小学数学解决问题的策略

1、 小学数学讲座（听课对象:小学六年级学生和家长）解决问题的策略张家骥有两个问题是小学生家长反映最多的，一个是说自己的孩子学习数学比较粗心；另一个是自己的孩子做数学题时不会分析，不能举一反三。关于粗心的问题，不是我们今天讨论的内容，我只想说一句，粗心的原因很多，各个学生的情况也不完全相同，粗心不只是因为不认真、不细致这么简单，比如注意力分配不过来，考虑问题常常顾此失彼；再比如学习习惯不好或学习方法不好等。关于解决数学问题时不会分析，不能举一反三的问题，原因也有多方面，其中，(1)基础知识学得不扎实，没有深刻理解掌握知识的本质；(2)没有理解掌握解决数学问题的策略和思想方法，或理解掌握的解决数学问

2、题的策略和思想方法比较少是最重要的两个原因。解决问题的策略，以前小学课本上没有这方面的专题性内容。现在小学数学课本从四年级开始，每一册都有一个单元专门研究解决问题的策略，这是一个非常好的安排。不过，我感到有些小学生、小学生家长，甚至少数小学老师对这个内容的重视程度不够或理解不到位。什么是解决问题的策略？小学数学中常见的解决问题的策略有哪些？我们如何选择和运用这些策略来解决数学问题呢？下面以小学数学应用题为主（也有少量其它类型的题目）谈谈我的一点学习体会。说到策略，大人们最容易想到“孙子兵法”中的三十六计，以及三国演义中的诸葛亮。诸葛亮“草船借箭”不知道孩子们是否知道。如果不知道，那“乌鸦喝水”

3、的故事都知道吧。乌鸦为了喝到瓶子里的水，把小石子衔到瓶子里让水位升高，这就是一种策略。所谓策略，简言之，即计策、谋略。具体一点说就是为了达到某种目的而选择或设计的方法与技巧。数学中解决问题的策略，即为了寻找到数学题的解题思路而选择或设计的解题方法与技巧。有些学生拿到一个题目后，如果会做，那没有问题。如果不会做呢？他就在那儿瞪着眼睛，什么事情也不做，你不知道他在看什么，想什么，你问他有什么想法，他说没有什么想法。这就是标准的没有解题策略。乌鸦喝不到瓶子里的水，怎么办呀？难道就这样干瞪眼吗？你得想办法呀？当然不是每一只乌鸦都能找到把小石子衔到瓶子里让水位升高这么好的方法的，只有那些肯动脑筋，积累了

4、许多解决问题方法的乌鸦才能找到这么好的方法。学习解决问题的策略就是帮助我们理解、掌握和积累更多的解决问题的思想和方法。解决小学数学应用题的策略有许多。了为提高，我这里讲的比小学课本中讲的要多得多。下面我把这些策略分成三大类向大家做一个简单的介绍。“有利呈现”的策略数学作业、数学试卷中的应用题基本上都是以一段文字的形式呈现给大家。应该说多数题目，我们通过这段文字的分析就可以找到解题思路。但有些题目，尤其是条件比较复杂、文字比较多的时候，仅凭这段文字，分析起来比较困难。这时我们有一种策略，就是把题目换一种更加有利于我们清晰地把握题目的已知条件、所要求解的问题和数量关系，更加有利于我们分析思考的形式

5、呈现出来。像这种策略，我们称之为“有利呈现”的策略。有利呈现的主要做法是将问题简单化、结构化、直观化，其目的主要是帮助我们更加审题到位，便于我们分析思考。有利呈现策略的方式主要有以下几种：标注。即把题目中的条件、问题和重要的字词句用横线、波浪线和重点符号等标注出来。这样可以让题目的条件和问题更加突现，从而减少无用文字对我们思维的干扰。摘录。即把题目中的条件、问题和重要的字词句有结构地摘录出来。这样不仅有标注的优点，而且条件间的关系更容易显露出来，便于我们将条件进行比较。列表。与摘录类似。为了节省时间，表格的横竖线有时可以不画。画图。即用图形把题目的条件和问题表示出来。最典型的图形就是线段图。但

6、要注意，画图不等于全是图形，必要的文字和数学式子做辅助说明还是需要的。把题目中的条件、问题用图形画出来，可以把数学问题呈现得更加直观，数学题中的数量关系揭示得更加明显。有学生说，有些题目如果不画图就很难做出来，这话我赞成。小学四年级上学期课本介绍了列表的策略，这是小学课本中作为专题而介绍的第一个解决问题的策略。小学四年级下学期在解决问题的策略中主要介绍了画图的策略。这表明，有利呈现的策略已经被数学专家和教师们所重视。不过很可惜，有不少学生对此还没有重视起来，有些学生毫无有利呈现数学问题的意识和习惯，有些学生画图的能力非常弱。例1甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相对开出。第一次相遇离A地有200千

7、米。然后各自按原速继续行驶，分别到达对方出发地后立即沿原路返回。第二次相遇时离A地的距离占A、B两地间全长的75%。A、B两地间的路程长多少千米？（2014年盐中分班试卷）仅凭这段文字，这题做起来有些困难。现在我把这道题的线段图画出来，大家看看题目的意思和数量关系是不是更加清楚和直观呀？分析：“第一次相遇离A地有200千米”说得更具体明确一些指什么？指甲、乙合走一个全程时，甲走了200千米。第二次又相遇，说明了什么？说明从开始到第二次相遇，甲、乙合走了3个全程。合走3个全程，甲应该走多少路程呢？应该走2003600千米。从图上看从开始到第二次相遇，甲走了多少路程呀？甲走了一个全程加175%25

8、%。现在知道如何求A、B两地间的路程了吧？本来我想多举几个例子来说明有利呈现的各种策略，但时间不够，尤其是应用题线段图真的要理解掌握它需要好多个课时进行讲解和训练，所以这里只能点到为止。“应用常规”的策略遇到不会做的题目，采用有利呈现的策略，只是为我们寻找解题途径创造了一个有利环境，即让我们审题更到位，让我们更容易或更直观地看到题目中的数量关系。但要得到解题思路，接下来还要我们做进一步的分析。如实例1，画图后题目就做出来了吗？还没有。那接下来，我们做什么呢？有些学生又无语了，又在那儿干瞪眼了。老师问他，你现在有什么想法呀？他说没有想法。这就是我们常说的不会分析。其实他也不想干瞪眼，他也想找事做

9、，但他真的不知道做什么，怎么做。这里我要告诉大家一种策略，就是应用常规的策略，即用一些常规性的数学思想方法去探求解题思路。解答小学数学应用题中常规性的数学思想方法（也可以说成是解题策略）常见的有：（PPT）定向规划（实例2）我们先来看一个例题：例2甲、乙两仓库存粮若干吨。如果甲仓增加30吨，那么乙仓的存粮是甲仓的；如果乙仓增加30吨，那么甲、乙两仓的存粮比是3：2。甲、乙两仓原来各有存粮多少吨？（2014年解放路初中升学试卷）这题怎么做？我估计有些学生在考虑用算术方法解答，但目前还没有找到思路。虽然这道题目可以用算术方法做，但用方程做更简单。设甲仓原来存粮x吨，则乙仓原来存粮(x+30)吨。所

10、以有x:(x+30)+30=3:2这个方程很好解。请注意，我不是说这题用算术方法不能做，而是说用方程做更快、更简单。我主张当遇到一道应用题我们一时不知道怎么做时，首先考虑用方程解答。可有些学生就是没有用方程解题的意识和习惯。拿到一个题目后，如果会做，那用什么方法都可以，如果暂时没有思路，那不妨先考虑一下解题的方向，即考虑一下是用方程做，还是用算术方法做？如果用算术方法做，是用分数做还是用比例做？在确定了方向后，还要考虑一下接下来先做什么？再做什么？这就是定向规划的策略。综合法与分析法（实例3）所谓综合法，即看由条件可以得到什么？把推出的结论作为新的条件和原来的条件放在一起又能得到什么？所谓分析

11、法，即看要求题目中的问题，我们需要什么？把需要的而题目又没有直接告诉我们的条件作为新的问题再去找求解它所需要的条件。综合法由条件向下推结论，分析法由结论向上找条件，这是解题各类数学问题最最常用的数学思想方法，大家一定要理解掌握。例3如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图。乙槽中有一圆柱形铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上）。现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中的水的深度y（厘米）与注水时间x（分钟）之间的关系如图2所示。根据图像提供的信息，解答下列问题：图2中折线ABC表示（）槽中水的深度与注水时间之间的关系。线段DE表示（）槽中水的深度与注水时间之间的关系（以上两

12、空选填“甲”或“乙”）；注水多长时间时，甲、乙两个水槽中水的深度相同？（2012年一中升学试卷）第（1）小题简单。第（2）小题怎么做？请用综合法与分析法寻找本题的解题思路。找关键性问题（实例4）例4客货两车同时从甲、乙两地相向开出，匀速行驶。相遇后两车继续前行，一段时间后，客车离目的地还有54千米，货车离目的地还有189千米。已知货车的速度是客车的80%。甲、乙两地相距多少千米？（2015年解放路初中升学试卷）为便于分析，我们先画一个线段图：如果一时找不到解题思路，有时可以先看一看解决问题的关键性问题是什么？容易看出，本题的关键问题是要求出客车的行驶的时间。那么能求出客车行驶的时间吗？如果能求

13、，该如何求呢？比较客车和货车行驶的路程差和速度差，可以求出客车和货车行驶的时间。这样问题可以解决。识别套用题型（实例5）例5有两堆棋子，甲堆中有500个白子和350个黑子，乙堆中有200个白子和200个黑子。为了使甲堆中的黑子占50%，乙堆中黑子占25%，甲、乙两堆中的黑、白子应如何调整？（2012年盐中分班试卷）数学中介绍了那么多典型应用题，目的主要有两个，一是通过学习这些典型应用题，让我们学到分析和解决问题的方法，训练我们的思维能力，二是让我们在做题时可以套用或借用。本题两堆棋子调整后的结果告诉了我们，所以应该考虑借用“还原问题”，用倒推法分析。而在倒推的过程中，我们又发现其中含有一个“差

14、倍问题”。再继续分析下去此题可解。识别套用题型，这实际上是一种不由自主的行为，如果你对某种题型理解掌握得非常好，那么以后再见到这类题目，你会一眼看出，并进行模仿解题。可我们发现不少学生拿到的题目明明是已学题型，可他却不知。为什么？因为他对已学题型理解不深刻，不系统。我问过一些六年级的学生：什么是鸡兔同笼问题呀？用假设法求解鸡兔同笼问题的一般步骤是什么？回答不出，这说明对这类问题的结构特征和所使用的假设法理解不到位。我又问：你们已经学习了哪些能够叫出名称的典型应用题呀？他们说不出几个。而我看许多小学数学试卷和奥数竞赛试卷，发现里面典型应用题，或由几个典型应用题组合而成的应用题很多。我一看，哦，这

15、是交叉重叠问题，所以我就用交叉重叠问题的解题方法去做；我一看，哦，这是和倍问题和鸡兔同笼问题的组合题，所以我用和倍问题和鸡兔同笼问题的解题方法去分析解答。把套用题型作一种策略提出来，就是希望同学们要学好每一种典型应用题，并进行总结归类，这样有助于我们举一反三。转化（六年级下）（实例2）刚才用方程解答了例2，其实例2也可以用算术方法做。我们发现问题中甲加上乙再加上30吨这个和始终没有变，所以我们可以把这个不变的和作为单位“1”，将问题中的两个条件进行转化，即转化成甲增加30吨后，乙是增加后甲、乙和的；乙增加30吨后，乙是增加后甲、乙和的。然后30（）得到增加30吨后甲、乙的和。再下面就简单了。转

16、化的策略，小学是在六年级下的解决问题的策略中专门提出来的。但其实这一思想方法早有渗透。转化是数学中的一种普遍的、十分重要的思想方法。从哲学的角度看，一切数学问题的解答过程都是转化的过程。当然，对小学生这么说太复杂了，没有必要。我们是要告诉同学们，要学会把已知条件向我们需要的，向已经会解决的问题方向转化，从而使题目得解。比较条件（实例6）盈亏问题主要就是通过比较条件而获得解题途径的。例6甲、乙两人各加工一批零件。如果甲每小时加工24个，乙每小时加工12个，那么当乙完成时，甲还有22个没有加工；如果甲每小时加工12个，乙每小时加工24个，那么当乙完成时，甲还剩130个。甲、乙各加工多少个？（201

17、5年盐中分班试卷）比较两组条件，发现如果设乙加工的零件数为单位“1”，那么可以得到前后两种情况甲加工的零件数用具体量表示相差13022108（个），用分率表示相差2，再用108除以并能得到乙加工的零件数，然后容易求出甲加工的零件数。注意，列算式要尽量用已知数。这题也可用方程做。多数情况下如果方程和算术方法都可以做，用方程做简单。但比较特殊的是这题用方程做并不比算术方法做简单。比较条件，就是对已知条件做认真的比较，尤其是条件比较对称的时候，要注意比较相对应量的差，如此有可能会让我们找到解题思路。用足条件（实例7）下面举一个几何方面的例子：例7先把一张正方形纸片对折，再沿着右图中的轨迹进行折叠，使

18、A点恰好落在中线上，那么ABE度。如果这个题目你不会做的话，那么你想一想，题目中的条件你都用到了吗？哦，“A点恰好落在正方形对折所形成的中线上”这个条件还没有用到。还有条件没有用到，当然有可能做不出来了。那么这个条件怎么用呢？由此我们应该能想到连接A、C。连接这条辅助线不是乱猜的，而是通过分析得来的。连接了这条辅助线后，这道题如何做大家应该知道了。用足条件，就是当我们找不到解题途径的时候，也可以看看有什么条件没有用上，然后考虑如何让这个条件用起来，这样或许也能帮助我们找到解决问题的办法。挖掘隐蔽条件（实例8）实例8李教授连续做了若干小时的实验。开始和结束时，墙上的挂钟都正在报时。他做完实验后大

19、约16分钟，钟面上时针和分针重合。已知这个挂钟只在整点报时，几点就报几下。整个实验里过程中挂钟共敲了39下。问：李教授在的实验共做了几小时？做这道题的关键就是能看到“李教授做完实验刚好是下午3时整”这个隐蔽的条件。其实例7中“A点恰好落在正方形对折所形成的中线上”也是一个隐含的条件，看到了，用起来了，题目的解题途径也就显露出来了。挖掘隐蔽条件是解决许多难题中常采用的解题策略。有些所谓难题，实际上难就难在有一个条件你没有看到。如果看到了，就不难；如果看不到就做不出来。挖掘隐蔽条件需要我们有较高的观察能力和推理能力。这八个常规性数学思想方法，也可以说成是解决小学数学应用题的八个常规性解题策略。这些

20、策略中有许多，在小学课本解决问题的策略专题中没有明确指出，但实际上都是解决小学数学应用题中应用广泛且非常有用的解题策略。之所以称这些思想方法是常规性的，是因为它们对题目的结构一般没有特别的要求，绝大多数题目我们都可以用这些方法去进行尝试。“琢磨特点”的策略所谓琢磨特点，是指解决问题时我们也可以从认真观察题目的特点或特殊规律入手，然后通过研究题目的特点或特殊规律，找到解决问题的方法。比如：枚举的策略（五年级上）（实例8）对于例8，我们看到李教授是下午3时整做完实验这个隐含的条件后，如何计算李教授在实验室一共做了几小时呢？枚举呗。当计数没有很强的规律时，我们常常把各种情况一一列举出来进行计数，这就

21、是枚举的策略，也是不得已而为之。倒推的策略（五年级下）（实例5）小学中主要用来解决还原问题。例5用了倒推策略。还原问题大家熟悉，所以这里不再举例。替换的策略（六年级上）（实例9）例9某货运公司运送一批货物，原计划安排18辆小卡车和12辆大卡车刚好运4次。已知2辆大卡车与5辆小卡车装的重量相同。现在只能派出8辆小卡车，需要运（）次才能把货物运完。“2辆大卡车与5辆小卡车装的重量相同”这个条件启发我们可以把题目中的大卡车换成小卡车，即用小卡车替换大卡车，这样就容易找到解题途径。假设的策略（六年级下）（实例10）小学课本是通过鸡兔同笼问题介绍假设策略的。鸡兔同笼问题大家都熟悉，所以这里不再举鸡兔同笼

22、问题的例子。其实问题中有一些量不知道，但我们却需要，那么通常就可以假设。如设为x，设为单位“1”，或其它什么假设。列方程解应用题、工程问题中都用到的假设法。例10右图正方形中恰好套了一个长方形。线段DH的长度是线段AH的两倍。长方形EFGH的面积是正方形ABCD的（）（2015年解放路初中升学试卷）如果知道了正方形的边长，那么就能求出正方形和长方形的面积，然后就能求出它们的比。本题可以设正方形的边长为x，或单位“1”，或设AH1，HD2。显然第三种假设做起来最简便。抓住不变量（实例2）例2中已经涉及到，所以这里不再举例。巧用特殊（实例11）有些题目给出的条件非常特殊，如果能看到并利用好这种特殊

23、性的化，有时可以找到巧妙的解题方法。例11我们班男生的一半和女生的共16人，女生的一半和男生的共14人。我们班共有多少人？（2015年盐中升学试卷）看到了条件中的特殊性了吗？利用这种特殊性是不是马上就能找到比较简捷的解题方法了？应用策略的程序化说了这么多策略，在实际做题时如何应用呢？总体上说是根据不同的问题特点，选择不同的策略。不过这么说，我估计同学们在应用策略解题时可能还是有困难。由于解题策略在我们遇到不会做的题目时显得更为需要，为了让同学们能把这些解题策略串起应用于具体做题，从而增强解题策略应用的可操作性，下面我向大家介绍一个“遇阻时的提问解题策略”：遇阻时的提问解题策略（题目做不出来，有

24、可能是由于用一段文字呈现出来的题目不便于我们分析，所以我们考虑采用有利呈现的策略，即看看：）是否要把题目换一种方式（如摘录、画图或列表等）呈现出来？目的是：以利于我们能更清楚或更直观地看到题目的条件、问题和数量关系，便于我们思考分析。有利呈现提问策略（题目做不出来，也可能是由于我们审题不到位，有些条件我们没有看到或没有引起足够的重视，所以我们想通过以下问题帮助更深入地审题。）你看到了什么？你还能看到什么？本题有什么特别之处或特殊规律吗？是否有隐含条件你没有看到？深入审题提问策略定向规划提问策略：（有些题目做不出来，也可能是由于一条道走到黑，只认准一个方向，而没有考虑用方程做或用比例做等。小学中

25、多数应用题都可以用方程做，而且多数情况下，用方程做比用算术方法做简单。我们主张当题目做不出来时，首先考虑用方程做。）提问：用方程做还是用算术方法做？如果用方程做，如何设未知数？如何找到一个等量关系用来列方程？如果用算术方法做，是用整数或分数还是用比和比例？分析寻路提问策略：（如果题目做不出来不是以上三个方面的问题，那么可以继续通过以下问题帮助分析寻找解题思路：）你能得到什么？你还能得到什么？解决最后的问题需要知道什么？解答本题的关键在哪里？可否套用或借助“定式”解题？可否通过比较条件或转化条件而得到思路？条件全部用到了吗？本题需要用字母表示数或设单位“1”或其它什么假设吗？还有其它解题策略在这

26、里可用吗？说明：不是凡遇到不会做的题目这里提出的每一个问题都要问，也不需要严格按照这里问题排列的顺序来问。这里的顺序和问题供具体解题分析时参考，先问什么？再问什么？问哪些问题要视题目的具体情况自已做灵活处理。例12某银行营业厅，开始营业后，顾客陆续前来办理存取等业务。如果只开一个接待业务的窗口，那么15分钟后营业厅里就会站满顾客；如果开两个接待业务的窗口，那么20分钟后营业厅里同样会站满顾客。假设每分钟前来办理业务的顾客人数不变，为每位顾客办理业务的时间也相同，为了保证顾客随到随办，不耽误顾客时间，这个营业厅最少要开几个接待业务的窗口？分析一（不知道牛吃草问题）读题后，题目的意思明白。为题意记

27、忆更清晰，便于分析，搞个摘录（PPT）。由条件能得到：15分钟前来的人数1个窗口15分钟办理的人数+站满大厅的人数；20分钟前来的人数2个窗口20分钟办理的人数+站满大厅的人数。比较上面两组条件得：5分钟（2015）前来的人数被第1个窗口5分钟（2015）和第2个窗口20分钟消化掉，相当于1个窗口25分钟（20+5）消化掉，如果开5个窗口（255），则5分钟前来的人数5分钟可以消化掉，如此就能使顾客随到随办。所以最少要开5个窗口。分析二（用牛吃草问题的解题方法做）读题后看到一方面不断有人进来，另一方面不断有人办理好业务出去，所是知道是一个牛吃草问题。按牛吃草问题的解题方法，设1个窗口1分钟办理

28、的人数为“1”，则15分钟前来的人数为15加站满大厅的人数；20分钟前来的人数为20240加站满大厅的人数。比较上述两组条件得：20分钟15分钟5分钟前来的人数为401525，最少要开的窗口数为25515（个）。五、几点说明今天介绍的解题策略和数学思想方法，有许多不仅可以用来解答小学数学应用题，也可用来解决数学中的其它问题。解答小学数学应用题的策略和思想方法这里介绍的不是全部。我们要在深刻理解掌握已学解题策略的基础上，不断积累，不断创新，这样就一定能不断提高我们的数学解题能力。3.各种解题策略和数学思想方法都要根据不同题目的特点加以选择，同一个题目可能有多个策略能解决它，或需要联合多个策略共同解决。运用解题策略要以基本知识的理解掌握，以及较强的观察力和推理力为重要基础。4.理解