数学向量数乘运算及其几何意义课件

1、 向量的数乘运算 及其几何意义 向量的数乘运算 及其几何意义1.向量加法三角形法则:特点:首尾相接，首尾连特点:共起点BAO特点：共起点，连终点，方向指向被减数2.向量加法平行四边形法则:3.向量减法三角形法则:1.向量加法三角形法则:特点:首尾相接，首尾连特点:共起点B实际背景实际背景讲授新课思考题1:已知向量 如何作出 和 OABCNMQP记:即:同理可得:思考题2: 向量 与向量 有什么关系? 向量 与向量 有什么关系? (1)向量 的方向与 的方向相同, 向量 的长度是 的3倍,即(2)向量 的方向与 的方向相反, 向量 的长度是 的3倍,即讲授新课思考题1:已知向量 如何作出 一、向

2、量的数乘运算的定义：注意：比较两个向量时,主要看它们的长度和方向一、向量的数乘运算的定义：注意：比较两个向量时,主要看它们的二、数乘向量的几何意义数乘向量的几何意义就是把向量 沿 的方向或反方向放大或缩短.若 ,当 沿 的方向放大了 倍.当 沿 的方向缩短了 倍.当 ,沿 的反方向放大了 倍.当 沿 的反方向缩短了 倍.由其几何意义可以看出用数乘向量能解决几何中的相似问题. 二、数乘向量的几何意义数乘向量的几何意义就是把向量 沿 解：（1）（2）解：（1）（2）(1) 根据定义，求作向量3(2a)和(6a) (a为非零向量)，并进行比较。(2) 已知向量 a,b，求作向量2(a+b)和2a+2

3、b，并进行比较。=(1) 根据定义，求作向量3(2a)和(6a) (a为三、向量的数乘运算满足如下运算律：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算三、向量的数乘运算满足如下运算律：向量的加、减、数乘运算统称例2：计算下列各式例2：计算下列各式数学向量数乘运算及其几何意义共线向量的充要条件：向量共线定理：对于向量 a (a0), b ，以及实数。问题1：如果 b=a 那么，向量a与b是否共线？问题2：如果 向量a与b共线 那么，b=a ？向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数，使得 b=a 共线向量的充要条件：向量共线定理：对于向量 a (a0),1.把下列各小题中得向量b

4、表示为实数与向量a得积.练习：1.把下列各小题中得向量b表示为实数与向量a得积.练习：2.判断下列各小题中的向量a与b是否共线.练习：2.判断下列各小题中的向量a与b是否共线.练习：例3.设AB=2(a+5b)，BC= 2a + 8b，CD=3(a b)，求证：A、B、D 三点共线。 分析要证A、B、D三点共线，可证AB=BD关键是找到解：BD=BC+CD= 2a + 8b+ 3(a b)=a+5bAB=2 BD A、B、D 三点共线AB BD且AB与BD有公共点B 向量 与非零向量 共线 有且仅有一个实数 ，使得 定理例3.设AB=2(a+5b)，BC= 2a + 8b，CD例4.如图：已知

5、 ， ，试判断 与 是否共线 与 共线 解： 向量 与非零向量 共线 有且仅有一个实数 ，使得 定理例4.如图：已知 ， 解：作图如右OABC依图猜想:A、B、C三点共线 A、B、C三点共线.abbb AB=OB-OA AC=2AB又 AC=OC-OA =a+3b-(a+b)=2b =a+2b-(a+b)=b又 AB与AC有公共点A，解：作图如右OABC依图猜想:A、B、C三点共线 A、例5： 如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB中点，点N在线段BD上，且有BN= BD，求证：M、N、C三点共线。提示：设AB = a BC = b则MN= = a + b MC= = a+ b例5： 如图，

6、在平行四边形ABCD中，点M是AB中点，点提示数学向量数乘运算及其几何意义练习练习例7:若其中 , 是已知向量,求 ，分析:此题可把已知条件看作向量的方程,通过解方程组获得解：记 ， 3得 -得例7:若分析:此题可把已知条件看作向量的方程,通过解方程组获例8. 在 中,设D为边的中点,求证:解：因为例8. 在 中,设D为边的中点,求证:E过点B作BE,使连接CE则四边形ABEC是平行四边形,D是BC中点，则D也是AE中点.由向量加法平行四边形法则有解2:例8. 在 中,设D为边的中点,求证:E过点B作BE,使连接CE则四边形ABEC是平行四边例8. 在 中,设D为边的中点,求证:解：（）所以，

7、所证等式成立例8. 在 中,设D为边的中点,求证:练习: 如图，在 中,延长BA到C,使AC=BA,在OB上取点D,使BD= OB.DC与OA交于E,设 请用 .ECODBA 分析: 解题的关键是建立 的联系，为此需要利用向量的加、减法数乘运算。 解：因为A是BC的中点，所以 练习: 如图，在 中,延长BA到C,使AC=BA基础知识反馈C.A.B.(2).设 是非零向量, 是非零实数,下列结论正确的是( ).D.(1).下列四个说法正确的个数有( ).B.2个A.1个C.3个D.4个BC基础知识反馈C.A.B.(2).设 是非零向量, 是非练习（ C ）分析:由 所以 在平行四边形ABCD中,

8、 ,M为BC的中点,则 等于 (1)(2)ABCD练习（ C ）分析:由 二、定理的应用： 1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=BC A,B,C三点共线 3. 证明 两直线平行: AB=CD ABCD AB与CD不在同一直线上直线AB直线CD课堂小结：一、a 的定义及运算律 向量共线定理 (a0) b=a 向量a与b共线 二、定理的应用：直线AB直线CD课堂小结：一、向量与平面几何向量与平面几何ABDCABDC四边形ABCD是菱形四边形ABCD是矩形ABDCABDC四边形ABCD是菱形四边形ABCD是矩形对于任意一个三角形，三角形的三条高的交点叫做垂心，三角形的三条中线的交点所为重心，三角形的三条角平分线的交点叫内心，三角形的三条中垂线的交点叫外心 向量与三角形的“心”： 对于任意一个三角形，向量与三角形的“心”： ABCOABCDMABCOM外心重心重心通过三角形ABC的_内心ABCOABCDMABCOM外心重心重心通过三角形ABC的_例1例1O 是平面上一点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足，0，）,则 P 的轨迹一定通过 ABC 的( ) A外心 B内心C重心 D垂心B例2.O 是平面上一点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，