a3精算模型讲义第12章信度理论

1、第12信度理论【内容】引有限波动信完全部分分信第12信度理论【内容】引有限波动信完全部分分信信度最大精度信度模型Bhlmann-Straub模型的经信度参数估计非参数半参数估参数估【要点详解】引信度理论：研究如何合理利用先验信【要点详解】引信度理论：研究如何合理利用先验信后验保费估计值索赔经验来进行估计及制定后验保费。后验保费估计值=z经验值+(1z)先验其中：z0z1)称为信度因子，后验保费估计值称为信度估计。只有正确地选择信度因子z，才能保证调整后的保险费接近于真实的风险水平。有限波动信量；Xj为经验观察值，Xj，j=1,2,n相互独立；E（Xj）=，1j有限波动信量；Xj为经验观察值，X

2、j，j=1,2,n相互独立；E（Xj）=，1jn；Var（Xj）=2假设X的根据保险人先验知识，可以获得X均值的先验估计M（手册纯保费），经验数据Xj，j=1，2,n，的平均X n1(X1 Xn 容易知E( )Vr 第一种：忽略过去的经验数据，直接令第二种：忽略M，直接使用经验数据；+(1-Xz为信度因子。特别地，当z=1，称经验数据具有完全信度第三种：取M的值，即z=0时，称为经验X没有信度。当0 z 1 时，称为经验数据具有部分信度1完（1）完条 r来衡x 当 与足够接近的时候，可以达到完全信度条件。x与的接近程度，通过1完（1）完条 r来衡x 当 与足够接近的时候，可以达到完全信度条件。

3、x与的接近程度，通过进infP( X y) x转化，定义如用来衡与的接近程 /py则称观察值满满足完条件的最小观察值个满足完条件的最小总期 /p（2）完的等价条rnn 上式说明如果变量X的变差系数CV=/不大n ，则经验数据是完的（2）完的等价条rnn 上式说明如果变量X的变差系数CV=/不大n ，则经验数据是完的2 Var(X) X上式表明的波动性(方差)在一定范围内时，则可以认为经验数据是具有完全信度的。x（3）的分布未知时难以确定yp的值。但是当n足够大时，由中心极限定理，取p=0.9，r=0.05，则全【例题12.1】牙医团体保险的过去类似经验表明单每年平均损失的均值是175，标准差是

4、140。某特殊体在两年中的第【例题12.1】牙医团体保险的过去类似经验表明单每年平均损失的均值是175，标准差是140。某特殊体在两年中的第一年有100人投保，第二年中有110人，且在这两年内平均每年的赔付是150。已知r=0.05，p=0.9）。(假设索首先确定是完全信度还是部分信度，然后计算若下一年有125人投保，应当收取的信度保费为经历和年份无关【】已经观察了100+110=210个 150，现知手册纯保费M=175，并假设这个群体的X，是 。进而得到满足完全信140。n=210，n0=（1.645/0.05）2=1082.41，用样本均值150来估计总体均从而z 210/942.90

5、因此每个人的整个团体的净保费是125163.2=20400【例题12.2】假的经验总索赔次数为风险的索赔次数服从泊松分布，每次索赔额的变异系数为2，=0.1，r【例题12.2】假的经验总索赔次数为风险的索赔次数服从泊松分布，每次索赔额的变异系数为2，=0.1，r=0.05，）时，用样本赔付额数据估计索赔强度度为100风【】n表示观察风险的样本个数，n 又由题意，0所n108240 2分（1）定义的时候，采用经验数据与先验知识值作为保费的信度估计，即：其中2分（1）定义的时候，采用经验数据与先验知识值作为保费的信度估计，即：其中0z1，为信度因子。此时称经验数据是部的（2）信度因子znF n0(

6、 /其中：n F 是完全信度条件要求的最小观察值个数。n/）与实际变说明：上式中的第一等式的解释是，信度因子z是完条件所要求的变异系数数的比值。第二个等式的解释是信度因子z条件所要求最小观察值个数与实际样本数的比值的平方根。【例题12.3】设某险种索赔额为常数，在正态假设下计算信度因子为1/2的期望索赔次数为k=0.05），设【例题12.3】设某险种索赔额为常数，在正态假设下计算信度因子为1/2的期望索赔次数为k=0.05），设【】在索赔额为常数的nF z 11082.42ZF4【例题12.4】基于样本数n=100的部因子z=0.4，至少需要增加）样本数使z增加到0.5【】设nF是完全信度条件

7、要求的最小观察值个数，z=0.5时需要的样本数是n2由于z100 ，则。F100 0.4，所以n156.25 ，即至少需要增加57个样本能使z增加到0.5当z=0.51分x,的观，是被保险人风险的先验信X ,X ,Xx,（1）假设n1分x,的观，是被保险人风险的先验信X ,X ,Xx,（1）假设n个经验数nn| xjf为量的观察值，(）是先验分布（结构分布）。Xj关于的条件分布密PX x j将来损失关于过去数据的联合条件概率fXj,|fX,n1和 X的联合分布为X的边际密度或X 与Xn+1的边缘密度函数(,(|)()ffx,xX,X,Xn+1关于X 的条件分布分布f(X 与Xn+1的边缘密度函

8、数(,(|)()ffx,xX,X,Xn+1关于X 的条件分布分布f(x,xn1X, (| x)fXn1|f (XX 与Xn+1关于条件独立X与Xn+1的边缘密度函数可以注意：(|) X)fx,fxXX,X密度可以)|x)fnX(xf (|)X X是风险参数的后验分布分布是后验分布与条件分布的乘积的积分或求和。（2）共轭先验分定义：如果参数的后验分布与先验分布具有相同的形式，只是参数不同，则称此先验分布为给定模型的共轭先验分布。定理：设（2）共轭先验分定义：如果参数的后验分布与先验分布具有相同的形式，只是参数不同，则称此先验分布为给定模型的共轭先验分布。定理：设xj，j=1，n关于条件独立，分布

9、密度函数具有如下且当参数取有限实值时，其先验分布满足如下形式：其中，k为分布的参数。则参数后验分布与先验分布共2信度估计值假设已知的先验分布(），被保险人的过去损失经验独立到信度估计值E(Xn1 | x2信度估计值假设已知的先验分布(），被保险人的过去损失经验独立到信度估计值E(Xn1 | x) xn1 f (xn1 |0当 X 与Xn+1关于条件独立时信度估计值又可以写xn1 f(x,xn1 X,| x)E(f X信度估计值可以分布写为：当服从离散分布时（2）重要定E| 2X 来估计X n+1En 信度估计值的均方误差最小，即在所有（2）重要定E| 2X 来估计X n+1En 信度估计值的均

10、方误差最小，即在所有n小于任何其他估计量的均（3）Bhlmann线性信度估计值相对而言比较精确，但是它的计算方法比。为了得到较为简便的结果虽n 提出用X的线性函来近()1Bhlmann线性估计的两XXBhlmann线性估计在Bhlmann线性估计在对Xn+1的线性估计中均方误差最小。对信度估计值的线性估计中均方误差最小。【例题12.5】设定某种疾病发病次数服从泊松分布，大约一半的人每年的发病次数为1次，另一半的人每次数大约为2次，随机选取一人，发现两年的发病次数均为1次，求该人在第三年内的索赔次数估值为）824【例题12.5】设定某种疾病发病次数服从泊松分布，大约一半的人每年的发病次数为1次，

11、另一半的人每次数大约为2次，随机选取一人，发现两年的发病次数均为1次，求该人在第三年内的索赔次数估值为）824442442】8【 】样本的联合密度函数为P(1)1P(2的先验分布为：的后验分布为：2P(1|(1,1) 12|242P(2|(1,1) 4e4)28424e2大1（1）重要结假设对于给定的风险参数，每次损失的条件分大1（1）重要结假设对于给定的风险参数，每次损失的条件分布是同分布记根据条件期： E(Xi 根据方差分解：（2）Xn+1信度估记经计算得Xn+1信度估计nn这里的z（2）Xn+1信度估记经计算得Xn+1信度估计nn这里的z为Bhlmann信度因子nn/【例题12.6】如果

12、假设每份保单的索赔次数服从泊松分布，而在一个保单组合中，不同保单的泊松参数服从【例题12.6】如果假设每份保单的索赔次数服从泊松分布，而在一个保单组合中，不同保单的泊松参数服从保单在n年内的经验索赔次数，则Bhlmann信度模型的信度因子为数为的伽玛分布，已了）Dn (nEn(nBn (n【】在泊松-伽玛假保单的索赔次数服从参数为的泊松分布，而又服从参数 (,玛分布。由于泊松分布的均值、方差都等于其参数，因此过程的均值和方差就是；而服从伽玛分布，所以其均值就是伽玛分布的均值，因此过程方差的均值就是v E()由于每份保单的假设均值就是，而又服从伽玛分布，因此条件期望的方差就是伽玛分布的方差，即a

13、 Var()当已知过程方差的均值和条件期望的方差时，即可求得Bhlmann参数k v 1由Bhlmann的信度因子为z nn【12.7】已知两个风险A和B的损失金额服从下表所示的分其中风险【12.7】已知两个风险A和B的损失金额服从下表所示的分其中风险A发生损失的概率是风险B的两倍。如果已知某个风险在某次事故中的损失额为300，则该风失额的Bhlmann信度估计为）【】设量X表示损失金额，【E（X|风险A发生（X|风险B发生】设量X表示损失金额，【E（X|风险A发生（X|风险B发生Var（X|风险A发生）=98274500-Var（X|风险B发生）=492754000- 133aVar()15

14、0502 33v Ev() 756242500 2 4274676001 33则Bhlmann信度因n1z n1646650866.667 该风险下次损失额的Bhlmann信度估(1z)zX (10.01642)12726.70.016423002Bhlmann-模型假设在给定=条件下，X1，Xn是相互条件独立的，具有相同的2Bhlmann-模型假设在给定=条件下，X1，Xn是相互条件独立的，具有相同的条件均值但条件方差不其中mj是一个已知的常定义由方差分解公：为方便起见，令m=ml+mn。经计Xn+1的信度估计信度估计可以注意：mjXj可以看做团体保险中团体在第j年的总损失，m为n年内的总被

15、保险人个数，因此实际上是这个团体在n年内的人均损失。从这个意义上说，那么Bhlmann-Straub信度保费的形式与Bhlmann模型是一样【12.8】假设有两个被保险人A和B，他们在过去四年的损失数据如表12-1所示。应【12.8】假设有两个被保险人A和B，他们在过去四年的损失数据如表12-1所示。应用Bhlmann-Straub估计A和B被保险人的年期望索赔频率为）表12-被保险人的经验损失】若用【量Xij表示索赔频率，用mij表示相应的风数，则有关结果如表12-2数表12-索赔频率和风其他有关计算结果如被保险人B的风整个风险集合的风其他有关计算结果如被保险人B的风整个风险集合的风对于被保

16、险人A和B，平均每个的索赔频率分别XA (3220)/7(210)/91/对于整个风险集合，平均每个风的索赔频率为：X 对于被保险人A和B，平均每个的索赔频率的过程方差分别为：A=2(3/2-1)2+2(1-1)2+2(1-1)2+1(0-1)2/(4-=4(1/2-1/3)2+3(1/3-1/3)2+2(0-1/3)2/(3-因此，整个风险集合的过程方差的均值为：(41)(1/2)(31)(1/6) 11/30整个风险集合的假设均值的方差 7(15/8)2 9(1/35/8)2 (21)(11/16(1/16)(72 92故kv从而可以求得被保险人A和B的信度因子和索赔频率估计值故kv从而可

17、以求得被保险人A和B的信度因子和索赔频率估计值 0.7703A7mA0.77031(10.7703)(5/8) 0.8118B9B0.8118(1/3)(10.8118)(5/8)【12.9】在大量的商业被保险人中你得到了如下数据：每个被保险人的损失是独立的，并且拥有相同的均值和方差，均值为25，假设期望的方差为50，条件方差的期望为10000。现随机【12.9】在大量的商业被保险人中你得到了如下数据：每个被保险人的损失是独立的，并且拥有相同的均值和方差，均值为25，假设期望的方差为50，条件方差的期望为10000。现随机选择一个被保险人得到表12-5经验数据。则每个被保险人的Bhlmann-

18、Straub保费为）表12-【】由题：E()25,aVar()50,v E(v()mm1 m2 m3 1000750600k v 10000 a应用Bhlmann-Straub模型，信度因mz mn2350m mXXi每个被保险人的Bhlmann-StraubzX (1z) 0.921615.85(10.9216)253Bhlmann-Straub模型的推广在团体保险中，Bhlmann-Straub模型假定风险子集内的每个被保险人的风险水平都是独立同分布的。这个3Bhlmann-Straub模型的推广在团体保险中，Bhlmann-Straub模型假定风险子集内的每个被保险人的风险水平都是独立同

19、分布的。这个假在保险实际中并不一定满足。实际上，绝对独立同质的风险并不存在。当某群体中的所并非完全独立时，数。在实际应用中，可以将Bhlmann-Straub模型推广体均值的方差就设在给定的条件下，Xj，j=1，n是相互独立的Xn+1的信度估计值为量，E(Xj|)=()。Var(Xj|)=w()+v()/mj，n1X z ，信度估计值等zX 1 z)若Xjv1jan/z 1，而在Bhlmann-Straub中z是趋于1的。这说明无论风数注意：若令mj趋于1an/有多大，信度因子总小于1，经验数据总不的经信度参数估计1基本概念及数学符号（1）基本概fX|x非参数情形：经信度参数估计1基本概念及数

20、学符号（1）基本概fX|x非参数情形： 的分布形式均没有先验知识的情fX| x 作出某种参数形式分半参数情形：不知道 的分布形式但fX| x 均能作出具有参数形式的假设，需要估计未参数情形：对 （2）数学符X X ,表示对r1个被保险人，每个人风险损失量；假设ii相互独 （i=1,r）表示第i个被保险人的未知风（2）数学符X X ,表示对r1个被保险人，每个人风险损失量；假设ii相互独 （i=1,r）表示第i个被保险人的未知风险参数相互独立同分i具有结构密互独立，有概i |的的一次实现(i=1，r)；对固定的i，假设量相fX | |,j 1,。 T,i1,表示被保险人i的风险量i表示被保险人i

21、的过去总1mijXi 表示被保险人i的过风险平i1mr X m 表示所有被保风险平均损i1 表示对于每个被保险人i，在给定风险参数i=i ，Xi1 |i , XiE| ii的情况下平均风险损失量的条件| 表示对于每个被保险人i，在给定风险参数i=i，Xi1|iXi2|i,i mi立的情况下平均风险损失量的条件方是结构参2估被保险人下一年的信度保费的估计值为：, k 2估被保险人下一年的信度保费的估计值为：, k im i估计应用于Bhlmann（1）非参数经重要结由上述的结对于由上述的结对于是v的一个无偏估对于是a的一个无偏估计（2）重要结估计应用于Bhlmann-Straub1EXi |i m mijEX（2）重要结估计应用于Bhlmann-Straub1EXi |i m mijEXi11v VarX | 2| m iiiiivm aii1mEX iim有上述重要的结有上述重要的结 是v的一个无偏估计；对于是a的一个无偏估计。注意：在Bhlmann-Straub模型可能会出现 0 的情况，此时经验数据表明不同的被保险人之间损失情况的 距很小，先验知识值得相信，。【例题12.10】假设风险集合中只有两个规模相等风险，对每个风险的观【例题12.10】假设风险集合中只有两个规模相等风险