概率论与数理统计：Ch3-1 连续型随机变量与分布（1,2,3）

1、第三章连续型随机变量及其分布第一、二、三节 第一节 分布函数 第二节 概率密度函数 第三节 常见连续型随机变量 在实际问题中, 常常遇到这样的随机变量, 它们的值域是一个区间或若干个区间的并, 称这类随机变量为连续型随机变量. 对于连续型随机变量, 我们常常并不注重它取某个值的概率, 而是更关心它落在某个区间内的概率. 用什么来描述连续型随机变量取值的统计规律性呢? 概率密度函数! 下面先引进分布函数的概念.3.1 分布函数上的实值函数定义3.1 给定一个随机变量 , 称定义域为 为随机变量 的分布函数.注 上述定义对任意的随机变量而下;分布函数的值域范围为 ;对任意的 , 总有例1 设一口袋

2、中有依次标有 数字的六个球, 从中任取一球, 记随机变量 为取得的球上标有的数字, 求: 的分布函数 , 并作出 的图像;计算概率值解 由古典概型计算方法, 容易得到相应的概率分 布:若 则 为不可能事件, 因而若 则 所以同理, 当 有当所以, 分布函数为分布函数的图像为由计算公式, 得到的分布函数, 则: 定理3.1 （分布函数的性质）设 是随机变量分布函数单调不减;对任意的 , 分布函数右连续; 进一步, 分布函数的性质刻划了分布函数的特征.即: 如果某个函数具有上述四条性质, 那么它必定是某 个随机变量的分布函数.例2 在下列函数中, 哪一个可以作为某一随机变量的分布函数?A.B.C.

3、D. , 其中 . 解 因为 , 不能保证单调性, A错; 所以C错; D中函数 不确定, 所以D错, 又B中正确答案为B.且易验证 , 单调不减, 右连续. 故因为例3 设随机变量 和 的分布函数为 和为使 为某一随机变量的分布函数, 则常数 和 必须满足条件 .A.B.C.D.题解分析 由必要条件:定理3.2 对于任意的随机变量 , 其分布函数 在 说明: 对任意的故: 点处连续的充分必要条件是 . 3.2 概率密度函数定义3.3 给定一个连续型随机变量 , 如果存在一个定义域为 的非负实值函数 , 使得 的分布函数 可以表示为那么称 为连续型随机变量 的概率密度函数. 概率密度函数满足下

4、面两个条件: 这两个条件刻划了密度函数的特征性质, 即如果某个实值函数具有这两条性质, 那么它必定是某个连续型随机变量的密度函数.例4 如果 是某个随机变量 的密度函数, 则下面函数中能够成为另一随机变量的密度函数的是 .A.B.C.D.分析 构成密度函数的必要条件是因 所以A错; 取 易知这是一个概率密度函数, 但是因此B错; 令 . 这是密度函数 , 但所以C错.而 正确答案为 D.例5 设随机变量 的密度函数为求常数解 由密度函数性质:又所以, 定理3.4（连续型随机变量的性质） 设 是任意一个连续型随机变量, 与 分别是它的分布函数与密度函数, 则: 是连续函数, 且在 的连续点处,

5、有对任意常数 有对任意的两个常数 有注 密度函数与概率之间的关系犹如物理学中线密度与质量之间的关系.由定理3.4的知, 对实数轴上任意一个集合 , 特别地,例6 设连续型随机变量 的分布函数为 的概率密度函数;求:系数 概率值解 由 在任一点的连续性知, 所以因函数 在区间 内可导,且其余部分所以例7 某城市每天的耗电率 服从下列密度确定的分布:如果该城市发电厂每天供电量为80万千瓦小时, 那么任意一天供电量不够需要的概率是多少?（耗电率定义为每天耗电量/百万千瓦小时）解 供电率为 (供电量/百万千瓦小时), 所求为例8 设 的概率密度函数为求 的分布函数.解 当 时,当 时, 当 时, 综上

6、, 3.3 常见连续型随机变量 1.均匀分布 设随机变量 的密度函数为称 服从区间 上的均匀分布, 记作密度函数图形为: 显然 , 这是直线上的几何概率情形. 分布函数为分布函数图形:例10 公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过, 乘客在5分钟内任一时刻到达汽车站是等可能的, 求乘客候车时间在1到3分钟内的概率.解 设 为等候的时间, 则 , 因此所求概率为: 2.指数分布 如果随机变量 的密度函数为则称 服从参数为 的指数分布, 记为 分布函数为 指数分布概率计算公式 设则例12 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间服从参数为0.2的指数分布. 某顾客在窗口等待服务, 若超过10分钟他就离开.设某

7、顾客某天去银行, 求他没等到服务就离开的概率.设某顾客一个月要去银行五次, 求他五次中至多有一次未等到服务而离开的概率.解 设 表示等候服务的时间, 则 . 所求即为记 为该顾客在这五次当中因未等到服务而离开的次数, 则 . 因此所求概率即为 3.正态分布 设随机变量 的概率密度函数为则称 服从参数为 的正态分布, 记为服从正态分布的随机变量统称为正态随机变量.其中参数 , 参数 .正态分布的密度函数曲线图形 正态分布概率密度函数的曲线特征:密度函数 的图形关于 对称; 当 时, 在 处取得最大值当 较大时, 曲线比较平坦; 当 较小时, 曲线比较陡峭.不同 的正态分布密度函数图形 时的正态分

8、布称为标准正态分布. 其概率密度函数和分布函数分别为标准正态分布密度函数图形当 时, 的值可以从附表4中查得（见课本 259页至260页）.当 时, 有公式 特别地, 例13 设 , 查表求下列概率值: ; ; ; ; .解 查表得若 , 则 若 , 则特别地 例14 设 , 求 解 查表得 正态分布的分位数计算 给定 , 查表可得数值 , 使称 为随机变量 的 分位数.右图为分位数的几何意义!且当 时,当 时, 例15 求分位数 .解 查表得例16 对给定的 , 问: 满足条件的 是多少分位数.解 由 , 知对给定的 , 问: 满足条件的 是多少分位数.解 由 , 知例17 某地抽样调查结果表明, 考生的外语成绩（百分解 本题中 未知, 但 可通过题中已知的条件制） 服从正态分布 且96分以上的考生占考生总数的2.3%, 试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率. 得到. 因 得即: 故所求概率为例18 设随机变量 , 随机变量 ,记则下面正确的是 .A.对任意实数 , 都有B.对任意实数 , 都有C.对 的个别值才有D.对任意实数 , 都有正确答案 A题解分析 因 故对任意的例19 设随机变量 服从正态分布 , 服从正态分布 , 且则必有 .A.B.C.D.正确答案 A题解分析 因 即例