数值分析分章复习(第七章 非线性方程求根)

1、本文格式为Word版，下载可任意编辑 数值分析分章复习(第七章 非线性方程求根) 第七章 非线性方程求根 要点：（1）迭代公式局部收敛性及收敛性判断 （2）迭代公式收敛阶概念 （3）Newton 迭代公式及收敛性定理 复习题： 1、建立一个迭代公式计算数 a =要求分析所建迭代公式的收敛性 解： 迭代式为：105 n x x +?=?=? 数a 应是函数()x ?=()a a ?=） 注意到（1）当0,5x 时，恒有,5)(0 x ? （2）当0,5x 时，恒有()112x ?-=-, 1.3,1.5x 所以区间1.3,1.5为有根区间 (1.3,1.5)1.3,1.5?, 并且当1.3,1.

2、5x 时，恒有3|()|211.3x ?，可取0 x a = 6、对于非线性证明方程02ln =-x x （1） 证明在区间(1,)有一个单根.并大致估计单根的取值范围. （2） 写出Newton 迭代求解该根的迭代公式 解：（1）记()ln 2f x x x =-，显然()f x 四处可微 (1)10f =- 所以，在区间(1,)内有且仅有一个实根 (3)1ln30f =- 可见根 (3,4)x （2）牛顿迭代法形式： 1()()n n n n f x x x f x +=- 即：1ln 211n n n n n x x x x x +-=-， 即21ln 21n n n n n n n x

3、 x x x x x x +-=- 即1ln 1 n n n n n x x x x x +=- 考虑取 04x = 7、据理证明*1x =是方程432231x x x x -+=的一个二重根， 并构造计算* x 的具有平方收敛阶的Newton 迭代 解：记4322)31(x x f x x x -+-= 由于 (1)0, (1)0, (1)0f f f = 所以*1x =是方程()0f x =的一个二重根 注意到，当是0)(=x f 的m 重根)2(m 时， 牛顿迭代法求解0)(=x f 仅是线性收敛的 事实上，对于牛顿迭代法，其迭代函数是()()() f x x x f x ?=- ， 由

4、 是0)(=x f 的m 重根，令()()(),m f x x g x =- ()0,g 则 ()()()()()() x g x x x mg x x g x ?-=-+- 简单验证：1()1m ?=- ，因1,()0,()1m x ?） 9、为数值求得方程042=-x x 的正根*x ，可建立如下迭代格式 ,2,1,41=+=-n x x n n , 试利用迭代法的收敛理论证明对于00?x ，该迭代序列收敛，且满足.*lim x x n n = 解：记 () 0 x x ?= 显然1()14 x ?=，迭代式1()k k x x ?+=均收敛到*x 10、对于非线性方程 1232cos 0

5、 x x -+= （1） 证明方程存在唯一实根 （2） 证明对于任意的0 x R ，迭代式124cos 3k k x x +=+ 产生的序列k x 收敛到方程的根 （3） 构造求解该方程根的Newton 迭代式 解：（1）记 ()1232cos f x x x =-+ 显然()f x 连续可微，又, lim ()lim ()x x f x f x -+=+=- 所以根据连续函数零点存在定理可知 *(,)x ?-+，成立*()0f x = 另外， ()32sin 0f x x =-，可见函数()f x 严格单调递减 故满足()0f x =的点*x 唯一，即方程存在唯一实根 （2）记2()4cos 3x x ?=+ 由于22()sin 133x x ?= 所以，对于0 x ?，迭代式1()k k x x ?+=产生的序列k x 均收敛到方程的根*x （3）牛顿迭代法形式： 1()()n n n n f x x x f x +=- 即：1