 y 10150，10150 远大于 7111，所以防护措施有效.【点睛】本题考查了函数模型的应用，在求非线性回归方程时，现将非线性的化为线性的，考查了误差的计算以及用函数模型分析数据，属于基础题.19（1）A

25、A Aa (aA )aa 111， ， （）u p2 ,v 2 pq, q2 （3）答案见解析（4）答案见解析【解析】424111.由（2）知u p 2,v 2 p q ,wq 2 ，求出p、q，利用等差数列的定义即可证.n1nn1n nn1nn1n11 1(nqq2利用等差数列的通项公式可得，从而可得q，再由w q ，利用式子qqn1的特征可得 wn越来越小，进而得出结论.n1nqn1n1 qn【详解】1AaAa是父亲和母亲的性状，每个因子被选择的概率都是 ，2AA 1 1 Aa aA 1 1 1 1 2 ，22aa1122AA Aa (aA )aa 1 1222241，u1 p2 , v1

26、 2 pq,w1 q2424（3）由（2）知u p 2,v 2 p q ,w q 2n1nn1n nn1n于是pun1vn122 p q1p 2nn1n2n11 wn11q2n1 qnv2n1p qp qq2q1wn n1 nn 1nn 1q 2n1n1qnnn1qn1 1 1 1qn1qn1（4）q1n1 (n 1)q1v2pq其中，21其中，2q 2(由（2）的结论得)11w11q21q1所以q1n1 n q q1q1 nqwq2 q 2 n11 qnpnq p nq2p1qn 1 nq, un1 p2n 1 nq vn1 2 p qn n 2p(p nq) (1 nq)2q2wn w越小

27、，所以这种实验长期进行下去，n11nqn1w wn是子代中aa 所占的比例，也即性状aa 会渐渐消失【点睛】本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式、等差数列的定义、等差数列的通项公式，考查了学生的分析能力，属于中档题，20（1）（2）10 .【解析】利用已知条件化简出2S an na n1n 1S11n2时，再利用anSnn1进行化简，得出S 2 n2 1,(n 2)，即可证明出 S n1n为等差数列；n根据（1）中，求出数列的通项公式ann1，再化简出nn(1)n(1)nnn 的前项和n n 1bn n 1nann1) ，可直接求出 bn100T100【详解】（）由题意知2Sna 1nan

28、，即2S an na n1 ，n 1 S1 1；又 n 2 时，有anSn，n1代入式得2S SSSSnnn1nn1 1，S nSn1 1,(n 2) ， S 2n是首项为 1，公差为 1 的等差数列（2）由（1）S n 1 n 1 n ，n是各项都为正数，S ，nna S Snnn1nnn1(n2)，n又 a S1n a nn 1，n1则b n(1)n(1)nn n1n n n1nan1)，n2T 1(231)(31001002) ( 10011002)100100100100 10，100即： T100 10.100 项和T 10n100【点睛】本题考查数列递推关系的应用，通项公式的求法以

29、及裂项相消法求和，考查分析解题能力和计算能力.3321（）927.4【解析】利用余弦定理和二倍角的正弦公式，化简即可得出结果；在bAC63BD27，从而得出CD，即可sin得出 y AD 2BD 的解析式，最后结合斜率的几何意义，即可求出 AD 2BD 的最小值.【详解】b2 b2 c2 a2bccos(B C)，sin C cosC 2cosAcosA，sin C cosCa c，则 C ，则cos A 02sin C cosC 1，sin1，C ；4（2）在中， 由余弦定理得c2 a2 b2 2ab cosC ，b AC 63，设BDCA3 ， 其中sin A 3 .45BD BC在 BCD中，sinsin ，4BDsin4 BD 272sin ，27sin CD 27sinsin 4527(sin cos)sin，27(sin cos)2272 cosy AD 2BD 632 cost 2 cost sinsinsin362727sin， 0 sin ，2 cos0 sin3 ，所以t 的几何意义为(0,2),(sin 2 cos0 sin3 ，3故AD2BD的最小值为927.3【点睛】22（）a 2（）见证明【解