中级宏观经济学中宏年5月21日9.29

1、是考虑变量（k 是考虑变量（k 动态随着时间的变动有无趋向均衡的趋势均衡是否存在？是否稳定？在均衡的径上存在哪些经济现象2012-5-21 中宏31、均衡的定1、均衡的定三种投入品中的两个，即劳动和的变动是外生的。这样，为描述该经济行为特征须分析第三个投入品资本的行为2012-5-21 中宏4（1）求均衡解的方法之有效劳动的平均资本存量k 资本存量K（1）求均衡解的方法之有效劳动的平均资本存量k 资本存量K由于kKAL即，由于k是K、L和A的一个函数，其中每一又是ttA、K、k2012-5-21 中宏5k(kK)(dKdt)+ (k(kK)(dKdt)+ (kL)(dLdt)(k=隐函数求导(

2、kK)K(kLk(kA+ 链式法2012-5-21 中宏6 k= k=两边取ln，得到lnLlnk = 两边对求导，得(1K)(dKdt) -(=kk KK LL 2012-5-21 中宏7一个变量的增长率指的是其变动。易于证一个变量的增长率指的是其变动。易于证两变量之积的增长率等于其增长定式(X1X2 )()12=+2012-5-中宏8 2()X1 2()X112=2012-5-中宏9根据已知条件：K= s YLL=n；根据已知条件：K= s YLL=n；= k=KK LL =(sYKngsY= n2012-5-中宏=(ng) =(ng) = s ( YAL)(KAL) (n+g=syk(n

3、+g+) =sf(k)(n+g+)2012-5-中宏根据均衡的定义，均衡是对立的根据均衡的定义，均衡是对立的变动着的经济变量处于一种力量相当相、不再变动的境界。均衡是种不再变动的境界如果均衡存在，应该有k=dkdt=k=sf(k)(n+g+)k=方程(1.13)模型的关键方程2012-5-中宏是否必定存在一个满足方程sf(k)是否必定存在一个满足方程sf(k)(n+g+)k=以Cobb Douglas 生产函数为例f(k)=k0a很难判断ska (n+g+)k=是否一定有解2012-5-中宏怎么办？把方程(1.13)变形怎么办？把方程(1.13)变形为sf(k)=(n+g方程两边都是的函数，分

4、别从等的两边看2012-5-21 中宏 = s f(k)，f(k)是k 的函数 = s f(k)，f(k)是k 的函数0和稻田条件s为一个固定的常数，则 f(k)也是s的函数，并且是一条满s 0和稻田条件的曲线2012-5-21 中宏s实际投资曲线f(k)弯曲得相s实际投资曲线f(k)弯曲得相当厉0k中宏讲2012-5-中宏= (n+g+)k k 的函根据= (n+g+)k k 的函根据前提假设：n+g+ 0是一条斜率为：(n+g+)调上升的直线2012-5-21 中宏0k2012-5-21 中宏0k2012-5-21 中宏由于f(0)= 0，因此，当k由于f(0)= 0，因此，当k = 0

5、时，在点，曲线s f(k) 和直线(n+g+)k 一定有 视为特例的增长，即：k 除原点以外，随着0 时，曲线s f(k)和直线(n+g+)k 是否一定交点？有无可能出现以下情况2012-5-21 中宏s0图k2012-5-s0图k2012-5-中宏s0图k2012-5-s0图k2012-5-中宏根据稻田条根据稻田条件(1)limk0 sf(k)=当k趋于0 时，s f(k) 趋于无s f(k)在原点垂sf(k)s f(k)比直线(n+g+)k 陡。不在开始的时候，如果满足会出现图(a)的情02012-5-21 中宏(2)limk sf(k)=0当k(2)limk sf(k)=0当k 趋于无穷

6、大时s f(k) 趋于sf(k)在k趋于无穷大时水s f(k)( s f(k)比直线( n+g+)k 平。最后，在图(b)的情况趋于无穷大时，不会2012-5-21 中宏开始的时候，曲f(k)先比陡峭，开始的时候，曲f(k)先比陡峭，然后随着s的上升，曲f(k)逐渐变得比直线(n+g+)k平这两条线最终肯定会相必定存在交点2012-5-21 中宏最后sf(k)0，意味最后sf(k)0，意味着会从以递减的速率上升，变成以递增速率上升，不会从抛物线式上升，变火箭式上升，在时交一次2012-5-21 中宏sk0kkk*123sk0kkk*123202-s讲多种可用k*的k 值，满足方程用k*的k 值

7、，满足方程(1.13)sf(k*)=(n+g+)2012-5-21 中宏s0k书s0k书中宏2012-5-k=sf(k*)-(n+g+)k*k=sf(k*)-(n+g+)k*=它表明，有效劳动的平均资量的变动率是两项之差第一项sf(k是有效劳动的平实际投资：有效劳动的平均产量f(k)，该产量中用于投资的比例为s 2012-5-21 中宏第二项是持平投资-investment)，第二项是持平投资-investment)，即使得k保持在其现平上所必须的投资量。为防止k下降，必进行一些投资。其原因有二第一，现有资本有折旧；这一部分本必须予以补足以防止资本存量下降。就是(1.13)中的k 项2012-

8、5-21 中宏第二，有效劳动的数量是增长的。样，第二，有效劳动的数量是增长的。样，恰好足以使得资本存量(K)不变的并以保持有效劳动的平均存量(k)不变。相反，由于有效劳动的增长，资本存量也必须以增以保持稳定。这是(1.13)中的项2012-5-21 中宏不管从何处开始，不管从何处开始，它是否都在向k*敛？均衡k*是否稳定，一旦偏离k*是否有量使之回复均衡？经济学中只对稳定性均衡。 可重复发生的、有规律性的感情。非稳定性均衡意味着可遇不可求的事2012-5-21 中宏稳定性均衡稳定性均衡：可重复出现、具有规律性的2012-5-21 中宏非稳定性均可非稳定性均可遇不可求的、没有规律的状均衡2012

9、-5-21 中宏方程(1.13)k= sf(k) (n+g+)k= 方程(1.13)k= sf(k) (n+g+)k= k是k 的函数，k = k k 变化的相图2012-5-中宏k0书图模型中kk0书图模型中k的相2012-5-21 中宏1、一阶=sf(k)1、一阶=sf(k)一阶的变化分三种情：=s f(k) (n+g+)k而单调上随2012-5-21 中宏如果=sf(k)如果=sf(k)(n+g+)=k达到极值。如果 dkdk=sf(k)(n+g+)kk2012-5-中宏2、二阶导d2kdk22、二阶导d2kdk2k 的凹凸d2kdk=sf(k) k2012-5-21 中宏k0书图模型中

10、kk0书图模型中k的相2012-5-21 中宏图1.3以相图的形式对此作了总结相图中图1.3以相图的形式对此作了总结相图中，k 被表示为k 的一个函数存在一个，使k =(k)=k(k)k 可能存在三种情况2012-5-21 中宏kk=kkkk=kk0书图模型中k的相2012-5-21 中宏(1)k最初小于k*k1 (1)k最初小于k*k1 从相图可见，在以左的k1存在0其数学含义为不稳定，还要继续长，向趋近2012-5-21 中宏ksf(k1)-ksf(k1)-s f(k1 )投资大于所需的持平投资，则k 2012-5-21 中宏skk0的相图与实skk0的相图与实际投资和持平投资的2012-

11、5-21 中宏(2)如果k最初大于k*k(2)如果k最初大于k*k2 从相图可见，在k以右的其数学含义为： k2 不稳定，还要继下降，趋近。并且k=sf(k)-(n+g+)ks f(k)经济含义如果有效劳动的平均实际投资于所需的持平投资，则k 下降2012-5-21 中宏(3) 如果k (3) 如果k 最初恰好等于k*，k = 从相图可见，存在：k = 其数学含义为稳定、不变k=sf(k*)-(n+g+)k* =sf(k*)=经济含义如果有效劳动的平均实际投等于所需的持平投资，则2012-5-21 中宏不变结论不管从何处结论不管从何处开始都向k* 收敛2012-5-中宏稳定性均衡稳定性均衡：可

12、重复出现、具有规律性的2012-5-21 中宏踏上经济的平衡增长路径。2012-5-21 踏上经济的平衡增长路径。2012-5-21 中宏如果最初为0，根据已知条件0如果最初为0，根据已知条件0，则满足方程k=sf(0)-(n+g+)0=k就会停留在那儿忽略这种可能性2012-5-中宏3、上升或者下降的经济含义3、上升或者下降的经济含义(1)为什么k0 不稳定，还续下降，向趋近如何解释，如果有效劳动的实际投资小于所需的持平投资，则k2012-5-21 中宏(如果存在(如果存在sf(k即：ksf(k)两边同除以k k 0 )，得到kk=sf(k)k-(n+g+)=KKLLAAKLL+A2012-

13、5-21 中宏如果资本的增长率小于劳动力和知如果资本的增长率小于劳动力和知的增长劳动力对资本来讲，变得越富劳动力市场供给需求劳动力的价格(工资)下劳动力的边际成本下发生替代，劳动力替代资L的同时K (KL) AL)2012-5-21 中宏k 0 时，k不稳定，还要继(2)k 0 时，k不稳定，还要继(2)上升，向k* sf(k)- =kk0=sf(k)k-(n+g+)k即：k=KKLLAA2012-5-21 中宏资本的价格( 利率) L的同时K (KAL) 2012-5-21 中宏要发调节。K与L2012-5-21要发调节。K与L2012-5-21 中宏K0L中宏讲义著K0L中宏讲义著2012

14、-5-21 中宏2012-5-21 中宏2012-5-21 中宏哈罗德(1939年)、多马(1946)模型Harrod,R.哈罗德(1939年)、多马(1946)模型Harrod,R.F.(1939),“AnEssayinDynamic Theory.”E. J. 49 (March): 14-33Domar,EvseyD.(1946).“CapitalRateofGrowth,andEmployment.”14(April):137-,2012-5-21 中宏假定生产函数为里昂惕夫函数Y(t)假定生产函数为里昂惕夫函数Y(t)= MincKK(t)，cLegt其中cK、cL g 均为正模型一

15、样，L(tn与K(t)=sY(t)-K(t)，A(t)=g最后，假定cKK(0)cL2012-5-21 中宏Y(t)MincKK(t)Y(t)MincKK(t)，cLet表明等产量曲线为直角凸的形状2012-5-中宏KcK0LcLegtKcK0LcLegt讲2012-5-21 中宏（28所要素K与L要素K与L替2012-5-21 中宏由于k = KAL，用链式法。两个由于k = KAL，用链式法。两个变量之比的增长率等于其增长)X1X2 X1 2之差(1=-=2012-5-21 中宏根据均衡的定义，均衡是对立的动着的根据均衡的定义，均衡是对立的动着的经济变量处于一种力2012-5-如果均衡存在

16、，应该有kdkd=即0= KK(AL)AL =中宏K(t)（均衡的定义式cK K(t)K(t)（均衡的定义式cK K(t) cK cKK(t)cKK(t)sY(t)-K(t)=s Y(t)K(t) 2012-5-21 中宏(t)A(t)（均衡的定义式cLegt(t)A(t)（均衡的定义式cLegtL(t)cLegtcL egtgL(t)+egtL(t)cLegtgL(t)+ L(t)=gL(t)+nL(t)=n+自然增长2012-5-中宏要达到平衡增长路径，必须满足两个增要达到平衡增长路径，必须满足两个增长率相等K(t)= A(t) L(t)A(t)sY(t)K(t)g+=实际的增长自然的增长2012-5-21 中宏KcK0LcLegtKcK0LcLegt讲2012-5-21 中宏（28所这意味着：两种要素不替代这意味着：两种要素不替代沿着固定的路径扩张产量是最优的即：两种要素投入的技术系数是固的。K(t)L(t)cLegtcK 为一个固定常数2012-5-21 中宏2、直角凸的等产量曲线的性质如2、直角凸的