不定积分凑微分法以及换元法

1、关于不定积分凑微分法和换元法第1页，共47页，2022年，5月20日，15点31分，星期四问题？解决方法利用复合函数，设置中间变量.过程令1、第一换元积分法第2页，共47页，2022年，5月20日，15点31分，星期四在一般情况下：设则如果（可微）由此可得换元法定理第3页，共47页，2022年，5月20日，15点31分，星期四第一类换元公式（凑微分法）说明:使用此公式的关键在于将化为左式不易求出原函数，转化后右式能求出原函数.定理7.2.1第4页，共47页，2022年，5月20日，15点31分，星期四例1 求解第5页，共47页，2022年，5月20日，15点31分，星期四例2解第6页，共47页

2、，2022年，5月20日，15点31分，星期四求解第7页，共47页，2022年，5月20日，15点31分，星期四例3 求解第8页，共47页，2022年，5月20日，15点31分，星期四求解（一）解（二）解（三）第9页，共47页，2022年，5月20日，15点31分，星期四例4 求解一般地第10页，共47页，2022年，5月20日，15点31分，星期四书中例4 求解第11页，共47页，2022年，5月20日，15点31分，星期四求解第12页，共47页，2022年，5月20日，15点31分，星期四例5 求解说明当被积函数是三角函数相乘或幂时，拆开奇次项去凑微分.第13页，共47页，2022年，5月

3、20日，15点31分，星期四附例 求解第14页，共47页，2022年，5月20日，15点31分，星期四例6 求解第15页，共47页，2022年，5月20日，15点31分，星期四例7 求解（一）（使用了三角函数恒等变形）第16页，共47页，2022年，5月20日，15点31分，星期四解（二）类似地可推出第17页，共47页，2022年，5月20日，15点31分，星期四例8 求解第18页，共47页，2022年，5月20日，15点31分，星期四例9 求解第19页，共47页，2022年，5月20日，15点31分，星期四解例10 设 求 .令第20页，共47页，2022年，5月20日，15点31分，星期四

4、例11 求解第21页，共47页，2022年，5月20日，15点31分，星期四例12 求解第22页，共47页，2022年，5月20日，15点31分，星期四例13 求解：原式第23页，共47页，2022年，5月20日，15点31分，星期四例14 求解第24页，共47页，2022年，5月20日，15点31分，星期四作业第25页，共47页，2022年，5月20日，15点31分，星期四问题解决方法改变中间变量的设置方法.过程令（应用“凑微分”即可求出结果）2、第二换元积分法第26页，共47页，2022年，5月20日，15点31分，星期四定理7.2.2 （第二换元积分法）第27页，共47页，2022年，5

5、月20日，15点31分，星期四证明证毕第28页，共47页，2022年，5月20日，15点31分，星期四例15 书中例7求解令第29页，共47页，2022年，5月20日，15点31分，星期四例16 书中例8 求解第30页，共47页，2022年，5月20日，15点31分，星期四例17 求解令第31页，共47页，2022年，5月20日，15点31分，星期四例18 求解令第32页，共47页，2022年，5月20日，15点31分，星期四说明(1)以上几例所使用的均为三角代换.三角代换的目的是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令第33页，共47页，2022年，5月20日，15点31分，星期

6、四说明(2)积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用双曲代换.也可以化掉根式例 中, 令第34页，共47页，2022年，5月20日，15点31分，星期四 积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定.说明(3)例 求（三角代换很繁琐）令解第35页，共47页，2022年，5月20日，15点31分，星期四例19 求解令第36页，共47页，2022年，5月20日，15点31分，星期四说明(4)当分母的阶较高时, 可采用倒代换例20 求令解第37页，共47页，2022年，5月20日，15点31分，星期四例21 求解令（分母的阶较高）第38页，共47页，20

7、22年，5月20日，15点31分，星期四第39页，共47页，2022年，5月20日，15点31分，星期四说明(5)当被积函数含有两种或两种以上的根式 时，可采用令 （其中 为各根指数的最小公倍数） 例22 求解令第40页，共47页，2022年，5月20日，15点31分，星期四第41页，共47页，2022年，5月20日，15点31分，星期四基本积分表第42页，共47页，2022年，5月20日，15点31分，星期四第43页，共47页，2022年，5月20日，15点31分，星期四三、小结两类积分换元法：（一）凑微分（二）三角代换、倒代换、根式代换基本积分表(2)第44页，共47页，2022年，5月20日，15点31分，星期四思考