11.3.舒期权定价公式

1、第十一-定价模-第三节1.假设不支付股利-定价公式（ 习题解答-的漂移率为 ， 波动率为s。一家金融机构刚刚宣布其将交易这样一种衍生产品，该产品在T 时刻的收益等于 T(a) 试描述这一衍生产品的预期收益；请计算该衍生产品在 0 时刻的理论价格；试证明其符合 BSM偏微分方程。S T = TE ()- E () T第十一-定价模-第三节1.假设不支付股利-定价公式（ 习题解答-的漂移率为 ， 波动率为s。一家金融机构刚刚宣布其将交易这样一种衍生产品，该产品在T 时刻的收益等于 T(a) 试描述这一衍生产品的预期收益；请计算该衍生产品在 0 时刻的理论价格；试证明其符合 BSM偏微分方程。S T

2、 = TE ()- E () TSs) -Ts= F =r Q Sf =- - sTS ftf+= S在tft=e- r(T - t)E | FflnttS1s=e- r(T - t)EQ t)+ s)r- lnS |t2TtS1- r(T- t)EQ ts2 =ln t -T T0 1+=e- r(T - t)E | FflnttS1s=e- r(T - t)EQ t)+ s)r- lnS |t2TtS1- r(T- t)EQ ts2 =ln t -T T0 1+s2 = e- r(T - t)2ST2- r(T- t)12s t =rf + -rtt2=e- r(T-t)1 11=- e-

3、 r(T - t2tterTt r12 rSerTt1T左边2 Ttt22Ttt1 erTtr11 erTtr1tT22rft 试证明当标的资产支付连续复利红利率为q 的红利时， 相应的偏微分方程形式为ftf1 s2S+(rq)= S设dS aSdt + sSdz ，则以S f 的随机过程可由Ito? df = f dS + fdt1(dS)2S= + s 2 12 dt+2S 构造组合Pf ，买入 f 份标的资产S 组合P s DP = t同时， 持有 f 份标的资产 S 可获得红利收益 f SqDt ， 总之， 瞬间无风险收益rP DP =s Dt SqDt =rPDt+ f 组合P s

4、DP = t同时， 持有 f 份标的资产 S 可获得红利收益 f SqDt ， 总之， 瞬间无风险收益rP DP =s Dt SqDt =rPDt+ f S S+Sq =r- f S=tS fS+(r- S3. 请在充分理解 定价公式推导的基础上完成以下练习( (a) 证明 N (d (b) 证明在风险中性世界中， 欧式看涨被执行的概率是 ；(c) 一只或有现金满足：若到期时标的资产价格大于执行价格则回报反之则没有回报，试为该或有现金定价。Xe- r(T - t)N c=SN(d )s(S X)t -d =d - s T - d sT-t)cSXe- r(T - t)N(-=N +(+ T -

5、 td -N =eeds (T - t- ds T- t=e)e- (SX)- r(T- t =N(=N(Xe- r(T- tS且 =)d(+ T - td -N =eeds (T - t- ds T- t=e)e- (SX)- r(T- t =N(=N(Xe- r(T- tS且 =)d Xe- r(- t)()(d cS=N (d (b) 即求 N S + r st)sTt在风险中性世界中S - TtS - st)N(=S s = s T - t- 令ts则S - TX - mP(SX)=P(X)= TTss-e =X- s= - N m m - = S s (Tt) = s=N (d(c)

6、 = ST T的概率为 N(d， 于是由(b可知在风险中性世界中 ST 的期望收益为(d ) ，于是现价应为：=e-r(T- t)N (d )P4.x是在T时刻支付$1 的零息票债券按连续复利计息的到期收益率。x 遵循如下dx=a(x - x)dt + 其中axs是正常数， dz(c) = ST T的概率为 N(d， 于是由(b可知在风险中性世界中 ST 的期望收益为(d ) ，于是现价应为：=e-r(T- t)N (d )P4.x是在T时刻支付$1 的零息票债券按连续复利计息的到期收益率。x 遵循如下dx=a(x - x)dt + 其中axs是正常数， dz是维纳过程。请写出债券价格遵循的过

7、程。=e- x(T- t) t 时刻零息票债券的价格t Bdx+ Bt dt t (dx)dB txtt)Btdx T =xBtdt Bts x x)t)+x + =- a(x )sxt)B-s Bdt - t5. 假设一种衍生产品在T 时刻支付 Sn S 是T 时刻标的的价格， nTT运动 ， 则在 t ) 时刻该衍生产品的价形式n 次方价格 服从几 (， 其中 S 表示h tT nh 仅是t 和价格的函数。t请通过代入 BSM 偏微分方程， 推导h htT ) 的微分方程的边界条件是什么？)所满足的常微分方程(c) 试证明：h( )()+r(n - )(Ts n n 。其中 r是无风险利率， s是股价对数的波动率。(a由题f ,t) =h t,T ()ntt又f=h Snf =nh (t,T )=n(n ) )n- n- t,1 h t,T tt(a由题f ,t) =h t,T ()ntt又f=h Snf =nh (t,T )=n(n ) )n- n- t,1 h t,T ttt2tthS1( n-)1(h n- 1 2 n- s + =Tt ttt2t( htr2此式即为所求ODET f ,T )=h T,T = S )(b) 当nTTT因此边