正交曲线坐标中的梯度、散度和旋度

1、16正交曲线坐标系在电磁场边值问题的求解中，由于边界形状的多样注，在许多情况下使用非直线正交坐 标系更为方便。这种非直线正交坐标系除了常见的圆住坐标系、圆球坐防系外，还有埔圆住 坐标系、据物线坐标系等共11种，在本节中捋从一般正交曲线坐标系入手来介绍它们。 18 1.6.1正交曲线坐标系的基本概念一般正交曲线坐标系在直角坐标系中，空间中的任一点的位置是由1=女,丁 =北,2；=初三个 相互正交平面的交点确定的。现来考察方程fx9y9z) = u(1-101)式中&是一常数。显然式(1-101)代表了空间中的一嗾曲面，这个曲面族中的每一个曲面是 由参数“的一个特定值确定的，现设有三个不同的方程

2、TOC o 1-5 h z 人 Gr,z) = Mj j1fi.y.z) = uz(1-102)改)绚刀(1，*，2)=一/令这三个方程所代表的三个曲面互相正交，显然,空间中任.意一点P也可以用属于这个曲面族中的三个曲面的交点/，来确定，面P点的坐标则可以用这三个曲面方程的的4 U3值来表示(见图1-6).变量心，初，3就叫做这一点的曲图1-6曲线坐标系线坐标。设想有一动点从点移动到PS+dg.&z+d“W3+ds)点，相应的位置向 量，变化为，+*,动点移动的这一小段距离构成了此正交坐标系中的线元dr,这一移动可 以看成是动点自P沿三个坐标轴g各移动一小段距离M合成的结果，即3 dr =蚓M

3、 = Ajduj + hUjUz +(1-103)i其中 dL = h.du.u,(1-304)它所表示的是沿第，个坐标轴，方向的微分线元，因为M的量纲是长度但*的髭纲不一 定是长度，所以应当乘上一个变换系数九，通常称加为度量系数以圆柱坐标系为例,“】为 P2为代心为么因为外n本身量纲就是长度，所以=妇=1,但。的量纲是弧度，因面必 须引入度量系数心，且么=孔有了微分线元后可以进一步引入微分面元和微分体积元。例如在姑=常数的曲面上， 由微分线元M,组成的面元为dSj = dlj X dZ| =人血d；d”&(1-105)微分体积元为dV = d/; * (d/ X M) = hihdufdti

4、/dui(1-106)常用的正交曲线坐标系常用的正交曲线坐标系除直角坐派系外，还有圆柱和圆球坐标系。 (1)圆柱坐标系(pg) 在此坐标系中P点的位置是由p=常数的圆柱面！=常数的平面和z=常鼓的平面三 者的交点来确定的(见图1-7).这时= Pf 翊=6,以3 =之(1-107)描述尹点的位置向堂是r = pp + zz(1-108)当P点的位置发生微小变化时，由dp引起的dr = dpp. 由d放引起的dr=pd4.由dz引起的dr=dzi9当三者同 时变化时引起的备是dr = dpp + dzz (1-109)相应的体积熠虽是dV = pdpddz(1-110)这里知=1.方2=仞心=1

5、。圆柱坐标系与直角坐标系的变换关系为x sy =捋in城.Z z单位矢母之间的关系为p = cos 夕把 + sin4。=sin/Y +。响Z = Z所以1-112)部=。，标=一 习=o(1-113),4, = Ar与Ap = Axcos + Asin/ & = ATsn/ + Jcos(1-114)A, = At(2)圆戒坐标系0,8,0)在此坐标系中P点的位置是由=常数的淋面、。=常数的锥面和，二常数的平面三者 的交点来确定的见陛18)。这时&=户，郊=们总=&0 = _ sinx + cos/所以A= - sinOr cosO如一矢量函数4在直角坐标系中的分量为在回球坐坂系中的分艮为凡

6、,瓦, 则它们之间的变换关系为Ax = &sin0cos 族 + Acosffco 4sin。、(1-123)= 4sin8sin$J + Xcosfein + (725)(M26)Q(725)(M26)Q、127)(1-129)(1-130) (/!&)= V点3)=余思;（血）+策部血+史奏（”/*）表 a=E 茹（,4M）0-131）同理可得=鼻毅5）1-132）1 a （3）=顽；丑（费血）1-133）将式（1-131）至1-133）代入式（1-129）,整理后，碍V E =奏W而）+齐0可（1-134）3）旋度VX4矢量A的旋度在一般正交曲线坐标系中的表示式为V X A= V X E

7、而 + A2u2 + AM根据矢斌恒等式-V X (M) + X 以而)+ X () V X 根据矢斌恒等式-V X (M) + X 以而)+ X () V X CM） = V/X A + /v X A式（1-135）右边第一项可股开为V X （Ai%）k 7 X Athu = V X Vi + V XV （AjAj） X &Jhi=送a（AA）+虫 小而）+鱼a（而）L九1 &* 农 &2九3 也3_ j_ _ _ a（&*A奶方1 况3 2 hxht 8w23类似可得式（1-13S）右边第二项和第三项的履开式B、1汕妇,19GMa）.7 X M网）=嘛飞“3 -不_113（&们八7 X以网

8、）=砧F-纯一硫f妈将式2凡2cot .2 为， 2 泌. = b& + 箜一 一妃 一 垫E V人十普&/血。rsin泌e =。2& + _1_垫.工竺丝匹3 i尸漏澎 * rsin 0/必n0游矢斌函数A的散度的梯度的表示式为(1-154)VV , Am %f +如6十扑(1-154)其中s 孙，,2 霁，244.1 BAr夕=歹+ ?苛一言一+布W2料 1由* 1 1 丛1_也+ 3而一 7液十r g 不而可1 9M,2 34& . M%= 7 brbff + * 云Tsixe + Ptan 初1凯小. I 芸，E致3出卜；沥 十/疆1 r唱-惑_1时，!.2*, 洒字田L工前M 屏醉”kfiii况r、in吧 御,】洸土 .1 干出十，局0柄十F扁港W关.适虫数冗笑旋匿的长度的&书式为7 V k A = WE 卜 3（.!-：打其中_ 孑孔L 1号& !不&据r斯V r-谖 产薛i 己.：/1 ,幻 1 占.rlalM &r ;-睥翌 r尸tan任溯 即A” 1 洗为 一二功rWin书葬*源ti泌