丰城中学徐艳红一次函数复习

1、主讲：徐艳红美丽的丰城中学一次函数复习 知识点1 一次函数和正比例函数的概念 若两个变量x，y间的关系式可以表示成y=kx+b（k，b为常数，k0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量），特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数 知识点2 函数的图象 把一个函数的自变量x与所对应的y的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线 知识点 3一次函数的图象 由于一次函数y=kx+b（k，b为常数，k0）的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b知识点4 一次函数y=kx+b（

2、k，b为常数，k0） 的性质（1）k的正负决定直线的倾斜方向；（2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x轴相交锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x轴相交的锐角度数越小（直线缓）；（3）b的正、负决定直线与y轴交点的位置；（4）由于k，b的符号不同，直线所经过的象限也不同；知识点5点P（x0，y0）与直线y=kx+b的图象 的关系知识点6 确定正比例函数及一次函数表达式 的条件知识点7 待定系数法例1 下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？（1）y=- x （2）y=- （3）y=-3-5x；（4）y=-5x2 （5）y=6x- （6）y=x(x-4)-x2.例2

3、 当m为何值时，函数y=-（m-2）x +（m-4）是一次函数？例3 一根弹簧长15cm，它所挂物体的质量不能超过18kg，并且每挂1kg的物体，弹簧就伸长05cm，写出挂上物体后，弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x(kg）之间的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并判断y是否是x的一次函数解：（l）y=15+05x （ 2）自变量x的取值范围是0 x18 （3）y是x的一次函数做一做 ：乌鲁木齐至库尔勒的铁路长约600千米，火车从乌鲁木齐出发，其平均速度为58千米时，则火车离库尔勒的距离s（千米）与行驶时间t（时）之间的函数关系式是s=600-58t例5 已知y-3与x成正比例，且x=2

4、时，y=7.（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）当x=4时，求y的值；（3）当y=4时，求x的值例6 求图象经过点（2，-1），且与直线y=2x+1平行的一次函数的表达式 例7 若正比例函数y=（1-2m）x的图象经过点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当x1x2时，y1y2，则m的取值范围是（ ）AmOBm0CmDm例8 已知y+a与x+b（a，b为是常数）成正比例（1）y是x的一次函数吗？请说明理由；（2）在什么条件下，y是x的正比例函数？ 解：（1）y是x的一次函数 y+a与x+b是正比例函数， 设y+a=k(x+b)（k为常数，且k0） 整理得y=kx+（kb-a） k0，k，

5、a，b为常数， y=kx+(kb-a)是一次函数 （2）当kb-a=0，即a=kb时， y是x的正比例函数例10 已知y+2与x成正比例，且x=-2时，y=0（1）求y与x之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）观察图象，当x取何值时，y0？（4）若点（m，6）在该函数的图象上，求m的值；（5）设点P在y轴负半轴上，（2）中的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，且SABP=4，求P点的坐标 例11 已知一次函数y=（3-k）x-2k2+18.（1）k为何值时，它的图象经过原点？（2）k为何值时，它的图象经过点（0，-2）?（3）k为何值时，它的图象平行于直线y=-x？（4）k为何值时，y

6、随x的增大而减小？例12 判断三点A（3，1），B（0，-2）， C（4，2）是否在同一条直线上 解：设过A，B两点的直线的表达式为y=kx+b 由题意可知， 过A，B两点的直线的表达式为y=x-2当x=4时，y=4-2=2点C（4，2）在直线y=x-2上三点A（3，1）， B（0，-2），C（4，2）在同一条直线上 例13 老师讲完“一次函数”这节课后，让同学们讨论下列问题：（1）x从0开始逐渐增大时，y=2x+8和y=6x哪一个的函数值先达到30？这说明了什么？（2）直线y=-x与y=-x+6的位置关系如何？甲生说：“y=6x的函数值先达到30，说明y=6x比y=2x+8的值增长得快”乙生

7、说：“直线y=-x与y=-x+6是互相平行的”你认为这两个同学的说法正确吗？ 例14. 某校一名老师将在假期带领学生去北京旅游，用旅行社说：“如果老师买全票，其他人全部半价优惠”乙旅行社说：“所有人按全票价的6折优惠”已知全票价为240元 （1）设学生人数为x，甲旅行社的收费为y甲元，乙旅行社的收费为y乙元，分别表示两家旅行社的收费；（2）就学生人数讨论哪家旅行社更优惠 解：（1）甲旅行社的收费y甲（元）与学生人数x之间的函数关系式为y甲=240+ 240 x=240+120 x. 乙旅行社的收费y乙（元）与学生人数x之间的函数关系式为 y乙=24060（x+1）=144x+144（2）当y甲

8、=y乙时，有240+120 x=144x+144， 24x96，x=4 当x=4时，两家旅行社的收费相同，去哪家都可以 当y甲y乙时，240+120 x144x+144， 24x96，x4 当x4时，去乙旅行社更优惠 当y甲y乙时，有240+120 x140 x+144， 24x96，x4当x4时，去甲旅行社更优惠某公司到果园基地购买某种优质水果，慰问医务工作者.果园基地对购买量在3000千克以上（含3000千克）的有两种销售方案甲方案：每千克9元，由基地送货上门；乙方案：每千克8元，由顾客自己租车运回，已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元（1）分别写出该公司两种购买方案的付款y（元

9、）与所购买的水果量x（千克）之间的函数关系式，并写出自变量X的取值范围；（2）当购买量在什么范围时，选择哪种购买方案付款少？并说明理由（1）甲方案的付款y甲（元）与所购买的水果量x（千克）之间的函数关系式为 y甲=9x（x3000）； 乙方案的付款y乙（元）与所购买的水果量x（千克）之间的函数关系式为 y乙=8x+500O（x3000）（2）有两种解法： 解法1：当y甲=y乙时，有9x=8x+5000， x=5000当x=5000时，两种方案付款一样，按哪种方案都可以 当y甲y乙时，有9x8x+5000， x5000又x3000， 当3000 x5000时，甲方案付款少，故采用甲方案 当y甲y

10、乙时，有9x8x+5000， x5000 当x5000时，乙方案付款少，故采用乙方案 解法2：图象法，作出y甲=9x和y乙=8x+5000的函数图象，如图所示，由图象可得：当购买量大于或等于3000千克且小于5000千克时，y甲y乙,即选择甲方案付款少；当购买量为5000千克时， y甲y乙即两种方案付款一样；当购买量大于5000千克时，y甲y乙，即选择乙方案付款最少例15 一次函数y=kx+b的自变量x的取值范围是 -3x6，相应函数值的取值范围是-5y-2，则这个函数的解析式为 .分析 本题分两种情况讨论：当k0时，y随x的增大而增大，则有：当x=-3，y=-5；当x=6时，y=-2，把它们

11、代入y=kx+b中可得 函数解析式为y= x-4当kO时则随x的增大而减小，则有：当x=-3时，y=-2；当x=6时，y=-5，把它们代入y=kxb中可得 函数解析式为y=- x-3. 函数解析式为y= x-4，或y=- x-3. 例16.某地举办乒乓球比赛的费用y（元）包括两部分：一部分是租用比赛场地等固定不变的费用b（元），另一部分与参加比赛的人数x（人）成正比例，当x=20时y=1600；当x=30时，y=2000（1）求y与x之间的函数关系式；（2）如果有50名运动员参加比赛，且全部费用由运动员分摊，那么每名运动员需要支付多少元？解：（1）设y1=b，y2=kx（k0，x0）y=kx+

12、b 又当x=20时，y=1600；当x=30时,y=2000， y与x之间的函数关系式为y=40 x+800（x0）.（2）当x=50时，y=4050+800=2800（元）每名运动员需支付280050=56（元例4 汽车由重庆驶往相距400千米的成都，如果汽车的平均速度是100千米时，那么汽车距成都的路程s（千米）与行驶时间t（时）的函数关系用图象（如图1128所示）表示应为（ ）例7 某市的A县和B县春季育苗，急需化肥分别为90吨和60吨，该市的C县和D县分别储存化肥100吨和50吨，全部调配给A县和B县已知C，D两县运化肥到A，B两县的运费（元吨）如下表所示（1）设C县运到A县的化肥为x

13、吨，求总运费W（元）与x（吨）的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求最低总运费，并说明总运费最低时的运送方案分析 利用表格来分析C，D两县运到A，B两县的化肥情况如下表则总运费W（元）与x（吨）的函数关系式为W=35x+40（90-x）+30（100-x）+4560-（100-x）=10 x+4800自变量x的取值范围是40 x90解：（1）由C县运往A县的化肥为x吨，则C县运往B县的化肥为（100-x）吨D县运往A县的化肥为（90-x）吨，D县运往B县的化肥为（x-40）吨W35x+40（90-x）+30（100-x）+45（x-40）10 x+4800自变量x的取值范围为40 x

14、90总运费W（元）与x（吨）之间的函数关系式为w1Ox+480O（40 x90）（2）100， W随x的增大而增大当x=40时，W最小值=1040+4800=5200（元）运费最低时，x=40，90-x=50（吨），x-40=0（吨）当总运费最低时，运送方案是：C县的100吨化肥40吨运往A县，60吨运往B县，D县的50吨化肥全部运往A县例8 2006年夏天，某省由于持续高温和连日无雨，水库蓄水量普遍下降，如图是某水库的蓄水量V（万米3）与干旱持续时间t（天）之问的关系图，请根据此图回答下列问题 （1）该水库原蓄水量为多少万米3？持续干旱10天后水库蓄水量为多少万米3？（2）若水库存的蓄水量小

15、于400万米3时，将发出严重干旱警报，请问：持续干旱多少天后，将发生严重干旱警报？ （3）按此规律，持续干旱多少天时，水库将干涸？解：设水库的蓄水量V（万米3）与干旱时间t（天）之间的函数关系式是V=kt+b（k，b是常数，且k=0）由图象可知，当t=10时，V=800；当t=30时，V=400把它们代入V=kt+b中，得 V=-20t+1000（0t50）（1）当t=0时，V=-200+1000=1000（万米3）；当t=10时，V=-2010+1000=800（万米3）该水库原蓄水量为1000万米3，持续干旱10天后，水库蓄水量为800万米3（2）当V400时，有-20t+1000400，

16、t30，当持续干旱30天后，将发生严重干旱警报（3）当V=0时，有-20t+1000=0，t50，按此规律，持续干旱50天时，水库将干涸例9 如图表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程y（千米）随时间x（分）变化的图象（全程），根据图象回答下列问题（1）当比赛开始多少分时，两人第一次相遇？（2）这次比赛全程是多少千米？（3）当比赛开始多少分时，两人第二次相遇？解：（1）当15x33时，设yAB=k1x+b1，把（15，5）和（33，7）代入，解得k1= , b1= , yAB= x+ . 当y=6时，有6= x+ ，x=24。比赛开始24分时，两人第一次相遇（2）设yOD=mx,把（24

17、，6）代入，得m= ，当X=48时，yOD= 48=12（千米）这次比赛全程是12千米（3）当33x43时，设yBC=k2x+b2，把（33，7）和（43，12）代入，解得k2= ，b2=- .yBC= x- .解方程组得 得 x=38.当比赛开始38分时，两人第二次相遇例10 如图所示，已知直线y=x+3的图象与x轴、y轴交于A，B两点，直线l经过原点，与线段AB交于点C，把AOB的面积分为2：1的两部分，求直线l的解析式分析 设直线l的解析式为y=kx(k0),因为l分AOB面积比为2：1，故分两种情况：SAOC：SBOC=2：1；SAOC：SBOC=1：2求出C点坐标，就可以求出直线l的

18、解析式解：直线y=x+3的图象与x,y轴交于A，B两点A点坐标为（-3，0）,B点坐标为(0,3).|OA|3，|OB|=3SAOB= |OA|OB|= 33= .设直线l的解析式为y=kx（k0）.直线l把AOB的面积分为2：1，直线l与线段AB交于点C分两种情况来讨论：当SAOC:SBOC=2:1时，设C点坐标为（x1，y1）.又SAOB=SAOC+SBOC= ，SAOC= =3.即SAOC = =|OA|y1|=3|y1|=3. y1 =2，由图示可知取y1=2又点C在直线AB上，2=x1+3，x1=-1.C点坐标为（-1，2）把C点坐标（-1，2）代人y=kx中，得2=-1k，k-2直

19、线l的解析式为y=-2x直线l的解析式为y=-2x或y=-x.当SAOC:SBOC=1:2时，设C点坐标为(x2,y2)又SAOC=SAOC+SBOC= ,SAOB= 即SAOC=|OA|y2|=3|y2|= .y2=1，由图示可知取y2=1.又点C在直线AB上，1=x2+3，x2=-2.把C点坐标（-2，1）代入y=kx中，得1=-2k，k=- .直线l的解析式为y=- x.直线l的解析式为y=-2x或y=- x.1、已知m是整数，且一次函数 的图象不过第二象限，则m为 .2、若直线 和直线 的交点坐标为(m,8) ，则a+b= . 3、在同一直角坐标系内，直线 与直线 都经过点 .4、当m

20、满足 时，一次函数 的图象与y轴交于负半轴.5、函数 ，如果 ，那么x的取值范围是 .6、已知函数y=（k-1）x+k2-1，当k_时，它是一次函数，当k=_时，它是正比例函数7、一个长120m，宽100m的矩形场地要扩建成一个正方形场地，设长增加xm，宽增加ym，则y与x的函数关系是 .自变量x的取值范围是 .且y是x的 函数.8、如图是函数 的一部分图像，（1）自变量x的取值范围是 ；（2）当x取_ 时，y的最小值为 ；（3）在（1）中x的取值范围内，y随x的增大而 .9、已知一次函数y=kx+b的图象经过点(-2,5)，且它与y轴的交点和直线 与y轴的交点关于x轴对称，那么这个一次函数的

21、解析式为 .10、一次函数y=kx+b的图象过点(m,1)和(1,m)两点，且m1，则k= ，b的取值范围是 .11、一次函数y=kx+b-1的图象如图，则3b与2k的大小关系是 ，当b= 时， y=kx+b-1是正比例函数 12、b为 时，直线y=2x+b与直线y=3x-4的交点在x轴上.13、已知直线y=4x-2与直线y=3m-x的交点在第三象限内，则m的取值范围是 .14、要使y=(m-2)xn-1+n是关于x的一次函数,n,m应满足 , .3、若直线 与 的交点在x轴上，那么 等于（ ）4、直线px+qy+r=0(pq0)如图5，则下列条件正确的是（ ） 5、直线y=kx+b经过点A(

22、-1,m)，B(m,1) (m1)，则必有（ ）A. 6、已知关于x的一次函数 在 上的函数值总是正数，则m的取值范围是（ ）A B C D都不对 7、已知直线 与x轴的交点在x轴的正半轴，下列结论： ； ； ； ，其中正确的个数是（ ）A1个 B2个 C3个 D4个8、已知 ， 那么 的图象一定不经过（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 9、某自来水公司为鼓励居民节约用水，采取按月用水量收费办法，若某户居民应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数关系如图所示。（1）写出y与x的函数关系式；（2）若某户该月用水21吨，则应交水费多少元？0yx15202739.5 10、果农黄大

23、伯进城卖菠萝，他先按某一价格卖出了一部分菠萝后，把剩下的菠萝全部降价卖完，卖出的菠萝的吨数x和他收入的钱数y（万元）的关系如图所示，结合图象回答下列问题：（1）降价前每千克菠萝的价格是多少元？（2）若降价后每千克菠萝的价格是1.6元，他这次卖菠萝的总收入是2万元，问他一共卖了多少吨菠萝？821.92 5、气温随着高度的增加而下降，下降的规律是从地面到高空11km处，每升高1 km,气温下降6高于11km时，气温几乎不再变化，设地面的气温为38，高空中xkm的气温为y（1）当0 x11时，求y与x之间的关系式？（2）求当x=2、5、8、11时，y的值。（3）求在离地面13 km的高空处、气温是多

24、少度？（4）当气温是一16时，问在离地面多高的地方？6、小明用的练习本可在甲、乙两个商店内买到，已知两个商店的标价都是每个练习本1元，但甲商店的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的70%卖；乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的85%卖 （1）小明要买20个练习本，到哪个商店购买较省钱？ （2）写出甲、乙两个商店中，收款y（元）关于购买本数x（本）（x10）的关系式。 （3）小明现有24元钱，最多可买多少个本子？7、如图8，在直标系内，一次函数y=kx+b (kb0,b0的图象分别与x轴、y轴和直线x=4相交于A、B、C三点，直线X=4与x轴交于点D，四边形OBCD（O是坐标

25、原点）的面积是10，若点A的横坐标是 ，求这个一次函数解析式. 8、一次函数y=kx+b，当时k=b，函数图象有何特征？请通过不同的取值得出结论？ 9、某油库有一大型储油罐，在开始的8分钟内，只开进油管，不开出油管，油罐的油进至24吨（原油罐没储油）后将进油管和出油管同时打开16分钟，油罐内的油从24吨增至40吨，随后又关闭进油管，只开出油管，直到将油罐内的油放完，假设在单位时间内进油管与出油管的流量分别保持不变.（1）试分别写出这一段时间内油的储油量Q（吨）与进出油的时间t(分)的函数关系式.（2）在同一坐标系中，画出这三个函数的图象 解：8分钟进油24吨, 进油管每分钟进油3吨 当0 x8

26、时， y=3x 16分钟增加油40-24=16吨, 每分钟增加油1吨，出油管每分钟出油 3-1=2吨， 把40吨油放完需402=20分钟。 当8x24时，y=24+(x-8)=16+x 当24x44时，y=40-2(x-24)=88-2x 12、汽车从A站经B站后匀速开往C站，已知离开B站9分时，汽车离A站10千米，又行驶一刻钟，离A站20千米.（1）写出汽车与B站距离y与B站开出时间t的关系；（2）如果汽车再行驶30分，离A站多少千米？1小敏家距学校1200米，某天小敏从家里出发骑自行车上学，开始她以每分钟V1米的速度匀速行驶了600米，遇到交通堵塞，耽搁了3分钟，然后以每分钟V2米的速度匀

27、速前进一直到学校(V1 V2 )，你认为小敏离家的距离y与时间x之间的函数图象大致是（ ）2如图，在矩形ABCD中，AB=2，动点P从点B出发，沿路线 作匀速运动，那么 的面积S与点P运动的路程x之间的函数图象大致是（ ）O3113SxAO113SxO3Sx3O113SxBCD2DCPBA3.小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A，再走上坡路到达点B，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间是（）A12分钟 B15分钟C25分钟D27分钟5函数 的图象与直线y=x

28、没有交点，那么k的取值范围是A、 B、 C、 D、7如图，直线y=kx+b经过A（2，1）和B（3，0）两点，则不等式组 的解集为 OBAA第7题如图1，在直角梯形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD运动至点D停止设点P运动的路程为，ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则BCD的面积是（ ） A3 B4 C5 D6图12O5xABCPD图2 9如图，点G、D、C在直线a上，点E、F、A、B在直线b上，若ab, RtGEF从如图所示的位置出发，沿直线b向右匀速运动，直到EG与BC重合运动过程中RtGEF与矩形重合部分的面积（S）随时间（t）变化的图象大致是（ ）GDCEFABbastOAstOBCstODstO10如图，点A的坐标为(1，0)，点B在直线 y=-x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为A（0，0） B（ ， ）C（ ， ）