2022年全国高中数学联赛试题及答案

1、第 第 1 页共 14 页2022 年全国高中数学联合竞赛试题第 一 试时间：10月16日一、选择题36 6 分1、设锐角 使关于x 的方程x24xcos cot 0有重根，则 的弧度数为A.6B.512 or1256or12D. 122、M xy| x2 2y2 3, N xy| y mxb。假设对全部66mRM66N ，则b 的取值范围是A.,6B. ,C.(,23D.,23622 622 123233333232333、不等式 log2x1log212x3 2 0的解集为A. 2,3)B.(2,3C. 2,4)D.(2, 44、O 点在ABC内部，且有OA2OB3OC 0，则ABC的面积

2、与AOC的面积的比为A. 2B.352C. 3D.35、设三位数n abc ，假设以 a，b，c 为三条边的长可以构成一个等腰含等边三角形，则这样的三位数n 有A. 45 个B. 81 个C. 165 个D. 216 个6266、顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底面圆内的点，O 为底面圆的圆心，AB OB ，垂足为B，OH PB，垂足为H，且PA=4，C 为PA的中点，则当三棱锥OHPC 的体积最大时，OB 的长是626525A.3B.5253C.3D.3二、填空题54 9 分7xoy f (x) asinaxcosax (a 0)在一个最小正周期长的g(

3、x) a2a218、f R R, 满足f (0) 1x, yR,都有f (xy 1) f (x) f (y) f (y) x 2，则f (x) =。9、ABCD ABC D 中，D1C11 111A1B1A BD1A 的度数是。F1EDCk2k2 pk10、设p 是给定的奇质数，正整数k 使得也是一个正整数，则k=。11数列a0,a ,a1,.,an,., 满足关系式(3an1)(6an) 18,且a03n1 的值a是。ioi1在平面直角坐标系XOY中，给定两点和14，点P 在X 轴上移动，当MPN 取最大值时，点P 的横坐标为。三、解答题60 20 分13、一项“过关玩耍”规章规定：在第n

4、关要抛掷一颗骰子n 次，假设这n 次抛掷所消灭的点数之和大于2n，则算过关。问：某人在这项玩耍中最多能过几关？他连过前三关的概率是多少？1，2，3，4，5，6 点数的均匀正方体。抛掷骰子落地静止后，向上一面的点数为消灭点数414、在平面直角坐标系xoy中，给定三点A(0,),B(1,0),C(1,0)，点P 到直线BC 的距离43是该点到直线AB，AC 距离的等比中项。求点P 的轨迹方程；假设直线L经过ABC的内心设为D，且与P 点的轨迹恰好有3 个公共点，求L的斜率k 的取值范围。15、, 是方程4x2 4tx10 (tRf (x) 域为。g(t) max f (xmin f (x) ；2x

5、tx2 1的定义证明：对于ui(0,364364)(i 1,2,3)，假设sinu1sinu2sinu31,则111。g(tanu)g(tan u1)g(tanu )32022年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：160不要再增加其他中间档次。2、假设考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时可一、选择题此题总分值 3661、x2 4xcos cot 0有重根，故 16cos2 4cot 00 2, 4cot(2sin 2 1)0得sin0 22 2 2 5，于是 或5。 应选B。6612122 、解： MN 相当于点0 ，b 在椭圆 x2 2y2 3 上或它的内

6、部 2b2661,b。66应选A。32233、解：原不等式等价于3log2x1log323x22log2x1 031logx12设t, 则有t 2t2 2logx12设t 0即0logx11, 2 x 4 。2解得0t 1。应选C。ADO4、解：如图，设D，E 分别是AC，BC ADOOAOC 2OD则2(OBOC) 4OE(1)(2)OA2OBOA2OB3OC 2(OD2OE) 0，即OD与OE 共线，BECOD|OD| 2|OE |SAEC3S32, ABC 3， 应选C。SAOC2S2AOC2 xoy A(a,0), B(0,bC(c,0),O(x, y，yBCo”OyDAx则 OA (

7、a xyOB (xb yOC (cyBCo”OyDAx由OA2OB3OC 0得，Sby b，3ABC 3， 应选CSyAOC5、解：a，b，c 要能构成三角形的边长，明显均不为0。即abc1,2,.,9假设构成等边三角形，设这样的三位数的个数为n1，由于三位数中三个数码都一样，所n1C199。假设构成等腰非等边三角形，设这样的三位数的个数为n ，由于三位数中只有2 个2aba，b共有2C2 。9但当大数为底时，设ab，必需满足b a 2b 。此时，不能构成三角形的数码是aa94，32，184，32，173，2163，2154321b1，21，21120 种状况。同时，每个数码组a，b中的二个数

8、码填上三个数位，有C 2 种状况。3故nC2(2C2 20) 6(C2 10) 156。 综上，n n n165。2399126、解： AB OB, AB OP, AB PB又OH PB面PAB 面POB, OH HC, OH PA。C是PA中点，OC PA当HO HC时S最大，HOC也即VOHPC此时，VPHCO最大。1HO 2, 故HO= OP, HPO 30012，OB OPtan300 263应选D。二、填空题此题总分值 5497、解：f(x)a2 1sin(ax),其中 arctan12，它的最小正周期为，振幅为aaa2 1f (x) g(x) 的图像围成的封闭图形的对称性，可将这图

9、形割补成长为22、宽为 a2 1的长方形，故它的面积是aaa2 1。8、解：对x, yR有f (xy1) f (x) f y f yx2,有f (xy1) f yf (x f (x y2f (x) f (y) f (y) x2= f (y) f (x) f (x) y2f (x y f y x, 令y 0,得f (x) x1。9、解：连结DC, 作CE BD，垂足为E，延长CE ABF，则FE BD，连结AE，1111AE BD , FEAABDA 的平面角。1连结AC，设AB=1，11D1C1AC AD12, BD13.A1B1在RtABD1AE ABAD2F1 ，EBD31DC在AECco

10、sAEC AE2 CE2 AC2A 2AE2 AC24 2B 312AECE2AE2423AEC 1200, 而FEA是AEC 的补角，FEA600。第 5 页共 14 页 10 页14 页k2 k2 pk n, nN*,k2 pk n20,k p2 4n2ppp2 4n2是平方数，设为m2 , m N*, 则(m 2n)(m 2n) p2p2 1m2n 1mp是质数，且p 3, 解得m2n p2np2 1k pm 2pp2 1)k p1)24负值舍去24411、解：设b 1 ,n 0,1,2,.,则(31 )(6 1 ) 18,nabbnn1n即3b1 0. b 2b 1, b1 2(b 1

11、)n1n1n3n13n3故数列bn12 的等比数列，3111111b 2n (b 2n (2n1b(2n1 1)。n303a33n30n1nn112(2n1 1)1b (2i1 1)(n 1) 2n2 n3 。ai33213ioii0i012、解：经过M、N 两点的圆的圆心在线段MN 的垂直平分线y=3x 上，设圆心为S3，则圆S 的方程为：(xa)2(y3a)2 2(1a2)对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，所以，当MPN 取最大值时，经过M，N，P 三点的圆S 必与X 轴相切于点P，即圆S 的方程中的a 值必需满足2(1a2) a3)2解得 a=1 a=7。即对

12、应的切点分别为P(1,0)和P” (7,0) ，而过点M，N， p ” 的圆的半径大于过点M，N，P 的圆的半径，所以MPN MPN ，故点P1，0为所求，所以点P 的横坐标1。三、解答题此题总分值 602013、解：由于骰子是均匀的正方体，所以抛掷后各点数消灭的可能性是相等的。6，而64 24, 65 25 ，因此，当n 5时，n 次消灭的点数之和大于2 n已不行能。即这是一个不行能大事，过关的概率为0。所以最多只能连过4 关。5分An为“第n An为“第n n 关玩耍中，根本大事总数为6n个。第1 关：大事A 所含根本大事数为2即消灭点数为1 和2这两种状况，1PA ) 1 PA ) 12

13、 2 。11632 关：大事A2x y aa 2，3，4 时的正整数解组数之和。即有C1 C1 C1 1 23 6个。12365PA2) 1P(A21。626.10 分3 A3x y z aa 3，4，5，6，7，8 时的正整数解组数之和。即有C2 C2 C2 C2 C2 C2 1361015 21 56个。234675620PA3) 1P(A31。6327.15 分2520100PA PA)P(A。.20 分1236272432，3 关的根本大事数也可以列举出来1直线AABC 的方程依次为y 4(x1),y 4(x1),y 0P(x, y)3311AB、AC、BC 的距离依次为d1| 4x

14、3y 4 |, d52| 4x 3y 4 |, d53| y|。依设，d d d2得|16x2 (3y 4)2 | 25y2 ，即12316x2 (3y 4)2 25y2 0,或16x2 (3y 4)2 25y2 0，化简得点P 的轨迹方程为S2x2 2y2 3y 2 0与双曲线T:8x2 17y2 12y 80.5 分由前知，点P 的轨迹包含两局部圆S：2x2 2y2 3y20与双曲线T：8x2 17y2 12y 8 01由于B1，0和C1，0是适合题设条件的点，所以点B 和点C 在点P 的轨迹上，且点P 的轨迹曲线S 与T 的公共点只有B、C 两点。1ABC 的内心D 也是适合题设条件的点

15、由dd12 d3 D(0,2) S 上。L 经过D，且与点P 3 个公共点，所以，L 的斜率存在，设L 的方程为1y kx2yyHGEDBoCFxPQ当k=0 时，L S 相切，有唯一的公共点D；此时，直线y 12 平行于x 轴，说明L与双曲线有不同于D 的两个公共点，所以L 恰好与点P 的轨迹有3 个公共点。10 分当k 0时，L S 有两个不同的交点。这时，L 与点P 3 个公共点只能有两种状况：状况1L经过点B或点CL的斜率k Lx (2y1)。25 45 4代入方程得y(3y4)0，解得E(,)或F(- , )。说明直线BD 与曲线T 有2 个交3 33 3B、E；直线CD 与曲线T

16、2 个交点C、F。1故当k 时，L 恰好与点P 的轨迹有3 个公共点。15 分1状况：直线L不经过点B 和即k ，由于L与S有两个不同的交点，所以28x2 17y2 12y80L 与双曲线T 有且只有一个公共点。即方程组1有且只有一组实数解，消去y 并化简得(817k2)x2 5kx 254y kx 20该方程有唯一实数解的充要条件是817k2 025或(5k)2 4(817k2 )04234解方程得k 23417，解方程得k 。222234综合得直线L 的斜率k 的取值范围是有限集0, 1,2。234.20 分21721、设 x ,则4x2 4tx10, 4x2 4tx10,12112214

17、(x2 x2)4t(x x )20, 2x x t(x x )01211 21222x t2xt(x x )t(x x )2x x2f (x) f(x )2121121 221x2 1x2 1(x2 1)(x2 1)21211又t(x x 2x x2t(x x )2x x 0 f(x ) f(x)0121 2121 2221f(x) 在区间, 上是增函数。 t, 4.5 分g(t) max f (x)min f (x) f () f () ( )t( )2 222 2 2 15t2 1t2 8t2 1(2t2 5).10 分t2 25 2516证：8cosu(2cos2 u3)16icosui

18、24cosuig(tanu ) ii 16i9169cos2 uicos2 ui2 1624169cos2 ui166169cos2 ui(i 1,2,3)3i11g(tanu )i13166i1166(169cos2 u ) i1(163939)3166i1166sin2 ui)15 分3sinu1,且u (0,), i 3sinuii23 sin2 u (isinui)2 1，而均值不等式i1166与柯西不等式中，等号不能同时成立，166i1i11111(7591) .20 分.u)g(tanu1)g(tanu )3363642022年全国高中数学联赛加试试卷考生留意： 1150 分2、 卷面的第 1 页、第3 页、第5 页印有试题，第2 页、第4 页、第6 页是空白页，留作答题用3、 用钢笔、签字笔或圆珠笔作答4、 解题书写不要超出装订线此题总分值50 分ABCAB上的高CEAC BDH ，以DE 为直径AB、AC F 、